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北京市延庆县2016年高考数学一模试卷(文科)


2016 年北京市延庆县高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x2>1},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x≤1} B.{x|x>0 或 x<﹣1} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x≤2} 2.计算: =( )

A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 3.已知两条直线 a,b 和平面 α,若 a⊥b,b?α,则“a⊥α”是“b∥α”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为( )



A. B. C.2 D. 5.执行如图所示的程序框图,若输出的 a 的值为 15,则判断框应填写(



A.2

B.3

C.4

D.5 ,且焦点到渐近线的距离为 4,则该双曲线实轴长为( )

6.已知双曲线的离心率

A.6 B.5 C.4 D.3 7.已知等比数列{an}的公比 q≠1,则下面说法中不正确的是( A.{an+2+an}是等比数列 B.对于 k∈N*,k>1,ak﹣1+ak+1≠2ak C.对于 n∈N*,都有 anan+2>0 D.若 a2>a1,则对于任意 n∈N*,都有 an+1>an



8.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%)的折线统计图,据该市统计局初步核算, 2015 年一季度全区生产总值为 1552.38 亿元,与去年同一时期相比增长 12.9%(如图,折线 图中其它数据类同) .根据统计图得出正确判断是( )

A.近三年该市生产总值为负增长 B.近三年该市生产总值为正增长 C.该市生产总值 2013 年到 2014 年为负增长,2014 年到 2015 年为正增长 D.以上判断都不正确 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(2,m)到焦点的距离为 3,则 p= 10.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a= . ,则

. ,则

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 = 12.已知 . ,则 z=x+4y 能取得最 (大或小)值为



13.在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若第一个长方形的面积为 0.02,前五 个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为 1600,则中 间一组(即第五组)的频数为 .

14.已知偶函数 f(x) ,奇函数 g(x)的图象分别如图(1) 、图(2)所示,若 f(y0)=0 且 y0=g(x0) ,则 x0 的值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)当 x∈[﹣ , ]时,求函数 f(x)的最小值和最大值. .

16.在一次水稻试验田验收活动中,将甲、乙两种水稻随机抽取各 6 株样品,单株籽粒数制 成如图所示的茎叶图: (Ⅰ) 运用统计学的知识指出甲、 乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些? (不需说明理由) (Ⅱ)一粒水稻约为 0.1 克,每亩水稻约为 6 万株,估计甲种水稻亩产约为多少公斤? (Ⅲ)分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株,甲品种中选出的籽粒数记为 a,乙品种中选 出的籽粒数记为 b,求 a≥b 的概率.

17.如图,已知四棱锥 S﹣ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的棱形,∠ABC=60°,侧面 SAD 为正三角形,侧面 SAD⊥底面 ABCD,M 为侧棱 SB 的中点,E 为线段 AD 的中点. (Ⅰ)求证:SD∥平面 MAC; (Ⅱ)求证:SE⊥AC; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣ABC 的体积.

18.数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{bn}满足 bn=an+1+(﹣1)nan,n∈N*. (Ⅰ)若数列{an}是等比数列,an=32,求项数 n 的值; (Ⅱ)若数列{bn}是常数列,求数列{an}的前 2016 项的和 S2016. 19.已知函数 f(x)=ex,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m>0,讨论函数 零点的个数.

20.已知椭圆

的长轴长为 4,离心率



(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设过椭圆 G 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 G 的另一个交点为 B,与 x 轴交于点 C,线 段 AB 的中点为 D,线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、y 轴于 P、Q 两点.问:是否存在 直线 l 使△ PDC 与△ POQ 的面积相等(O 为坐标原点)?若存在,求出所有满足条件的直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

2016 年北京市延庆县高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x2>1},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x≤1} B.{x|x>0 或 x<﹣1} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x≤2} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出集合 B 中不等式的解集,找出 A 与 B 的公共部分即可确定出交集. 【解答】解:∵x2>1 解得:x>1 或 x<﹣1, ∴B={x|x>1 或 x<﹣1}, ∵A={x|0≤x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 故选:C

