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广东省广州市2016届高考数学1月模拟试卷理(含解析)(新)


2016 年广东省广州市高考数学模拟试卷(理科) (1 月份)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A={x|1<2x<4},B={x|x﹣1≥0},则 A∩?UB=( A.{x|1<x<2} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<1} D.{x|1≤x<2} 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( A.3+4i B.5+4i C.3﹣4i 3.下列说法正确的是( ) D.5﹣4i ) )

A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p:? x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 α = ,则 sinα = ”的否命题是“若 α ≠ ,则 sinα ≠ ”
2

4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=( A.2 )

B.﹣2 C.﹣98 D.98 )

5.执行如图所示的程序框图输出的结果为(

A.(﹣2,2)

B.(﹣4,0)

C.(﹣4,﹣4) D.(0,﹣8)
1

6.各项均为正数的等差数列{an}中,a4a9=36,则前 12 项和 S12 的最小值为( A.78 B.48 C.60 D.72



7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯 视图是半径为 1 的 圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( )

A.

π B.

π C.

π D.

π ,π ),函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象的相 ,则 f( )的值为( )

8.已知 sinφ = ,且 φ ∈( 邻两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C. D.

9.若实数 x、y 满足约束条件

,则 的取值范围是(



A.[ ,2]

B.[ , ]

C.[ ,2]

D.[1,2]

10.过双曲线 与另一条渐近线交于点 B,若 A. B. C.2 D.

的一个焦点 F 作一条渐线的垂线,垂足为点 A, ,则此双曲线的离心率为( )

11.将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学 至少保送 1 人,则不同的保送方法共有( A.150 种 B.180 种 C.240 种 )

D.540 种 ,0),(0,﹣2),O )

12.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),( 为坐标原点,动点 P 满足| A. ﹣1 B. ﹣1 |=1,则| C. +1 + D. + |的最小值是( +1

2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 , 满足| |=4, 在 方向上的投影是 ,则 ? = 14.已知 cos(θ +π )=﹣ ,则 sin(2θ + 15.( + )= . . .

)10 展开式中的常数项为 180,则 a=

16.己知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,且 xf′(x)+f(x)>0,则函数 g(x)=xf(x) +1(x>0)的零点个数为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1=2,对任意 n∈N*,都有 2Sn=(n+1)an. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1.

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线,分别交 AB,AC 于点 M,N. (Ⅰ)证明:MN⊥平面 ADD1A1; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1M﹣N 的余弦值.

19.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上, 其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 40<X<8080≤X≤120X>120
3

发电机最多可运行台数1

2

3

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: + =1(a>b≥1)的离心率 e= ,且椭

圆 C1 上一点 M 到点 Q(0,3)的距离的最大值为 4. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A(0, ),N 为抛物线 C2:y=x2 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1

于 B,C 两点,求△ABC 面积的最大值. 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax(e 为自然对数的底数,a 为常数)在点(0,1)处的切线斜率 为﹣1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,x2<ex; (Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞),恒有 x2<cex.

选修 4-1:几何证明选讲 22.如图∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的 eO 与 BC 交于点 E. (Ⅰ)求证:BC?CD=AD?DB; (Ⅱ) 若 BE=4,点 N 在线段 BE 上移动,∠ONF=90°,NF 与⊙O 相交于点 F, 求 NF 的最小值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (θ 为参数,a>0). (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值;
4

(t 为参数) 与曲线 C2:

(Ⅱ)当 a=3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求 A,B 两点的距离.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α ,β >1,f(α )+f(β )=2,求证: + ≥ .

5

2016 年广东省广州市高考数学模拟试卷(理科)(1 月份) 参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若全集 U=R,集合 A={x|1<2x<4},B={x|x﹣1≥0},则 A∩?UB=( A.{x|1<x<2} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<1} D.{x|1≤x<2} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】本题考查集合的运算,将两个集合化简,故直接运算得出答案即可. 【解答】解:∵全集 U=R,集合 A={x|1<2 <4}={x|0<x<2},B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}, 则?UB={x|x<1}, ∴A∩(?UB)={x|0<x<1}, 故选:C. 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本 题的关键.本题考查了推理判断的能力.
x



2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( A.3+4i B.5+4i C.3﹣4i D.5﹣4i



