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三角函数化简求值专项练习题

三角化简求值小测
3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 cos10° + 3sin10° 3.计算: =________. 1-cos80° 4.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 1 1 5.函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x 2 π 1 π 6.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 1 7.若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α 8. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 1 10 π π π 9.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 10.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 2cos5° -sin25° 11. 的值为________. cos25° 12.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 1-cos2α 1 13.已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 6 14.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是________. 2 π π 15.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3

sin2α+cos2(π-α) π 16. 已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α

17.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限, 3 点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点, △AOB 是正三角形, 若点 A 的坐标为( , 5 4 ),记∠COA=α. 5 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α

18.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC=

sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC., ,求角 A。 cosA+cosB

参考答案与解析
3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 2 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ )=- 2 2 5 5 4 2 2 (cosα-sinα)=- . 10 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 1 1 θ + + cosθ= + cos2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 cos10° + 3sin10° 3.计算: =________. 1-cos80° cos10° + 3sin10° 2cos(10° -60° ) 2cos50° 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80° 4.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x 4 4 (2010sin x+1)(2010cos x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 2 4 4 2010 sin xcos x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010 2 π 1 π 6.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 π π 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= 4 4 7.若 3sinα+cosα=0,则
2

解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 = 10 . 3

sin2α+cos2α 9sin2α+sin2α 1 = 2 = cos α+sin2α cos α+2sinαcosα 9sin2α-6sin2α
2

8.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c=

6 ,则 a、b、c 的大小关系是 2

解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 2 1 3 2 3 2 或 a =1+sin28° <1+ = ,b =1+sin32° >1+ = ,c = ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 9. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 10.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 π 2 2tanα 3 解析:由题意知,tanα=3,sin(2α+ )= (sin2α+cos2α),而 sin2α= = ,cos2α= 4 2 1+tan2α 5 1-tan2α 4 π 23 4 2 ( - )=- . 2 =- .∴sin(2α+ )= 5 4 2 5 5 10 1+tan α 11.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 2 解析:f(x)=sin2x(1-2sin x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 12. 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 13.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解析:|a-2b|2=(cos10° -2cos70° )2+(sin10° -2sin70° )2=5-4cos10° cos70° -4sin10° sin70° =5 -4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. 1-cos2α 1 14.已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 1-cos2α 1-tan2α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- = × ,所以 2tanα=1,即 tanα= ,所以 tan(β sinαcosα 2 1+tan2α 2 1+tan2α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα -2α)=tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 π π 15.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3

π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4

1 的值为________. cos α+sin2α

解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 2 (2)cos2α=2cos α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50 2 sin2α+cos (π-α) π 16.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 2 2 sin2α+cos (π-α) 2sinαcosα+cos α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = =tanα+ = . 2cos2α 2cosα 2 2 1+cos2α 17.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限, 3 4 C 是圆与 x 轴正半轴的交点, △AOB 是正三角形, 若点 A 的坐标为( , ), 5 5 点 记

得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.

∠COA=α. 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 1+sin2α 3 4 4 3 解: (1)∵A 的坐标为 ( , ) ,根据三角函数的定义可知, sinα = , cosα = , ∴ = 5 5 5 5 1+cos2α 1+2sinαcosα 49 = . 2cos2α 18 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° .∴cos∠COB=cos(α+60° )=cosαcos60° -sinαsin60° . 3 1 4 3 3-4 3 = × - × = , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB 18.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= ,sin(B-A)=cosC.(1)求角 A, cosA+cosB C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,


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