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湖北省襄阳市第五中学2016届高三5月高考模拟适应性考试(一)数学(文)试题 Word版含答案


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 襄阳五中数学(文科)5 月模拟考试(一)
考试时间:2016 年 5 月 10 日 or 下午 15:00—17:00 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求.
x 1.设 U ? R , A ? x 2 ? 1 , B ? x log2 x ? 0 ,则 A ? CU B ? (

A. x x ? 0

?

?

?

?

B. x x ? 1

?

?

?

?

) D. x 0 ? x ? 1

C. x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

2.在平面直角坐标系中,角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(? 3, ?1) , 则 sin(2? ? A.

?
2

) =(

) B. ?

3 2

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2
“ y ? f ( x)

3. 对于函数 y ? f ( x) , x ? R ,“ y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称”是 是奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 在复平面内,到复数 ?

1 ? 3i 错误!未找到引用源。对应的点 F 的距离与 3


到直线 l : 3z ? 3z ? 2 ? 0 的距离相等的点的轨迹是(

A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 5. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”, 执行该程序框图 (图中“m MOD n”表示 m 除以 n 的余数) ,若输入的 m ,n 分别为 495,135,则输出的 m = ( ) A.0 B .5 C.45 D.90 6. 若向量 a, b 满足 a ? 2a ? b ? 2 ,则 a 在 b 方向上投影的最大( A. 3 B. ? 3 C. 6 D. ? 6

? ?

?

? ?

?

?



2 的 图 像 向 右 平 移 ? ( 0 ?? ? 7. 函 数 y ? c o s x

?
2

)个单位后,与函数

y ? s i n (x2 ?
A.

?
6

? ?( 的图像重合.则 )
B.

) D.

?
12

? 6

C.

? 3

5? 12

8. 如图是某几何体的三视图,当 xy 最大时,该几何体的体积为( A. 2 15 +



15π 12

B. 1 +

π 12

C. 15 +

15π 4

D. 1 +

15π 4

9. 已知函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? x2 ? x .若不等式 f ? x ? ? x ? 2loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )对

? 2? 任 意 的 x ?? ? 0, 2 ? 恒 ? ?
成立,则实数 a 的取值范围是( ? 1? ?1 ? A. ? 0, ? B. ? ,1 ? ? 4? ?4 ? )
? 1? C. ? 0, ? ? 2? ?1 1? D. ? , ? ? ?1, ?? ? ?4 2?

10. 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 4x 的 交 点 为 F , 直 线 y ? x ? 1 与 C 相 交 于 A, B 两 点 , 与 双 曲 线

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 2 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线相交于 M , N 两点,若线段 AB 与 MN 的中点相同,则 a b 曲线 E 离心率为( )
A.



11. 已知点 P 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 上,线段 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,且

6 3

B. 2

C.

15 3

D. 3

y0 的取值范围是( ) x0 1 1 1 1 A. [ ? , 0) B. (? , 0) C. (? , ??) D. (??, ? ) ? (0, ??) 3 3 3 3 ?x 12. 已 知 曲 线 f ( x) ? ke 在 点 x ? 0 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂 直 , 若 x1 , x2 是 函 数

y0 ? x0 ? 2 ,则

的两个零点,则( ) g ( x)? f ( x ? ) ln x 1 1 1 1 ? x1 x2 ? 1 A. 2 ? x1 x2 ? B. 2 ? x1 x2 ? 1 C. e e e e

D. e ? x1 x2 ? e2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:共 4 小题,每题 5 分。 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随 机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 . 14. 在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角分别为 ? 、 ? ,则有 cos 到空间中的一个正确命题是: 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,对角线 AC1 与相邻三个面所成的角分别为 ? 、 ? 、 ? , 则 cos
2 2

? ? cos2 ? ? 1 ,类比

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? __________.

' 15. 已知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 1 ,若 f (1 ? m) ? f (m) ? 1 ? 2m ,则实数 m 的取值范

围是__________.

16. 已知 cos ? ? cos ? ? 1 ,则 sin ? ? sin ? 的最大值为__________. 三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷 纸的相应位置上。 17. (本小题满分 12 分)

已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 1 ,公比为 q ;等差数列 ?bn ? 中,b1 ? 3 ,且 ?bn ? 的前 n 项 和为 Sn , a3 ? S3 ? 27, q ?