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;分析法;数系的扩充和复数. 【分析】由 a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数,可求出 a,b 的值,代入(a+bi)2 进一步化简求值, 则答案可求. 【解答】解:∵a﹣i 与 2+bi 互为共轭复数, ∴a=2,b=1. 则(a+bi) =(2+i) =3+4i. 故选:A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2 2

6

3.下列说法正确的是(



A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p:? x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 α = ,则 sinα = ”的否命题是“若 α ≠ ,则 sinα ≠ ”

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用充要条件判断 A 的正误;命题的否定判断 B 的正误;复合命题的真假判断 C 的正误;否命题的关系判断 D 的正误; 【解答】解:对于 A,“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件,显然不正确, 如果函数的定义域中没有 0,函数可以是奇函数例如,y= ,∴A 不正确; 对于 B,若 p:? x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0,则¬p:? x∈R,x ﹣x﹣1≤0,∴B 不正确;
2 2

对于 C,若 p∧q 为假命题,则 p,q 一假即假命,∴C 不正确; 对于 D,“若 α = ,则 sinα = ”的否命题是“若 α ≠ ,则 sinα ≠ ”,满足否命题

的形式,∴D 正确; 故选:D. 【点评】 本题考查命题的真假的判断, 四种命题的关系, 充要条件的判定, 基本知识的考查.

4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=( A.2 )

2

B.﹣2 C.﹣98 D.98

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可. 【解答】解:∵f(x+4)=f(x), ∴函数的周期是 4, ∵f(x)在 R 上是奇函数,且当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , ∴f(7)=f(7﹣8)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选:B
7
2

【点评】 本题主要考查函数值的计算, 根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题 的关键.

5.执行如图所示的程序框图输出的结果为(



A.(﹣2,2)

B.(﹣4,0)

C.(﹣4,﹣4) D.(0,﹣8)

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; x=1,y=1, k=0 时,s=x﹣y=0,t=x+y=2; x=s=0,y=t=2, k=1 时,s=x﹣y=﹣2,t=x+y=2; x=s=﹣2,y=t=2, k=2 时,s=x﹣y=﹣4,t=x+y=0; x=s=﹣4,y=t=0, k=3 时,循环终止, 输出(x,y)是(﹣4,0).

8

故选:B. 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 是基础题目.

6.各项均为正数的等差数列{an}中,a4a9=36,则前 12 项和 S12 的最小值为( A.78 B.48 C.60 D.72



【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】利用基本不等式,结合等差数列的求和及通项公式,即可求出前 12 项和 S12 的最小 值. 【解答】解:由题意,a4+a9≥2 ∴S12= (a1+a12)=6(a4+a9)≥72, =12,

故选:D. 【点评】本题考查基本不等式,考查等差数列的求和及通项公式,正确运用等差数列的求和 及通项公式是关键.

7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形,俯 视图是半径为 1 的 圆周和两条半径,则这个几何体的体积为( )

A.

π B.

π C.

π D.

π

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】几何体为圆锥的 ,根据三视图的数据计算体积即可.

9

【解答】解:由三视图可知几何体为圆锥的 ,圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,∴圆锥 的高为 . = .

∴V= × × 故选 A.

【点评】本题考查了圆锥的三视图和体积计算,属于基础题.

8.已知 sinφ = ,且 φ ∈( 邻两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C. D.

,π ),函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象的相 ,则 f( )的值为( )

【考点】正弦函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由周期求出 ω ,由条件求出 cosφ 的值,从而求得 f( )的值.

【解答】解:根据函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象的相邻两条对称轴之间的距 离等于 可得 = , = ,∴ω =2. ,π ),可得 cosφ =﹣ , +φ )=cosφ =﹣ ,

由 sinφ = ,且 φ ∈( ∴则 f( 故选:B. )=sin(

【点评】本题主要考查正弦函数的周期性,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

9.若实数 x、y 满足约束条件

,则 的取值范围是(



A.[ ,2]

B.[ , ]

C.[ ,2]

D.[1,2]

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;数形结合;转化法;不等式.

10

【分析】作出不等式组对应的平面区域,设 k= ,则 z= = ,利用 k 的几何意义进行求解 即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,则由图象知 x>0, 则设 k= ,则 z= = , 则 k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率, 由图象知,OA 的斜率最大,OC 的斜率最小, 由 得 ,即 A(1,2),





,即 C( ,1),

则 OA 的斜率 k=2,OC 的斜率 k= = ,

则 ≤k≤2,则 ≤ ≤ , 即 ≤ ≤ , 即 的取值范围是[ , ], 故选:B

【点评】 本题主要考查线性规划的应用, 利用换元法转化为直线斜率的取值范围是解决本题 的关键.