2.计算:

=(

) D.﹣1﹣i

A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】按照复数除法的运算法则,分子分母同乘以 1﹣i,计算化简即可. 【解答】解: 故选 A 3.已知两条直线 a,b 和平面 α,若 a⊥b,b?α,则“a⊥α”是“b∥α”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】分别判断出充分性和不必要性即可. 【解答】解:若 a⊥b,b?α,a⊥α,则 b∥α,是充分条件, 若 a⊥b,b?α,b∥α,推不出 a⊥α,不是必要条件, 则“a⊥α”是“b∥α”的充分不必要条件, 故选:A. 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为( ) ) = = =1+i

A.

B.

C.2

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图还原原几何体,得到底面为直角三角形,且∠ACB=90°,侧面 PBC⊥底 面 ABC,再由线面垂直的性质可得 AC⊥PC,求解直角三角形可得 PA,则答案可求. 【解答】解:由三视图还原原几何体如图,

底面为直角三角形,且∠ACB=90°, 侧面 PBC⊥底面 ABC, △ BPC 是等腰三角形,PO⊥BC,PO=1,BO=OC=1,AC=1, 则 AC⊥PC, 在 Rt△ POC 中,PO=OC=1,∴PC= , 则 PB= , 在 Rt△ PCA 中,PA= ∴三棱锥的最长棱的长为 故选:B. . .

5.执行如图所示的程序框图,若输出的 a 的值为 15,则判断框应填写(



A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】程序框图. 【分析】 根据框图流程依次计算程序运行的结果, 根据输出的 a 的值, 确定跳出循环的 i 值, 从而得判断框的条件. 【解答】解:由程序框图知:第一次循环 i=1,a=1; 第二次循环 i=2,a=3; 第三次循环 i=3,a=7; 第四次循环 i=4,a=15; ∵输出的 a 的值为 15, ∴n=4 时跳出循环体, ∴判断框内的条件为:n<4. 故选:C.

6.已知双曲线的离心率 A.6 B.5 C.4

,且焦点到渐近线的距离为 4,则该双曲线实轴长为( D.3



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1(a,b>0) ,运用离心率公式和点到直线的距离公式,

结合双曲线 a,b,c 的关系,解方程可得 a=3,进而得到双曲线的实轴长 2a. 【解答】解:设双曲线的方程为 ﹣ =1(a,b>0) ,

由题意可得 e= = , 可设焦点(c,0)到渐近线 y= x 的距离为 4,

可得

=b=4,

由 a2+b2=c2, 解得 a=3, 可得该双曲线实轴长为 2a=6. 故选:A. 7.已知等比数列{an}的公比 q≠1,则下面说法中不正确的是( A.{an+2+an}是等比数列 B.对于 k∈N*,k>1,ak﹣1+ak+1≠2ak )

C.对于 n∈N*,都有 anan+2>0 D.若 a2>a1,则对于任意 n∈N*,都有 an+1>an 【考点】等比数列的性质. 【分析】利用等比数列的通项,对选项分别进行分析,即可得出结论. 【解答】解:对于 A,{an+2+an}是公比为 q2 的等比数列,正确;

对于 B,对于 k∈N*,k>1,ak﹣1+ak+1=

+akq,∵q≠1,∴ak﹣1+ak+1≠2ak,正确‘

对于 C,anan+2=an2q2>0,正确; 对于 D,若 a2>a1,a>1,则对于任意 n∈N*,都有 an+1>an,故不正确, 故选:D. 8.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%)的折线统计图,据该市统计局初步核算, 2015 年一季度全区生产总值为 1552.38 亿元,与去年同一时期相比增长 12.9%(如图,折线 图中其它数据类同) .根据统计图得出正确判断是( )