(Ⅰ) 求 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . a2

9 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2Sn

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 A ? BCDE 中,CD ? 平面 ABC ,BE ∥ CD , AB ? BC ? CD , AB ? BC , M 为 AD 上一点, EM ? 平面 ACD . (Ⅰ)求证: EM ∥平面 ABC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 BE ? 2 ,求点 D 到平面 EMC 的距离.

19. (本小题满分 12 分) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评. 某校 高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从 高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 表 2:女生 等级 频数 优秀 15 合格

x

尚待改进 5

等级 频数

优秀 15

合格 3

尚待改进

y

(Ⅰ) 从表 2 的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率; (Ⅱ) 由表中统计数据填写下边 2 ? 2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表: P(K2> k0) k0 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 ,点 A 0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635

?

3, 0 ,以线段 AB 为直径的圆 O1 内切于圆 O ,记点 B 的轨迹为 ? .

?

(Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)当 OB 与圆 O1 相切时,求直线 AB 的方程. 21. (本小题满分 12 分)

ax ( x ? ?1) . x ?1 (Ⅰ) 当 a ? 1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时,设 f ( x ) 在 x ? x0 处取得最小值,求证: f ( x0 ) ? 1 .
设函数 f ( x) ? e ?
x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.解答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O1 和⊙ O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D, A, B, C 为切 点, 直线 DO1 交⊙ O1 于 E , G 两点, 直线 DO2 交⊙ O2 于 F , H 两 点. (Ⅰ)求证: ? DEF ∽ ?DHG ; (Ⅱ)若⊙ O1 和⊙ O2 的半径之比为 9:16,求

DE 的值. DF

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C 1 : ?

? x ? b cos? ( ? 为参数 , 实数 b ? 0 ) . 在以 O 为极点 , x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 ,射线 ? ? y ? b ? b sin ? π l : ? ? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ? ) 与 C 1 交于 O、A 两点,与 C 2 交于 O、B 两点. 2 π 当 ? ? 0 时, | OA |? 1 ;当 ? ? 时, | OB |? 2 . 2 (Ⅰ) 求 a , b 的值; 2 (Ⅱ)求 2 | OA | ? | OA | ? | OB | 的最大值.
24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ) 求 m ; 设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 的最大值为 m .
2 2 2

? x ? a ? a cos? ( ? 为 参 数 , 实 数 a ? 0 ) , 曲 线 C2 : ? y ? a sin ?

(Ⅱ)若 a, b, c ? ? 0, ?? ? , a ? 2b ? c ? m ,求 ab ? bc 的最大值.

数学(文)参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

CDBDCB
13. 0.75 三、解答题

CABCDB
14. 2 15. ( , ??)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

1 2

16.

3

17.解: ?1? 设数列 ?bn ? 的公差为 d ,

?a3 ? S3 ? 27 2 ? ? ?q ? 3d ? 18 ?q ? 3 ? ? ?? ?? S2 2 ?6 ? d ? q ?d ? 3. ? ?q ? a ? 2 ? an ? 3n?1 , bn ? 3n ,

?????? 4 分 ?????? 6 分 ?????? 8 分
?????????10 分 ???12 分

? 2 ? 由题意得: Sn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2 ? 9 9 2? 1 1 1 cn ? ? ? ? ? 3( ? ) ? ? 2Sn 2 3 ? n n ? 1 n n ? 1 ? ? ? ? 1 1 1 1 1 3n Tn ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

18. (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 F ,连接 BF ,因为 AB ? BC ,所以 BF ? AC , 又因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BF ,所以 BF ? 平面 ACD ,??????3 分 因为 EM ? 平面 ACD ,所以 EM ∥ BF , EM ? 面 ABC , BF ? 平面 ABC , 所以 EM ∥平面 ABC ; ??????6 分 (Ⅱ)因为 EM ? 平面 ACD , EM ? 面 EMC ,所以平面 CME ? 平面 ACD , 平面 CME ? 平面 ACD ? CM ,过点 D 作直线 DG ? CM ,则 DG ? 平面 CME ,?? 9 分 由已知 CD ? 平面 ABC , BE ∥ CD , AB ? BC ? CD ? 2 BE ,可得 AE ? DE , 又 EM ? AD ,所以 M 为 AD 的中点, 在 Rt ?ABC 中, AC ?