10.过双曲线 与另一条渐近线交于点 B,若

的一个焦点 F 作一条渐线的垂线,垂足为点 A, ,则此双曲线的离心率为( )
11

A.

B.

C.2

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先由 ,得出 A 为线段 FB 的中点,再借助于图象分析出其中一条渐近线对

应的倾斜角的度数,找到 a,b 之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率. 【解答】解:如图因为 ,所以 A 为线段 FB 的中点,

∴∠2=∠4,又∠1=∠3,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3. 故∠2+∠3=90°=3∠2? ∠2=30°? ∠1=60°? ∴ 故选:C. =4? e=2. .

【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.

11.将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学 至少保送 1 人,则不同的保送方法共有( A.150 种 B.180 种 C.240 种 )

D.540 种

【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题;分类讨论;综合法;排列组合. 【分析】 每所大学至少保送一人, 可以分类来解, 当 5 名学生分成 2, 2, 1 时, 共有 C52C32A33, 当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C53A33,根据分类计数原理得到结果. 【解答】解:当 5 名学生分成 2,2,1 或 3,1,1 两种形式, 当 5 名学生分成 2,2,1 时,共有 C52C32A33=90 种结果,

12

当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C5 A3 =60 种结果, ∴根据分类计数原理知共有 90+60=150 故不同保送的方法数为 150 种, 故选:A. 【点评】本题考查了分组分配问题,关键是如何分组,属于中档题.

3

3

12.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(0,1),( 为坐标原点,动点 P 满足| A. ﹣1 B. ﹣1 |=1,则| C. +1 + D. + |的最小值是( +1

,0),(0,﹣2),O )

【考点】平面向量的坐标运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】设点 P(x,y),则动点 P 满足| |=
2 2

|=1 可得 x +(y+2) =1.根据|

2

2

+

+

,表示点 P(x y)与点 Q(﹣

,﹣1)之间的距离.显然点

Q 在圆 C x +(y+2) =1 的外部,求得 QC=

,问题得以解决. |=1 可得 x +(y+2) =1. + + |= ,
2 2

【解答】解:设点 P(x,y),则动点 P 满足| 根据 + + 的坐标为( +x,y+1),可得|

表示点 P(x y)与点 Q(﹣
2 2

,﹣1)之间的距离. ,| + + |的最小值为 QC﹣1= ﹣

显然点 Q 在圆 C x +(y+2) =1 的外部,求得 QC= 1, 故选:A.

【点评】本题主要考查两点间的距离公式,两个向量坐标形式的运算,求向量的模,属于基 础题.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 , 满足| |=4, 在 方向上的投影是 ,则 ? = 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】设 的夹角为 θ ,则| |cosθ = ,于是 ? =| |?| |cosθ =4× =2. 2 .

13

【解答】解:设 |cosθ =4× =2. 故答案为:2.

的夹角为 θ ,则 在 方向上的投影为| |cosθ = ,∴

? =| |?|

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题.

14.已知 cos(θ +π )=﹣ ,则 sin(2θ +

)=



【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【专题】计算题;函数思想;定义法;三角函数的求值. 【分析】根据诱导公式和二倍角公式即可求出. 【解答】解:∵cos(θ +π )=﹣ , ∴cosθ = , ∴sin(2θ + 故答案为:﹣ 【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式,属于基础题. )=cos2θ =2cos2θ ﹣1= ﹣1=﹣ ,

15.(

+

)10 展开式中的常数项为 180,则 a= ±2 .

【考点】二项式定理的应用. 【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得 展开式中的常数项的值,再根据常数项的值为 180,求得 a 的值. 【解答】解:( 令 5﹣ + )10 展开式中的通项公式为 Tr+1= ?ar? ,

=0,求得 r=2,可得它的常数项为 a2?

=180,故 a=±2,

故答案为:±2. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.

