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类比推理111111


类比推理 111111
参考答案与试题解析
一.选择题(共 14 小题) 1.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AB=a,CD=b(a>b) .若 EF∥ AB,EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m:n, 则可推算出: ,用类比的方法,推想出下列问题的结果,在上面的梯形 ABCD 中,延长梯形的两腰 AD

和 BC 交于 O 点, 设△ OAB, △ OCD 的面积分别为 S1, S2, EF∥ AB, , 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m: n, 则△ OEF 的面积 S0 与 S1,S2 的关系是( )

A. C.

B. D.

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 在平面几何中的进行几何性质类比推理时,我们常用的思路是:由平面几何中线段的性质,类比推理平面
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几何中面积的性质;故由:

,类比到 S0 与 S1,S2 的关系是:



解答: 解:在平面几何中类比几何性质时, 一般为:由平面几何点的性质,类比推理线的性质; 由平面几何中线段的性质,类比推理空间几何中面积的性质; 故由:“ ”,

类比到关于△ OEF 的面积 S0 与 S1,S2 的结论是: . 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

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www.jyeoo.com 2.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外切圆面积为 S2,则 = ,推广到空间可以

得到类似结论,已知正四面体 P﹣ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则 A. B. C.

=( D.



考点: 类比推理. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半 径之比,即可求得结论. 解答: 解:从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,
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如图,设正四面体的棱长为 a,则 AE= 设 OA=R,OE=r,则 ∴ R= ,r=

,DE=

∴ 正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3:1 故正四面体 P﹣ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2 之比等于 故选 C

点评: 本题考查类比推理,考查学生的计算能力,正确计算是关键. 3.在 f(m,n)中,m,n,f(m,n)∈N ,且对任何 m,n 都有: (Ⅰ )f(1,1)=1, (Ⅱ )f(m,n+1)=f(m,n)+2, (Ⅲ )f(m+1,1)=2f(m,1) . 给出下列三个结论: ① f(1,5)=9; ② f(5,1)=16; ③ f(5,6)=26. 其中正确的结论个数是( )个. A .3 B.2 C .1
*

D.0

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 新定义;规律型. 分析: 通过观察 f(1,1)=1,f(m,n+1)=f(m,n)+2 推出 f(m,n)=f(m,1)+(n﹣1)?2
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然后得到 f(m,1)=f(1,1)?2 =2 ,即可求解① f(1,5)=9; ② f(5,1)=16; ③ f(5,6)=26.得 到结果. 解答: 解:由 f(1,1)=1,f(m,n+1)=f(m,n)+2?f(m,n)=f(m,1)+(n﹣1)?2
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n﹣1

n﹣1

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www.jyeoo.com n﹣1 n﹣1 又由 f(m+1,1)=2f(m,1)?f(m,1)=f(1,1)?2 =2 , n﹣1 所以 f(m,n)=2 +(n﹣1)?2, f(1,5)=f(1,1)+(5﹣1)?2=9; f(5,1)=f(1,1)?2 =2 =16; 6﹣1 f(5,6)=2 +(6﹣1)?2=26 都正确, 故选 A. 点评: 本题是基础题,考查新定义的应用,能够通过已知条件,推出要求的结果是解题的关键,考查计算能力. 4.阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示“不超过 x 的最大整数”,在数轴上,当 x 是整 数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的第一个整数点,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss) 函数. 如[﹣2]=﹣2, [﹣1.5]=﹣2, [2.5]=2. 则 A .0 B.﹣2 C.﹣1 D.1 的值为 ( )
4 4

考点: 进行简单的合情推理;对数的运算性质. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 由已知可求[log2 ]=[log2 ]=﹣2,[log21]=0,[log23]=1,[log24]=2,代入可求得答案.
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解答: 解:由题意可得:

=﹣2+(﹣2)+0+1+2 =﹣1. 故选 C. 点评: 本题主要考查了对数的运算性质的应用,解题的关键是准确理解题目中的定义,属于基础试题. 5.有这样一段演绎推理:“有些复数是实数,c 是复数,则 c 是实数”,则( A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 ) D..推理正确

考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 常规题型. 分析: 题考查的知识点是演绎推理的基本方法,在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提” 错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“有些…”,不难得到 结论. 解答: 解:∵ 大前提的形式:“有些复数是实数”,不是全称命题, ∴ 不符合三段论推理形式, ∴ 推理形式错误, 故选 C. 点评: 演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的 形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论.
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6. (2011?新余二模)面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此四边形内任一点 P 到 第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则 ;根据以上性质,体积