A.近三年该市生产总值为负增长 B.近三年该市生产总值为正增长 C.该市生产总值 2013 年到 2014 年为负增长,2014 年到 2015 年为正增长 D.以上判断都不正确 【考点】简单随机抽样. 【分析】由折线统计图可知,增长率都是大于 0 的,故可知答案. 【解答】解:由折线统计图可知,增长率都是大于 0 的,故近三年该市生产总值为正增长, 故选:B. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(2,m)到焦点的距离为 3,则 p= 2 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】依题意知,其准线方程为:x=﹣ ,利用定义,将抛物线上的点到焦点的距离,转 化为它到准线的距离即可. 【解答】解:抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为:x=﹣ , 由抛物线的定义知,2﹣(﹣ )=3, 解得:p=2, 故答案为:2.

10. B, C 的对边分别为 △ ABC 的内角 A, 【考点】余弦定理.

, 则 a=



【分析】由已知及同角三角函数基本关系式可得 sinB 的值,利用正弦定理即可解得 a 的值. 【解答】解:∵B∈(0,π) ,cosB= ,可得:sinB= 又∵A=30°,b=2, = ,

∴由正弦定理可得:a=

=

= .

故答案为: .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 0 . 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【分析】根据条件 计算公式即可求出 【解答】解:∵ ∴ =2 ﹣2(3,1)=(﹣4,2) =(1,2)?(﹣4,2)=﹣4+4=0 ∴ 故答案为 0 .

,则

=

求出 然后再根据向量数量积的坐标

12.已知

,则 z=x+4y 能取得最 大 (大或小)值为 ﹣1 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作出平面区域,变形目标函数,平移直线 y=﹣ x 数形结合可得. 【解答】解:作出约束条件 ,所对应的可行域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 y=﹣ x+ z,平移直线 y=﹣ x 可知,

当直线经过点 A(7,﹣2)时,目标函数取最大值, 代值计算可得 z 的最大值为:﹣1, 故答案为:大;﹣1. 13.在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若第一个长方形的面积为 0.02,前五 个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为 1600,则中 间一组(即第五组)的频数为 360 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】设出公差,利用 9 个小长方形面积和为 1,求出公差,然后求解中间一组的频数. 0.02+2d, 0.02+3d, 【解答】解: 设公差为 d, 那么 9 个小长方形的面积分别为 0.02,0.02+d, 0.02+4d,0.02+3d,0.02+2d,0.02+d,0.02,而 9 个小长方形的面积和为 1,可得 0.18+16d=1 解得 d= ,

∴中间一组的频数为:1600×(0.02+4d)=360. 故答案为:360. 14.已知偶函数 f(x) ,奇函数 g(x)的图象分别如图(1) 、图(2)所示,若 f(y0)=0 且 y0=g(x0) ,则 x0 的值为 ﹣1,0,或 1 .

【考点】函数奇偶性的性质;函数的图象. 【分析】根据 g(x)的图象便可得到﹣1≤y0≤1,而由 f(x)的图象及 f(y0)=0 便可得出 y0=0,从而便可由 g(x)的图象和 g(x0)=0 即可解出 x0 的值. 【解答】解:根据 g(x)的图象得,﹣1≤y0≤1; ∴由 f(x)的图象及 f(y0)=0 得,y0=0; ∴g(x0)=0; ∴x0=﹣1,0,或 1. 故答案为:﹣1,0,或 1. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调增区间; .

(Ⅱ)当 x∈[﹣



]时,求函数 f(x)的最小值和最大值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数公式化简可得 f(x)=sin(2x﹣ 解 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ , 可得单调增区间; ∈[﹣ , ],可得 sin(2x﹣ )∈[﹣ ,1],可 )﹣1,由周期公式可得周期,

(Ⅱ)由 x∈[﹣ 得答案.

]可得 2x﹣

【解答】解: (Ⅰ)化简可得 = = sin2x﹣ (1+cos2x)﹣ sin2x﹣ cos2x﹣1 )﹣1, =π, 可得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ]k∈Z; ∈[﹣ , ],

=sin(2x﹣

∴f(x)的最小正周期 T= 由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+

∴函数的单调增区间为[kπ﹣ (Ⅱ)当 x∈[﹣ ∴sin(2x﹣ ,

]时,2x﹣ ,1],

)∈[﹣

∴函数 f(x)的最小值和最大值分别为﹣

﹣1 和 0.