14

16.己知 y=f(x)为 R 上的连续可导函数,且 xf′(x)+f(x)>0,则函数 g(x)=xf(x) +1(x>0)的零点个数为 0 . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;函数思想;构造法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】求导 g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,从而可得 g(x)在其定义域上单调递增; 再由 g(0)=0+1=1,从而判断. 【解答】解:∵g(x)=xf(x)+1, ∴g′(x)=f(x)+xf′(x)>0, 故 g(x)在其定义域上单调递增; ∵y=f(x)为 R 上的连续可导函数, ∴函数 g(x)=xf(x)+1 在 R 上连续; 又∵g(0)=0+1=1, ∴函数 g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为 0; 故答案为:0. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1=2,对任意 n∈N ,都有 2Sn=(n+1)an. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1.
*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】(I)2Sn=(n+1)an,当 n≥2 时,2Sn﹣1=nan﹣1,可得 = = ,可得 an.

(II)

=

=

. 利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出.

【解答】(I)解:∵2Sn=(n+1)an, ∴当 n≥2 时,2Sn﹣1=nan﹣1,可得 2an=(n+1)an﹣nan﹣1,

15



=





=



∴an=2n. (II)证明: = = .

∴Tn= ∴ =T1≤Tn<1, ∴ ≤Tn<1.

+

+?+

=1﹣



【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线,分别交 AB,AC 于点 M,N. (Ⅰ)证明:MN⊥平面 ADD1A1; (Ⅱ)求二面角 A﹣A1M﹣N 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】转化思想;向量法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明 MN⊥平面 ADD1A1; (2)建立空间坐标系,利用向量法求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】(Ⅰ)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴BC⊥AD, ∵M,N 分别为 AB,AC 的中点, ∴MN∥BC, ∴MN⊥AD,
16

∵AA1⊥平面 ABC,MN? 平面 ABC, ∴AA1⊥MN, ∵AD,AA1? 平面 ADD1A1,且 AD∩AA1=A, ∴MN⊥平面 ADD1A1; (Ⅱ)设 AA1=1, 如图:过 A1 作 A1E∥BC, 建立以 A1 为坐标原点,A1E,A1D1,A1A 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: 则 A1(0,0,0),A(0,0,1), ∵P 是 AD 的中点, ∴M,N 分别为 AB,AC 的中点. 则 M( 则 , ,1),N(﹣ =( , ,1), , ,1), =(0,0,1), =( ,0,0),

设平面 AA1M 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,得 ,则 =(1,﹣ , ,0),

令 x=1,则 y=﹣

同理设平面 A1MN 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,得 ,

令 y=2,则 z=﹣1,则 =(0,2,﹣1), 则 cos< , >= = =﹣ ,

∵二面角 A﹣A1M﹣N 是锐二面角, ∴二面角 A﹣A1M﹣N 的余弦值是 .

17

【点评】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解,建立空间直角坐标系,利用向量 法进行求解,综合性较强,运算量较大.

19.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库 年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上, 其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 年入流量 X 40<X<8080≤X≤120X>120 2 3

发电机最多可运行台数1

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】(Ⅰ)先求出年入流量 X 的概率,根据二项分布,求出未来 4 年中,至少有 1 年的 年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到. 【解答】 解: (Ⅰ) 依题意, p1=P (40<X<80) = , 由二项分布,未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 , ,

18

= (Ⅱ)记水电站的总利润为 Y(单位,万元) (1)安装 1 台发电机的情形, 由于水库年入流总量大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5000,E(Y) =5000×1=5000, (2)安装 2 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣800=4200, 因此 P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1= ,

当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2=10000,因此,P(Y=10000)=P(X≥80) =P2+P3=0.8, 由此得 Y 的分布列如下 Y420010000 P0.2 0.8 所以 E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. (3)安装 3 台发电机的情形, 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000﹣1600=3400, 因此 P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2, 当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2﹣800=9200,因此,P(Y=9200)=P (80≤X≤120)=p2=0.7, 当 X>120 时,三台发电机运行,此时 Y=5000×3=15000,因此,P(Y=15000)=P(X>120) =p3=0.1, 由此得 Y 的分布列如下 Y3400920015000 P0.2 0.7 0.1 所以 E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 【点评】本题主要考查了数学期望和二项分布,再求最大利润时,需要分类讨论,属于中档 题.
19

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

+

=1(a>b≥1)的离心率 e=

,且椭

圆 C1 上一点 M 到点 Q(0,3)的距离的最大值为 4. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设 A(0, ),N 为抛物线 C2:y=x2 上一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1