为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2, 3,4) ,若 ,则 H1+2H2+3H3+4H4=( )

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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

考点: 类比推理. 分析: 由

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可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将 P 与四边形的四个定点连接,得四个小三

角形,四个小三角形面积之和为四边形面积,即采用分割法求面积;同理对三棱值得体积可分割为 5 个已 知底面积和高的小棱锥求体积. 解答: 解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V, ∴ , ,





故选 B. 点评: 本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力.解题的关键是理解类比推理的意义,掌 握类比推理的方法.平面几何的许多结论,可以通过类比的方法,得到立体几何中相应的结论.当然,类 比得到的结论是否正确,则是需要通过证明才能加以肯定的. 7. (2013?湖州二模)定义 为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n 项的“均倒

数”为 A.

,又

,则 B.

=( C.

) D.

考点: 类比推理. 专题: 新定义;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由已知得 a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得通项 an,最后利 用裂项法,即可求和. 解答: 解:由已知得 ,
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∴ a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当 n=1 时也成立, ∴ an=4n﹣1, ∴ ∴ ∴ = . ,

故选 C. 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,确定数列的通项是关键.
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www.jyeoo.com 8.已知结论:“在正三角形 ABC 中,若 D 是边 BC 的中点,G 是三角形 ABC 的重心,则 ”,若把该结论推广

到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若△ BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的 距离都相等,则 A .1 =( ) B.2 C .3 D.4

考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 类比平面几何结论,推广到空间,则有结论:“
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=3”.设正四面体 ABCD 边长为 1,易求得 AM=

,又

O 到四面体各面的距离都相等,所以 O 为四面体的内切球的球心,设内切球半径为 r,则有 r= r 即 OM,从而可验证结果的正确性. 解答: 解:推广到空间,则有结论:“ =3”. ,又 O 到四面体各面的距离都相等,

,可求得

设正四面体 ABCD 边长为 1,易求得 AM=

所以 O 为四面体的内切球的球心,设内切球半径为 r, 则有 r= ,可求得 r 即 OM= ,

所以 AO=AM﹣OM= 故答案为:3

,所以

=3

点评: 本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识,考查运算求解能力,考查空间想象力、化归 与转化思想.属于基础题.

9. 学习合情推理后, 甲、 乙两位同学各举了一个例子, 甲: 由“若三角形周长为 l, 面积为 S, 则其内切圆半径 类比可得“若三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径



”;乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a,b,

则其外接圆半径

”;类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a、b、c,则其外接球半径

”.这两位同学类比得出的结论( A.两人都对 B.甲错、乙对

) C.甲对、乙错 D.两人都错

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www.jyeoo.com 考点: 类比推理. 专题: 压轴题;探究型. 分析: 本题考查的知识点是类比推理,但归纳推理和类比推理的结论不一定正确,我们还要继续进一步证明结论,
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由此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径,可求得其半径 结论是错误的. 解答: 解:利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的; 把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体, 则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径, 可求得其半径 ,

,因此,乙同学类比的

因此,乙同学类比的结论是错误的. 故选 C 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推 理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程.

10.在等差数列{an}中, A. 数列 B. C. 数列 数列 成等差数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列

也成等差数列,那么在等比数列{bn}中,下列推断正确的是(



D.数列

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比 推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{an}是等差数列,则当
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时,数列{cn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{bn}是各项均为正数的等比数列, 则当 时,数列{dn}也是等比数列.

解答: 解:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时, 我们一般的思路有: 由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法, 由算术平均数类比推理为几何平均数等, 故我们可以由数列{an}是等差数列,则当 类比推断:若数列{bn}是各项均为正数的等比数列,则当 时,数列{cn}也是等差数列. 时,数列{dn}也是等比数列.

故选 D. 点评: 本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)
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www.jyeoo.com 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

11.如图,P 是双曲线 分线上的一点,且

上的动点,F1、F2 是双曲线的焦点,M 是∠ F1PF2 的平 .有一同学用以下方法研究|OM|:延长 F2M 交 PF1 于点 N,可知△ PNF2 为等腰三角

形, 且 M 为 F2N 的中点, 得

. 类似地: P 是椭圆 .则|OM|的取值范围是( )

上的动点,

F1、F2 是椭圆的焦点,M 是∠ F1PF2 的平分线上的一点,且

A.

B.

C.

D.