16.在一次水稻试验田验收活动中,将甲、乙两种水稻随机抽取各 6 株样品,单株籽粒数制 成如图所示的茎叶图: (Ⅰ) 运用统计学的知识指出甲、 乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些? (不需说明理由) (Ⅱ)一粒水稻约为 0.1 克,每亩水稻约为 6 万株,估计甲种水稻亩产约为多少公斤? (Ⅲ)分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株,甲品种中选出的籽粒数记为 a,乙品种中选 出的籽粒数记为 b,求 a≥b 的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 【分析】 (Ⅰ)由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些.

(Ⅱ)先求出甲种水稻单株籽粒数的平均数,由此能估计估计甲种水稻亩产约为多少公斤. (Ⅲ)分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株,先求出基本事件总数,再求出 a≥b 包含的基 本事件个数,由此能求出 a≥b 的概率. 【解答】解: (Ⅰ)由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些. (Ⅱ)估计甲种水稻亩产约为: × =1092(公斤) .

(Ⅲ)∵分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株, 甲品种中选出的籽粒数记为 a,乙品种中选出的籽粒数记为 b, ∴基本事件总数 n=6×6=36, a≥b 包含的基本事件个数:m=2+2+4+5+6=19, ∴a≥b 的概率 p= = .

17.如图,已知四棱锥 S﹣ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的棱形,∠ABC=60°,侧面 SAD 为正三角形,侧面 SAD⊥底面 ABCD,M 为侧棱 SB 的中点,E 为线段 AD 的中点. (Ⅰ)求证:SD∥平面 MAC; (Ⅱ)求证:SE⊥AC; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣ABC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于 O,连接 MO,由三角形中位线定理可得 OM∥SD,然后 由线面平行的判定得答案; (Ⅱ)由侧面 SAD 为正三角形,E 为线段 AD 的中点,可得 SE⊥AD,结合侧面 SAD⊥底 面 ABCD,得 SE⊥底面 ABCD,则 SE⊥AC; (Ⅲ)由已知求出 ,代入三棱锥体积公式求得答案. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于 O,连接 MO, ∵底面 ABCD 是菱形,∴O 为 BD 的中点,又 M 为侧棱 SB 的中点, ∴OM∥SD, 又 OM?面 MAC,SD?面 MAC, ∴SD∥平面 MAC; (Ⅱ)证明:∵SAD 为正三角形,E 为线段 AD 的中点, ∴SE⊥AD, 又侧面 SAD⊥底面 ABCD,且侧面 SAD∩底面 ABCD=AD, ∴SE⊥底面 ABCD,而 AC?底面 ABCD, ∴SE⊥AC; (Ⅲ)解:∵底面 ABCD 是边长为 2 的棱形,∠ABC=60°, ,再由 M 为 SB 的中点,得 M 到底面的距离为

∴△ABC 为边长是 2 的正三角形,则 又△ SAD 为边长是 2 的正三角形,∴SE= , 由(Ⅱ)知 SE⊥底面 ABCD,即 S 到底面的距离为 ∵M 为 SB 的中点,∴M 到底面的距离为 ∴ . ,





18.数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{bn}满足 bn=an+1+(﹣1)nan,n∈N*. (Ⅰ)若数列{an}是等比数列,an=32,求项数 n 的值; (Ⅱ)若数列{bn}是常数列,求数列{an}的前 2016 项的和 S2016. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (I)利用等比数列的通项公式即可得出. n II an=1, n∈N*. ( ) 由数列{bn}是常数列, 可得 b1=a2﹣a1=1. 利用 an+1+ (﹣1) 可得 a2k+1+a2k=1, * a2k﹣a2k﹣1=1,k∈N .a2k+1=﹣a2k﹣1,a2k+a2k+2=2.分组求和即可得出. 【解答】解: (I)数列{an}是等比数列, ∴an=32= =2n﹣1,