于 B,C 两点,求△ABC 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率及椭圆 C1 上一点 M 到点 Q(0,3)的距离的最大值为 4,利 用椭圆性质能求出 a,b,由此能求出椭圆 C1 的方程. (Ⅱ)设曲线 C:y=x2 上的点 N(t,t2),由导数几何意义求出直线 BC 的方程为 y=2tx﹣t2, 代入椭圆方程 ,得(1+16t )x ﹣16t x+4t ﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定
2 2 3 4

理、弦长公式能求出△ABC 面积的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 C1: + =1(a>b≥1)的离心率 e= ,



= ,∴a2=4b2,

∴椭圆方程为

=1,即 x2+4y2=4b2,

∵椭圆 C1 上一点 M 到点 Q(0,3)的距离的最大值为 4, 设 M(x,y),则|MQ|= = = = , =4,解得 b2=1,则 a2=4,

∴当 y=﹣1 时,|MQ|取最大值 ∴椭圆 C1 的方程为
2


2

(Ⅱ)设曲线 C:y=x 上的点 N(t,t ), ∵y′=2x,∴直线 BC 的方程为 y﹣t2=2t(x﹣t),即 y=2tx﹣t2,①

20

将①代入椭圆方程

,整理,得(1+16t )x ﹣16t x+4t ﹣4=0,

2

2

3

4

则△=(16t3)2﹣4(1+16t2)(4t4﹣4)=16(﹣t4+16t2+1), 且 , ,

∴|BC|=

|x1﹣x2|=

?

=



设点 A 到直线 BC 的距离为 d,则 d=



∴△ABC 的面积 S= |BC|d= ? 当 t= 时,取到“=”,此时△>0,满足题意, .

?



∴△ABC 面积的最大值为

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用.

21.已知函数 f(x)=e ﹣ax(e 为自然对数的底数,a 为常数)在点(0,1)处的切线斜率 为﹣1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (Ⅱ)证明:当 x>0 时,x2<ex; (Ⅲ)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞),恒有 x <ce . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【专题】分类讨论;转化思想;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】(I)f′(x)=ex﹣a,由 f′(0)=﹣1,解得 a=2.可得 f(x)=ex﹣2x,f′(x) =e ﹣2.利用导数研究其单调性极值即可得出. (II)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x,由(I)可得:g′(x)≥f(ln2)>0,利 用 g(x)在 R 上单调递增,即可证明.
x 2 x x 2 x

x

21

(III)法一:首项证明当 x∈(0,+∞)时,恒有

<e ,令 h(x)=

x

﹣e ,由(II)

x

可知:当 x>0 时,ex>x2,利用 h(x)的单调性可得: 可证明 x2<cex. 法二: 对任意给定的正数 c, 取 x0= ?

<ex.取 x0= ,当 x>x0 时,即

, 由 (II) 可知: 当 x>0 时, ex>x2, 可得 ex>

,当 x>x0 时,恒有 x2<cex.

法三:①若 c≥1,则 ex≤cex.由(II)可知:当 x>0 时,cex>x2.取 x0=0,即可证明 x2 <ce . ②若 0<c<1,令 >1,要使不等式 x2<cex 成立,只要 ex>kx2 成立.而要使 ex>kx2 成
x

立,只要 x>ln(kx2),即只要 x>2lnx+lnk 成立.令 h(x)=x﹣2lnx﹣lnk,利用导数研 究其单调性极值即可证明. 【解答】(I)解:f′(x)=e ﹣a,∵f′(0)=﹣1=1﹣a,∴a=2. ∴f(x)=e ﹣2x,f′(x)=e ﹣2. 令 f′(x)=0,解得 x=ln2. 当 x<ln2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x>ln2 时,f′(x)>0,函数 f (x)单调递增. ∴当 x=ln2 时,函数 f(x)取得极小值,为 f(ln2)=2﹣2ln2,无极大值. (II)证明:令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x,由(I)可得:g′(x)=f(x)≥f (ln2)>0,∴g(x)在 R 上单调递增, 因此:x>0 时,g(x)>g(0)=1>0,∴x2<ex. (III)证明:法一:首项证明当 x∈(0,+∞)时,恒有 则 h′(x)=x2﹣ex, 由(II)可知:当 x>0 时,e >x ,从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减. ∴h(x)<h(0)=﹣1<0,即 取 x0= ,当 x>x0 时,有 <ex. <e .
x x 2 x 2 x x x x

<ex,令 h(x)=

﹣ex,

因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞),恒有 x2<cex.