考点: 类比推理. 专题: 压轴题;探究型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 椭圆与双曲线都是平面上到定点和定直线距离之比为定值的动点的轨迹,故它们的研究方法、性质都有相 似之处,我们由题目中根据双曲线的性质,探究|OM|值方法,类比椭圆的性质,推断出椭圆中|OM|的取值 范围. 解答: 解:延长 F2M 交 PF1 于点 N,可知△ PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2M 的中点,
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则|OM|= |NF1|=a﹣|F2M| ∵ a﹣c<|F2M|<a ∴ 0<|OM|<c= ∴ |OM|的取值范围是 故选 D. 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 12.在等差数列{an} 中,如果 a10=0,则有 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n(n<19)成立,类比这一性质,在等比数列 {bn}中,如果 b6=1,则有 b1?b2?…?bn=( ) A.b1?b2?…?b10﹣n(n<10) B. b1?b2?…?b11﹣n(n<11) C. b1?b2?…?b12﹣n(n<12) D.b1?b2?…?b13﹣n(n<13) 考点: 类比推理.

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www.jyeoo.com 专题: 探究型. 分析: 根据类比的规则,和类比积,加类比乘,由类比规律得出结论即可. 解答: 解:在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n(n<19,n∈N+)成立, 故相应的在等比数列{bn}中,若 b6=1,则有等式 b1b2b3…bn=b1b2b3…b11﹣n(n<11,n∈N+) 故选 B. 点评: 本题考查类比推理,解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性,由此得出类比的结 论即可. 13.下列类比推理的结论正确的是( ) ① 类比“实数的乘法运算满足结合律”,得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”; ② 类比“平面内,同垂直于一直线的两直线相互平行”,得到猜想“空间中,同垂直于一直线的两直线相互平行”; ③ 类比“设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8﹣S4,S12﹣S8 成等差数列”,得到猜想“设等比数列{bn}的前 n 项 积为 Tn,则 T4, , 成等比数列”;

④ 类比“设 AB 为圆的直径,P 为圆上任意一点,直线 PA,PB 的斜率存在,则 kPA?kPB 为常数”,得到猜想“设 AB 为 椭圆的长轴,p 为椭圆上任意一点,直线 PA?PB 的斜率存在,则 kPA?kPB 为常数”. ④ ② ③ ④ A .① B.① C .② D.③ 考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: ?( ? ) , ( ? )? ,分别为与向量 , 共线的向量,当 , 方向不同时,向量的数量积运算结合律
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不成立;空间中,同垂直于一直线的两直线可能平行,可能相交,也可能异面;利用排除法可得答案. 解答: 解: ?( ? )与向量 共线, ( ? )? 与向量 共线, 当 , 方向不同时,向量的数量积运算结合律不成立,故① 错误,可排除 A,B 答案; 空间中,同垂直于一直线的两直线可能平行,可能相交,也可能异面,故② 错误,可排除 C 答案; 故选 D 点评: 本题考查的知识点是类比推理,其中利用排除法排除错误答案是解答选择题的常用技巧. 14.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个 的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在 )

另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为(

A.

B.

C.

D.

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为
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,结合

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www.jyeoo.com 空间正方体的结构特征,即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积. 解答: 解:∵ 同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ,

类比到空间有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ,

故选 C 点评: 本题考查类比推理,解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征,属中 档题. 二.填空题(共 16 小题) 15. (2013?珠海二模)在等比数列{an}中,若 r,s,t 是互不相等的正整数,则 有等式 成

立.类比上述性质,相应地,在等差数列{bn}中,若 r,s,t 是互不相等的正整数,则有等式 (r﹣s)at+(s﹣t) ar+(t﹣r)as=0 成立. 考点: 类比推理. 专题: 阅读型. 分析: 通过给出的等比数列的三项与项数之间的关系,联想到等比数列的通项是首项与公比的乘积运算,等差数 列的通项是首项和公差的作和运算,想到在等差数列中,对于同样给出的三项应是每一项与其它两项项数 差的乘积后作何运算,且和为 0. 解答: 解:在等比数列{an}中,若给出第 m 项 am,则 .
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题目中对于任意给出的互不相等的正整数 r,s,t,等式 式子中是分别把数列中三项的一项作为底数,把另外两项的项数差作为指数.

成立.

