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内蒙古包头市第一中学届高三第三次模拟考试数学试题及答案(文)

包头一中 2015 届高三年级第三次模拟考试(文)
第 I 卷(选择题部分 共 60 分) 一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.将答案标在答题纸的相应位置.) 1. 设全集 I ? R ,集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 2}, B ? {x | y ? x ? 1} ,则( A. A ? B B. A )

B?A

C. A

B??

D. A ? (C I B) ? ?

2.设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数. 若 z ? 1 ? i ,则 A. ? 2 A. ?x ? R, x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, 2 x0 ? 0 B. ? 2i ) B. ?x ? R, ?1 ? sin x ? 1 D. ?x0 ? R, tan x0 ? 2 C. 2

z ?i?z ? i (
D. 2i



3.下列命题中,真命题的是 (

4. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(



A.34

B.55

C.78

D.89 )

5.已知数列 ?an ? 满足: am ? A.4

1 则 a3 ? a4 ? a5 ?( ? am?1 ? am?1 ?? m ? 1, m ? N ? , a4 ? 4 , 2
B.8 C.12 D.16

b ? (cos ? ,sin ? ) , 6.已知两不共线向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , 则下列说法不正确 的是 ( ...
A. (a ? b) ? (a ? b) B. a 与 b 的夹角等于 ? ? ?



C. a ? b ? a ? b ? 2

D. a 与 b 在 a ? b 方向上的投影相等

7. 某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再按笔试成 绩择优选出 100 人参加面试. 现随机调查了 24 名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 人数 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90)

2

3

4

9
) C. 85

5

1

据此估计允许参加面试的分数线大约是( A. 75 B. 80

D. 90

8. 已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? 的部分图象如 图所示, 点 B, C 是该图象与 x 轴的交点, 过点 C 的直线与该图象交于 D, E 两点,则 BD ? BE ? BE ? CE 的值为(

?

??

?



A. ?1

B. ?

1 2

C.

1 2

D. 2

?x ? 1 ? 2 2 9. 已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x ,则 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?



A. 17

B.18

C. 20

D.21

10. 如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60 ? 的菱形,俯视图为正方 形,则此几何体的内切球表面积为( )

A. 8?

B. 4?

C. 3?

D. 2?

2 11. 已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y ? 8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,

若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? (



A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2e) ? ? f ( x) (其中 e 为自然对数的底),
c ?2 ? 1 且 lnc<1,则有( 且在区间上是减函数,又 a ? lg 6, b ? log 2 3, ( )

1 2



A.

f (a) ? f (b) ? f (c)

B. f (b) ? f (c) ? f (a) D. f (c) ? f (b) ? f (a)

C. f (c) ? f (a) ? f (b)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答.第 22 -24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填写在答题纸的相应 位置上) 13.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S1 , S 3 , S 2 成等差数列,则 {an } 的公比 q ?

.

14.如图, 在长方体 ABCD ? A (点 E 与 B1 不 1B 1C1D 1 中,E , H 分别是棱 A 1B 1 ,D 1C1 上的点 重合) ,且 EH ∥ A1D1 ,过 EH 的平面与棱 BB1 , CC1 相交,交点分别为 F , G .设

AB ? 2 AA1 ? 2a , EF ? a , B1 E ? 2B1 F .在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 内随机选取
一点,则该点取自于几何体 A 1 ABFE ? D 1DCGH 内的概率为 .

x2 y 2 15.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1F2 | 为直径的 a b
圆与双曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为________.

ì ? 4 x - 4( x ? 1) 16.已知函数 f ( x) = ? í 2
___________.

? ? ? x - 4 x + 3( x > 1)

, g ( x) = ln x ,则函数 f ( x) ? g ( x) 的零点个数为

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将答 案填写在答题纸的相应位置.) 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.
(Ⅰ)若 a , b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (Ⅱ)若 a , b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值. 18. (本小题满分 12 分) 空气质量指数 (单位: )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这

个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓 度 空气质量级别 空气质量类别 0~35 一级 优 35~75 二级 良 75~115 三级 轻度污染 115~150 四级 中度污染 150~250 五级 重度污染 >250 六级 严重污染 日均

甲、乙两城市 2015 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 浓度指数数据如茎叶图所示:

