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2016年竞赛与自主招生专题第二讲:均值、柯西、排序不等式(教师版)

2016 年竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后,政策刚出时,很多人认为, 是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个题目 只有出到高考以上,竞赛以下,才能在这么多省份间拉开差距. 所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞赛 真题等,具有参考价值。 在近三年自主招生试题中,不等式部分通常占 10%-15%,其中绝大多数涉及 到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 一、知识精讲 1.两个重要的不等式(二元均值不等式) : ① a 2 ? b 2 ? 2ab(a, b ? R) ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 ② a?b ? ab (a, b ? R * ) ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 2 2.最值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P ,则: ①如果 P 是定值, 那么当 x ? y 时,S 的值最小; ②如果 S 是定值, 那么当 x ? y 时,P 的值最大。 注意: ①前提: “一正、二定、三相等” ,如果没有满足前提,则应根据题目创设情境; 还要注意选择恰当的公式; ②“和定 积最大,积定 和最小” ,可用来求最值; ③均值不等式具有放缩功能, 如果有多处用到, 请注意每处取等的条件是否一致。 1.均 值 不 等 式 : 设 a1 , a2 , a3 ,?an 是 n 个 正 实 数 , 记 Qn ? An ? a1 ? a2 ? ? ? an , n a12 ? a2 2 ? ? an 2 , n Gn ? n a1a2 ?an , H n ? n 1 1 1 ? ?? ? a1 a2 an ,则 Qn ? An ? Gn ? H n ,其中等号成立的 条件是 a1 ? a2 ? ? ? an 。 Qn , An , Gn , H n 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、 调和平均。 2.柯西不等式: 柯 西 不 等 式 的 二 维 形 式 : 若 a, b, c, d 都 是 实 数 , 则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) ,当且仅当 ad ? bc 时,等号成立。 柯西不等式的一般形式:设 a1 , a2 , a3 ,...,an , b1 , b2 , b3 ,...,bn 是实数,则 2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ... ? an ).(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2 , 当 且 仅 当 bi ? 0 (i ? 1,2,...,n) 或存在一个数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1,2,...,n) 时,等号成立。 3.柯西不等式的几个推论: (1)当 b1 ? b2 ? ?bn ? 1 时 , 2 柯 西 不 等 式 即 为 2 2 n(a12 ? a ?? ?) a? a ( ?? 2 an 1 an , 若 )2 ai ? R ? ( i ? 1, 2,? n ) , 则 a12 ? a22 ? ? an 2 a1 ? a2 ? ? ? an ,此即上面提到的平方平均 ? 算术平均。 ? n n (2)当 bi ? (3)当 1 1 1 1 ( i ? 1, 2,? n )时,有 (a12 ? a2 2 ? ? an 2 )( 2 ? 2 ? ? 2 ) ? n2 。 ai a1 a2 an ai , bi ? R? ( i ? 1, 2,? n ) , 则 ? a1 a2 an ? 2 ? ? ? ? ? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ( a1 ? a2 ? ? an ) 。 bn ? ? b1 b2 4.排序不等式(又称排序定理) : 给 定 两 组 实 数 a1,a2, ?,an ; b1,b2, ?,bn . 如 果 a1 ? a2 ? ? ? an ; b1 ? b2 ? ? ? bn .那么 a1bn +a2bn?1 ? ?+anb1 ? a1bi1 +a2bi2 ? ?+anbin ? a1b1 +a2b2 ? ?+anbn (反序和) (乱序和) (同序和) 2 ??,n 的一个排列. 其中 i1,i2, ??,in 是 1,, 该不等式所表达的意义是和式 ? a j bi j 在同序和反序时分别取得最大值和最小 j ?1 n 值. 二、竞赛题目精练 1 ? b ? 1. 证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2 证明:设 f (x) ? 2x+cos?x,欲证不等式转化为 f (b) ≤ f (a). 【2013 江苏竞赛】13. 设实数 a , b 满足 0 ? a ? 由于 f ′(x) ? 2??sin?x,f ″(x) ? ? ?2cos?x. 1 1 )时,f ″(x) ? ? ?2cos?x<0,当 x∈( ,1)时,f ″(x) ? ? ?2cos?x>0, 2 2 1 1 所以 f ′(x)在区间[0, ]上单调减,在区间[ ,1]上单调增. 2 2 1 1 因为 f ′(0) ? f ′(1) ? 2 和 f ′( ) ? 2??<0, 所以存在?和?, 0<?< <?<1, 使得 f ′(?) ? f ′(?) 2 2 ? 0,f ′(x)<0 当且仅当 x∈(?,?). .......................................................10 分 当 x∈(0, 于是函数 f (x)在区间[0,?]和[?,1]上单调增,在区间[?,?]上单调减. 1 1 1 ) ? f (1) ? 1,故对于 x∈[0,

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