而在等差数列中,an=am+(n﹣m)d. 类比等比数列中给出的等式,可用三项中的一项与另外两项的项数差作积,得到的三个积的和等于 0. 即(r﹣s)at+(s﹣t)ar+(t﹣r)as=0. 故答案为(r﹣s)at+(s﹣t)ar+(t﹣r)as=0. 点评: 本题考查了类比推理,类比推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想、类比,然后提出猜想 的推理,此题是基础题.

16. (2013?松江区二模)如图,有以下命题成立:设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,则有 命题推广,设点 A1,A2,A3,A4,A5 是线段 AB 的六等分点,则 + + + + =

.将此 .

考点: 类比推理. 分析: 由给出的关系式得到,如果线段 AB 上的两点 P,Q 分别到 A,B 的距离相等,则有
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,点

A1,A2,A3, A4,A5 是线段 AB 的六等分点,可以看作是两对到 A,B 距离相等的点,其中还有一点是 AB 的中点,由
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www.jyeoo.com 此可类比得到结论. 解答: 解:如图,

类比点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,则有 得: 所以 故答案为 .



点评: 本题考查了类比推理,类比推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳,类比然 后提出猜想的推理,是基础题.

17. (2013?韶关三模)已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是 正 四面体内切球半径是高的 .

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 连接球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,正四面体的体积,就是四个三棱锥 的体积的和,求解即可. 解答: 解:球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r,连接球心与正四面体的四个顶点.
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把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4×

S×r= ×S×h,r= h

(其中 S 为正四面体一个面的面积,h 为正四面体的高) 故答案为:正四面体内切球半径是高的 .

点评: 本题考查类比推理,解题的关键是明确类比的方法,明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法.

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www.jyeoo.com 18. (2011?甘肃一模)若直角三角形的两条直角边长度分别为 a,b,则此三角形的外接圆半径 ,运用

类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R=



考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 直角三角形对应三棱锥三条侧棱两两垂直,直角三角形补成一个矩形可类比空间三棱锥补一个长方体,而 球的内接长方体的体对角线就是球的直径. 解答: 解:若三棱锥三条侧棱两两垂直, 侧棱长分别为 a,b,c,
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可补成一个长方体,体对角线长为 而体对角线就是外接球的直径, 故答案为 .



点评: 本题考查了类比推理,解答此类问题的关键是由平面性质类比空间性质.

19. (2010?镇江一模)若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列 若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q,前 n 项的积为 Tn,则数列

为等差数列,公差为 .类似地, 为等比数列,公比为 .

考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 仔细分析数列
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为等差数列, 且通项为

的特点, 类比可写出对应数列

为等比数列的公比. 解答: 解:因为在等差数列{an}中前 n 项的和为 Sn 的通项,且写成了 所以在等比数列{bn}中应研究前 n 项的积为 Tn 的开 n 方的形式. 类比可得 .其公比为 .

故答案为 . 点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时,通常等差数列 中的求和类比等比数列中的乘积.

20. (2009?淄博一模)在技术工程上,常用到双曲线正弦函数

和双曲线余弦函数

,而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,比 如关于正、 余弦函数有 sin (x+y) =sinxcosy+cosxsiny 成立, 而关于双曲正、 余弦函数满足 sh (x+y) =shxchy+chxshy. 请 你运用类比的思想,写出关于双曲正弦、双曲余弦的一个新关系式 2 2 2 2 sinh x﹣cosh x=﹣1,cosh x﹣sinh x=1 .
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考点: 专题: 分析: 解答:

www.jyeoo.com 类比推理;双曲线的简单性质. 开放型. 注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项,即可得到新的关系式.
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解:sinh x= (e + cosh x= (e +
2 2 2 2x

2

2x

﹣2)

+2)

∴ sinh x﹣cosh =﹣1 2 2 ∴ cosh x﹣sinh x=1 2 2 2 2 故答案为:sinh x﹣cosh =﹣1,cosh x﹣sinh x=1 点评: 本题为开放题型,考查类比推理,考查分析问题、解决问题的能力. 21. (2009?盐城一模)在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线 xy=k(k>0)上任意一点 P,若点 p 在 x 轴、 y 轴上的射影分别为 M、N,则|PM|﹣|PN|必为定值 k”.类比于此,对于双曲线 (a>0,b>0)上任意一点

P,类似的命题为: 若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M、N,则|PM|?|PN|必为定值



考点: 类比推理;双曲线的简单性质. 专题: 探究型. 分析: 对于双曲线 xy=k(k>0)上任意一点 P,若点 P 在 x 轴、y 轴上的射影分别为 M、N,则|PM|﹣|PN|必为定 值 k,由于 x 轴、y 轴也是双曲线 xy=k(k>0)的渐近线,此时|PM|,|PN|分别表示 P 点到两条渐近线的距
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离,由此我们类比,对于双曲线