进行监测,获得

甲城市
2 3 4 6 9 10 0224 896 151 8 230 8

乙城市 2 204 3 7 4 4 6 967 9 807 10 1 8 0 9

(Ⅰ)根据你所学的统计知识分别写出甲、乙两城市 15 天内空气质量的中位数,并分析两 城市空气质量哪个较好? (Ⅱ)王先生到乙地出差 5 天,已知该 5 天是空气质量最好的五天,王先生要在这 5 天中选 择两天出去游玩,求这两天恰好有一天空气质量类别为优的概率. 19.(本题满分 12 分) 如图, BC 为圆 O 的直径, D 为圆周上异于 B 、 C 的一点, AB 垂直于圆 O 所在的平面,

BE ? AC 于点 E , BF ? AD 于点 F .
(Ⅰ)求证: BF ? 平面 ACD ; (Ⅱ)若 AB ? BC ? 2 , ?CBD ? 45 ,求四面体 BDEF 的体积.

20.已知椭圆

的左焦点 F 为圆

的圆心,且椭圆上的

点到点 F 的距离最小值为 (I)求椭圆方程;

.

(II)已知经过点 F 的动直线 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M( 证明: 为定值

),

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ?

1 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2

x (Ⅲ)求证:当 a ? 3 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a) ? e 恒成立.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。在答题卡 .... 选答区域指定位置答题,并用 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的 .............2B . . .........................

题号必须与所涂题目的题号一致 。 .............. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于圆 O , AD 平分 ?BAC 交圆 O 于点 D ,过点 B 作圆 O 的切线交直线

AD 于点 E .
(Ⅰ)求证: ?EBD ? ?CBD ; (Ⅱ)求证: AB ? BE ? AE ? DC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

1 ? x ? t, ? 2 ? (t为参数) ,在以坐标原点 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? ? 2
O 为极点, x 轴的正非负半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,圆的极坐标方程 为 ? ? 4sin ? . (Ⅰ)求直线 l 被圆截得的弦长; (Ⅱ)从极点作圆 C 的弦,求各弦中点的轨迹的极坐标方程.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 3| ? | 2 x ?1| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| m ? 1| 的解集非空,求实数 m 的取值范围.

高三年级(文)数学试题——参考答案及评分标准 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 序号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 B 8 D 9 B 10 C 11 D 12 A

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.

-

1 2

14.0.9

15.

x2 y 2 =1 9 16

16. 3

三、解答题 17.⑴因为 a , b, c 成等差数列,且 c ? 2a ,所以 a ? c ? 2b , 由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B 所以 sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) 因为 sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

⑵由 a , b, c 成等比数列有 b 2 ? ac 又 c ? 2a 由余弦定理有 cos B ?

? b ? 2a

a2 ? c2 ? b2 a2 ? 4a2 ? 2a2 3 ? ? 2ac 4a2 4

18(1)甲:41 乙:69 甲地的空气质量要比乙地好,可以通过茎叶图中心位置、中位数、 集中程度、个体差异等方面进行描述,合理均可给分 (2)概率为

3 5
………………1 分 BD=B …………4 分 ……………………6 分

19.(Ⅰ)证明:∵BC 为圆 O 的直径 ∴CD⊥BD ∵AB⊥圆 O 所在的平面 ∴AB⊥CD ∴CD⊥平面 ABD 又∵BF ? 平面 ABD 又∵BF⊥AD (Ⅱ)方法一: 且 AD 且 AB

∴CD⊥BF

CD=D ∴BF⊥平面 ACD

∵AB=BC= 2 ,∠CBD=45° ∴BD=CD= 2 ∵BE⊥AC ∴E 为 AC 中点

又∵CD⊥平面 ABD∴E 到平面 BDF 的距离为

1 2 CD ? ………………8 分 2 2
2

在 Rt△ABD 中,由于 BF⊥AD

BD2 ? 得 DF ? AD

? 2?
6

?

6 1 ? AD 3 3

1 1 1 2 S?BDF ? S?ABD ? ? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 3

1 2 2 1 VE ? BDF ? ? ? ? 3 3 2 9

方法二:∵AB=BC= 2 ,∠CBD=45° ∴BD=CD= 2 ∴E 到边 AD 的距离为 CD ?

∵BE⊥AC ∴E 为 AC 中点

1 2

2 2

………8 分

在 Rt△ABD 中,由于 BF⊥AD,得 BF ?