解得 n=6. (II)∵数列{bn}是常数列, b1=a2﹣a1=1, ∴an+1+(﹣1)nan=1,n∈N*. ∴a2k+1+a2k=1,a2k﹣a2k﹣1=1,k∈N*. ∴a2k+1=﹣a2k﹣1,a2k+a2k+2=2. ∴数列{an}的前 2016 项的和 S2016=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a2013+a2015)+(a2+a4)+…+ (a2014+a2016) =0+2×504=1008. 19.已知函数 f(x)=ex,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m>0,讨论函数 零点的个数.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理. 【分析】 (Ⅰ)求函数的导数,利用导数的几何意义即可求函数 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)由 g(x)=0,利用参数转化法,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和极 值,利用数形结合进行求解即可.

【解答】解: (Ⅰ)函数的导数 f′(x)=ex, 则 f′(1)=e,f(1)=e, 则函数 f(x)在 x=1 处的切线方程 y﹣e=e(x﹣1) , 即 y=ex; (Ⅱ)由 =0,

得 m=

=



设 h(x)=



则 h′(x)=

=



当 x<0 时,h′(x)>0,此时函数单调递增,且 h(x)>0, 当 x>2 时,h′(x)>0,此时函数单调递增, 当 0<x<2 时,h′(x)<0,此时函数单调递减, 即当 x=2 时,函数 h(x)取得极小值 h(2)= 作出函数 h(x)的草图如图: 当 m>0 时, 若 m> 若 m= 时,h(x)=m 有 3 个不同的根,即函数 g(x)有 3 个不同的零点, 时,h(x)=m 有 2 个不同的根,即函数 g(x)有 2 个不同的零点, 时,h(x)=m 有 1 个不同的根,即函数 g(x)有 1 个不同的零点. ,

若 0<m<

20.已知椭圆

的长轴长为 4,离心率



(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设过椭圆 G 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 G 的另一个交点为 B,与 x 轴交于点 C,线 段 AB 的中点为 D,线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、y 轴于 P、Q 两点.问:是否存在 直线 l 使△ PDC 与△ POQ 的面积相等(O 为坐标原点)?若存在,求出所有满足条件的直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得 2a=4,即 a=2,e= = ,可得 c,再由 a,b,c 的关系可得 b,

进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设 A(0,1) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,求得 B 的坐标,再由中点 Q 的坐标, 坐标公式可得 D, 求得线段 AB 的中垂线方程, 可得 P, 假设存在直线 l, 使△ PDC 与△ POQ 的面积相等 (O 为坐标原点) , 运用三角形的面积公式, 可得 = , 即有

=

,解方程即可得到所求 k 的值,进而判断存在直线 l.

【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 2a=4,即 a=2,e= = 解得 c= ,b= =1, +y2=1;



可得椭圆的方程为

(Ⅱ)设 A(0,1) ,直线 AB 的方程为 y=kx+1, 代入椭圆方程,可得(1+4k2)x2+8kx=0, 解得 x=﹣ ,或 x=0.

即有 B(﹣



) ,

中点 D 的坐标为(﹣



) , =﹣ (x+ ) ,

可得 AB 的中垂线方程为 y﹣ 化为 y=﹣ x﹣ ,

可得 P(﹣

,0) ,Q(0,﹣

) ,

假设存在直线 l,使△ PDC 与△ POQ 的面积相等(O 为坐标原点) , 即有 PD?PC?sin∠DPC= PO?PQ?sin∠OPQ, 即有 PD?PC=PO?PQ, 即为 = ,即有 = ,

即有

=﹣3,

解得 k=±

. x+1,

故存在直线 l,且 l 的方程为 y=±

使△ PDC 与△ POQ 的面积相等(O 为坐标原点) .

2016 年 6 月 21 日


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