(a>0,b>0)上任意一点 P,|PM|?|PN|也必为定值,代入验

证即可得到答案. 解答: 解:由已知条件我们分析: 由于 x 轴、y 轴也是双曲线 xy=k(k>0)的渐近线, 此时|PM|,|PN|分别表示 P 点到两条渐近线的距离, 由此我们类比推断, 对于双曲线 (a>0,b>0)上任意一点 P,

|PM|?|PN|也必为定值, 任取双曲线一点 P(X,Y) 则|PM|?|PN|= =

故答案为:若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M、N,则|PM|?|PN|必为定值 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

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www.jyeoo.com 22.若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的任意 n 个值 x1,x2,…,xn 总满足, ≤ 在(0, . 则称 f(x)为 D 上的凸函数,现已知 f(x)=cosx

)上是凸函数,则在锐角△ ABC 中,cosA+cosB+cosC 的最大值是

考点: 类比推理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用已知结论,可将 cosA+cosB+cosC 转化为 A+B+C 的余弦求解,因为 A+B+C=180°为定值,即可得到结 论. 解答: 解:利用已知结论,则 cosA+cosB+cosC≤3cos( )=3cos = ,
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故答案为: 点评: 本题考查演绎推理、考查对式子的观察和运用能力、利用已知结论解决问题的能力. 23.在平面几何中,有射影定理:“在△ ABC 中,AB⊥ AC,点 A 在 BC 边上的射影为 D,有 AB =BD?BC.”类比平 面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系,可以得出的正确结论是:“在三棱锥 A﹣BCD 2 中,AD⊥ 平面 ABC,点 A 在底面 BCD 上的射影为 O,则有 S△ABC =S△BCO?S△BCD
2

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 这是一个类比推理的题,在由平面图形到空间图形的类比推理中,一般是由点的性质类比推理到线的性质, 由线的性质类比推理到面的性质,由已知在平面几何中, (如图所示)若△ ABC 中,AB⊥ AC,AD⊥ BC,D 2 是垂足, 则 AB =BD?BC, 我们可以类比这一性质, 推理出若三棱锥 A﹣BCD 中, AD⊥ 面 ABC, AO⊥ 面 BCD, 2 O 为垂足,则 S△ABC =S△BCO?S△BCD 解答: 解:由已知在平面几何中,
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若△ ABC 中,AB⊥ AC,AE⊥ BC,E 是垂足, 则 AB =BD?BC, 我们可以类比这一性质,推理出: 若三棱锥 A﹣BCD 中,AD⊥ 面 ABC,AO⊥ 面 BCD,O 为垂足, 2 则 S△ABC =S△BCO?S△BCD.
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www.jyeoo.com 2 故答案为 S△ABC =S△BCO?S△BCD 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

24.若点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△OBC? 四面体 ABCD 内,则有结论: VO﹣BCD?

+S△OAC?

+S△OAB?

= ,把命题类比推广到空间,若点 O 在 = .

+VO﹣ACD

+VO﹣ABD?

+VO﹣ABC?

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 本题考查的知识点是类比推理,由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质,一般的思路是:点到线,
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线到面,或是二维变三维;由题目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△OBC?

+S△OAC?

+S△OAB?

= ,

的结论是二维线段长与向量的关系式,类比后的结论应该为三维的面积与向量的关系式. 解答: 解:由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质, 一般的思路是:点到线,线到面,或是二维变三维,面积变体积; 由题目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△OBC? 我们可以推断 VO﹣BCD? 故答案为 VO﹣BCD? +VO﹣ACD +VO﹣ABD? +S△OAC? +VO﹣ABC? = +S△OAB? = = ,

+VO﹣ACD

+VO﹣ABD?

+VO﹣ABC?

点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

25. (2013?安庆三模)“公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则数列{ 性质有:“公比为 q 的正项等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则数列 {

}是公差为 的等差数列”.类比上述 的等比数列 ”.

}是公比

考点: 类比推理. 专题: 阅读型. 分析: 写出公比为 q 的正项等比数列{b }的前 n 项积为 T ,开 n 次方后得到数列{ n n
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}是公比

的等比数列.

解答: 解:∵

= 故答案为{ }是公比

,∴ { 的等比数列.

}是公比为

的等比数列.