AB ? BD 2 ? 2 2 3 ? ? AD 3 6
……………………10 分

BD 2 DF ? ? AD

? 2?
6

2

?

6 3

由(Ⅰ)知 BF⊥平面 DEF

1 VB ? DEF ? ? BF ? S 3

DEF

1 2 3 1 6 2 1 ? ? ( ? ? ? ) ? 3 3 2 3 2 9

………………12 分

20.

21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.

? () x ? l n x ? 10 ?,得 x ? 【试题解析】解:⑴令 f

1 . e

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0 .

1 e

1 e

所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增.

1 e

1 e

(3 分)

( ) ? xxk l n ?? x ? k ? l n x ?. ⑵由于 x ? 0 ,所以 fx
构造函数 k(x) ? ln x ?

1 2

1 2 x

1 1 1 1 2 x ? 1 ? () ? ? 2? 2 ? 0 . ,则令 kx ,得 x ? x2 x 2 x 2x 2

当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0 ;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0 .

1 2

1 2

所以函数在点 x ?

1 1 1 () x ? k () ? l n? 11l ? ? n 2 . 处取得最小值,即 k m i n 2 2 2
(7 分)

? ? ,1 ? l n 2 ). 因此所求的 k 的取值范围是 (
x x ⑶ f (a ? x) ? f (a) ? e ? (a ? x)ln(a ? x) ? a ln a ? e ?

(a ? x) ln(a ? x) a ln a ? a . ea ? x e

x ln x ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a) 恒成立. (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ? ? 对于 g ( x) 求导得 g ( x) ? . e2 x ex
构造函数 g ( x) ? 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x) ?

1 ? ln x ? 1 ,显然 h?( x) 是减函数. x

当 x ? 1 时, h?( x) ? h?(1) ? 0 ,从而函数 h( x) 在 (1, ??) 上也是减函数. 从而当 x ? 3 时, h( x) ? h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 2 ? e ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , 即函数 g ( x) ?

x ln x 在区间 (3, ??) 上是减函数. ex

当 a ? 3 时,对于任意的非零正数 x , a ? x ? a ? 3 ,进而有 g (a ? x) ? g (a) 恒成立, 结论得证. 22. 证明: (Ⅰ)∵BE 为圆 O 的切线 ∴∠EBD=∠BAD ………………2 分 (12 分)

又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4 分 又∵∠CBD=∠CAD∴∠EBD=∠CBD ………………5 分

(Ⅱ)在△EBD 和△EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB ∴△EBD∽△EAB ∴ ………………7 分 ∴AB?BE=AE?BD 故 AB?BE=AE?DC ………………9 分 ………………10 分

BE BD ? AE AB

又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC

23 依题,把直线 的参数方程化为普通方程为 y ? 3x , 把圆

…………………1 分
2 2

的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ,即 x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,………3 分

则点 C ? 0,2? 到直线 的距离 d ?

2 1? 3

? 1 ,于是所求的弦长为 2 22 ?12 ? 2 3 ;5 分

(Ⅱ)记所作的弦为 OA ,设 A? ?0 ,?0 ? ,弦 OA 的中点 M

? ? ,? ? ,

ì r 0 = 4sin q0 ? ? ? 则,… ? …………………. 8 分 í q = q0 ? ? ? ? ? r 0 = 2r

消去?0,?0得:? ? 2 sin?为所求中点的极坐标方 程.......... .......... .......... .......... .......... ....... 10分
(Ⅰ)原不等式为: 2x ? 3 ? 2x ? 1 ? 6 当x ? ?

3 3 时,原不等式可化为 ? 4 x ? 2 ? 6 ,即 ? 2 ? x ? ? 2 2

…………2 分

当?

3 1 3 1 ? x ? 时,原不等式可化为 4 ? 6 ,恒成立,即 ? ? x ? …………3 分 2 2 2 2 1 1 时,原不等式可化为 4 x ? 2 ? 6 ,即 ? x ? 1 2 2
………………4 分

当x ?

所以,原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 1

?

?

……………………5 分

3 ? ?? 4 x ? 2, x ? ? 2 ? 3 1 ? (Ⅱ)由函数 f ( x) ? ?4,? ? x ? ,可得函数 y ? f ( x) 的最小值为 4 2 2 ? 1 ? ?4 x ? 2, x ? 2 ?
∴ m ?1 ? 4 解得: m ? ?3 或 m ? 5 …………10 分

……8 分


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