22

法二:对任意给定的正数 c,取 x0= ? 当 x>x0 时,ex> , ?

,由(II)可知:当 x>0 时,e >x ,∴e =

x

2

x





=


2 x

对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞),恒有 x <ce . 法三:①若 c≥1,则 e ≤ce .由(II)可知:当 x>0 时,e >x , ∴当 x>0 时,cex>x2. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. ②若 0<c<1,令
x 2 x x x 2

>1,要使不等式 x <ce 成立,只要 e >kx 成立.
2

2

x

x

2

而要使 e >kx 成立,只要 x>ln(kx ),即只要 x>2lnx+lnk 成立. 令 h(x)=x﹣2lnx﹣lnk,则 h′(x)=1﹣ = ,

∴当 x>2 时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取 x0=16k>16,∴h(x)在(x0,+∞)内单调递增. 又 h(x0)=16k﹣2ln(16k)﹣lnk=8(k﹣ln2)+3(k﹣lnk)+5k, 易知 k>lnk,k>ln2,5k>0. ∴h(x0)>0,即存在 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x <ce .
2 x 2 x

综上:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞),恒有 x <ce . 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质、方程的解法, 考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

选修 4-1:几何证明选讲 22.如图∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的 eO 与 BC 交于点 E. (Ⅰ)求证:BC?CD=AD?DB; (Ⅱ) 若 BE=4,点 N 在线段 BE 上移动,∠ONF=90°,NF 与⊙O 相交于点 F, 求 NF 的最小值.

23

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】计算题;选作题;转化思想;综合法;推理和证明. 【分析】(Ⅰ)由∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,得到 CD2=AD?DB,由此利用切割线定理能证明 CE?CB=AD?DB. (Ⅱ)由 NF= 能求出结果. 【解答】证明:(Ⅰ)在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D, ∴CD =AD?DB, ∵CD 是圆 O 的切线, 由切割线定理,得 CD =CE?CB, ∴CE?CB=AD?DB. 解:(Ⅱ)∵ON⊥NF,∴NF= ,
2 2

,线段 OF 的长为定值,得到需求解线段 ON 长度的最小值,由此

∵线段 OF 的长为定值,即需求解线段 ON 长度的最小值, 弦中点到圆心的距离最短,此时 N 为 BE 的中点,点 F 与点 B 或 E 重合, ∴|NF|min= |BE|=2.

【点评】本题考查两组线段乘积相等的证明,考查线段长最小的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意切割线定理的合理运用.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (θ 为参数,a>0). (Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a=3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求 A,B 两点的距离.
24

(t 为参数) 与曲线 C2:

【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】数形结合;转化思想;坐标系和参数方程. 【分析】(I)曲线 C1: (t 为参数),化为:y=3﹣2x.令 y=0 可得与 x 轴的交

点.曲线 C2: 可得与 x 轴的交点.

(θ 为参数,a>0)的直角坐标方程为:

+

=1.利用 y=0

(II)当 a=3 时,曲线 C2:

化为:x2+y2=9.利用点到直线的距离公式可得:圆 .

心到直线的距离 d.利用弦长公式可得|AB|=2

【解答】 解: (I) 曲线 C1:

(t 为参数) , 化为: y=3﹣2x. 与 x 轴的交点为



曲线 C2: 为(±a,0). ∵a>0,∴a= .

(θ 为参数,a>0)的直角坐标方程为:

+

=1.与 x 轴的交点

(II)当 a=3 时,曲线 C2: 圆心到直线的距离 d= ∴|AB|=2 =2 = .

化为:x2+y2=9.

=



【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆的标准方程及 其应用、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α ,β >1,f(α )+f(β )=2,求证: 【考点】基本不等式;绝对值三角不等式. 【专题】转化思想;分析法;不等式. + ≥ .

25

【分析】(I)|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|,要使|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,m∈N , 解得 m. (II)α ,β >1,f(α )+f(β )=2α ﹣1+2β ﹣1=2,可得 α +β =2.再利用基本不等式 的性质即可得出. 【解答】(I)解:∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|, ∴要使|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,解得﹣2<m<2. ∵m∈N*,∴m=1. (II)证明:α ,β >0,f(α )+f(β )=2α ﹣1+2β ﹣1=2, ∴α +β =2. ∴ + = = ≥ = , 当且

*

仅当 α =2β = 时取等号. 【点评】 本题考查了绝对值不等式的性质、 基本不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

26


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