点评: 本题考查了类比推理,类比推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然 后提出猜想的推理,是基础题.

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www.jyeoo.com 26. (2012?韶关一模)在平面中△ ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ ABC 面积所成的比 = ,将这个结论类

比到空间:在三棱锥 A﹣BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A﹣CD﹣B 且与 AB 交于 E,则类比的结论为 .

考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥,根据面积类比体积,长度类比面积,从而得到
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. 解答: 解:在平面中△ ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ ABC 面积所成的比 = ,

将这个结论类比到空间:在三棱锥 A﹣BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A﹣CD﹣B 且与 AB 交于 E, 则类比的结论为根据面积类比体积,长度类比面积可得: ,

故答案为:



点评: 本题考查了类比推理,将平面中的性质类比到空间.

27. (2011?沈阳二模)对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则 形是:若 O 是△ ABC 内一点,有 是四面体 ABCD 内一点,则有 VO﹣BCD? +VO﹣ACD +VO﹣ABD?

;将它类比到平面 的情 ;将它类比到空间的情形应该是:若 O +VO﹣ABC? = .

考点: 类比推理. 专题: 压轴题;探究型. 分析: 由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质,一般的思路是:点到线,线到面,或是二维变三维;由题
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目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△OBC?

+S△OAC?

+S△OAB?

= ,的结论是二维线段长与向量的

关系式,类比后的结论应该为三维的面积与向量的关系式. 解答: 解:由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质, 一般的思路是:点到线,线到面,或是二维变三维,面积变体积;

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www.jyeoo.com 由题目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△OBC? 我们可以推断 VO﹣BCD? 故答案为:VO﹣BCD? +VO﹣ACD +VO﹣ACD +VO﹣ABD? +VO﹣ABD? +S△OAC? +VO﹣ABC? +VO﹣ABC? +S△OAB? = = . = ,

点评: 本题考察的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

28. (2011?韶关模拟)已知 a0≠0,设方程 a0x+a1=0 的一个根是 x1,则

,方程

的两个

根是 x1,x2,则

,由此类推方程

的三个根是 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=



考点: 专题: 分析: 解答:

类比推理. 阅读型. 先找出每一个方程的所以根的和与方程的系数的关系,从而类比出所求即可. 解:观察式子的变化规律,发现每一个方程的所以根的和都可能写成规律性的式子, 是首项系数与第二项系数的分式形式,且符号是负的
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∴ 方程

的三个根是 x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=

故答案为: 点评: 本题主要考查了类比推理,解题的关键是找出方程所有根的和与方程的系数的关系,同时考查了分析问题 的能力,属于基础题.

29. (2010?台州二模)若 P0(x0,y0)在椭圆

外,则过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2,则切点弦

P1P2 所在直线方程是

.那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线

外,则过 P0 作双曲线的两条切线的切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的所在直线方程是



考点: 类比推理. 专题: 探究型.

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www.jyeoo.com 分析: 根据椭圆与双曲线之间的类比推理,由椭圆标准方程类比双曲线标准方程,由点的坐标类比点的坐标,由 切点弦 P1P2 所在直线方程类比切点弦 P1P2 所在直线方程,结合求椭圆切点弦 P1P2 所在直线方程方法类比 求双曲线切点弦 P1P2 所在直线方程即可. 解答: 解:若 P0(x0,y0)在椭圆 外, 则过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2, 则切点弦 P1P2 所在直线方程是 .

那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线

外,

则过 P0 作双曲线的两条切线的切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的所在直线方程是

故答案为:



点评: 本题主要考查类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁 移到另一类数学对象上去.一般步骤:① 找出两类事物之间的相似性或者一致性.② 用一类事物的性质去推 测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) .

30. (2010?深圳二模) 设 P 是边长为 a 的正△ ABC 内的一点, P 点到三边的距离分别为 h1、 h2、 h3, 则 类比到空间, 设 P 是棱长为 a 的空间正四面体 ABCD 内的一点, 则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4=

; .

考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性质类比推理出空间 里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空 间中体的性质.固我们可以根据已知中平面几何中,关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是 一个定值”,推断出一个空间几何中一个关于面的性质. 解答: 解:类比 P 是边长为 a 的正△ ABC 内的一点, 本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图:
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由棱长为 a 可以得到 BF=

a,BO=AO=



在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 2 2 2 BO =BE +OE , 把数据代入得到 OE= a, a= a,

∴ 棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4× 故答案为: a.

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点评: 本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

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