2BC ? 2 2 ,

在 Rt ?ADC 中, AD ? CD 2 ? AC2 ? 2 3 ,

1 1 1 S ?ACD ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 1 1 在 ?DCM 中, CM ? AD ? 3 ,由等面积法知 ? CM ? DG ? 2 , 2 2 2 6 2 6 所以 DG ? ,即点 D 到平面 EMC 的距离为 . ???????12 分 3 3 m 45 ? 19.解: (Ⅰ)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 , m ? 25 , 500 500 ? 400 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2 ????????????????????2 分 S ?CDM ?
表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a , b, c ,尚待改进的 2 人为 A, B , 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为: (a, b) , (a, c ) , (b, c) , ( A, B ) , ( a, A) , ( a, B ) ,

(b, A) , (b, B ) , (c, A) , (c, B ) 共 10 种??????????????????? 4 分 设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”,

则 C 的结果为:

? a, A? , ? a, B? , ?b, A? , ?b, B? , ?c, A? , ?c, B? ,共 6 种???????????????5 分
6 3 3 ? , 故所求概率为 ?????????????????????8 分 10 5 5

∴ P (C ) ? (Ⅱ)

∵ 1 ? 0.9 ? 0.1 , P( K ? 2.706) ? 0.10 ,
2

45 ?15 ? 5 ? 15 ?10 ? 9 而K ? ? ? 1.125 ? 2.706 ????????????????11 分 30 ?15 ? 25 ? 20 8
2 2

所以没有 90% 的把握认为“测评结果优秀与性别有关” ??????????????12 分 20.解: (1)设切点为 P ,连接 OO1 , O1 P ,则 | OO1 | ? | O1 P |?| OP |? 2 ,取 A 关于 y 轴的对称点 A ' , 连接 A 'B ,故 | A 'B | ? | AB |? 2 ?| OO1 | ? | O1 P |? ? 4 ,
2

所以点 B 的轨迹是以 A ' , A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.其中, a ? 2, c ? 则曲线 Γ 的方程为

3, b ? 1,

x ? y 2 ? 1.????????????????????????5 分 4 ??? ? ??? ? (2)因为 OB 与圆 O1 相切,所以 OB ? AB .设 B ? x0 , y0 ? ,
则 x0 ( x0 ? 3) ? y0 ? 0 .????????????????????????????7 分
2
2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1 解得 x0 ? , y0 ? ? . 4 3 3 2 则 kOB ? ? , k AB ? ? 2 ,????????????????????????10 分 2 则直线 AB 的方程为 y ? ? 2( x ? 3) ,



即 2x ? y ? 6 ? 0 或 2x ? y ? 6 ? 0 .???????????????????12 分 21.解: (I)当 a =1 时, f ?( x)=e ?
x

1 ?????????????????????1 分 ( x ? 1) 2

1 +? ?? 单调递增, ( x ? ?1) 单调递增,所以 f ?( x) 在 ? ?1, ( x ? 1) 2 且 f ?(0) ? 0 ,因此当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 ( ?1, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增????????????????5 分 a x (II)当 a > 0 时, f ?( x)=e ? , ( x ? 1) 2 a +? ?? 单调递增. ( x ? ?1) 单调递增,所以 f ?( x) 在 ? ?1, 因为 e x 单调递增, ? ( x ? 1) 2 a 1 1 又 f ?(2 a ? 1) ? e 2 a ?1 ? ? ? ? 0, 2 e 4 (2 a )
因为 e x 单调递增, ? 当 b 满足 ?1 ? b ?

a ? 1 且 b ? 0 时, f ?(b) ? 0 ,故 f ? ? x ? 存在唯一零点,设零点为 x1

+? ? 时, f ?( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 ? ?1,x1 ? 单调递减,在 当 x ? ? ?1,x1 ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? x1,

+? ? 单调递增,所以当 x ? x1 时, f ( x) 取得最小值,由条件可得 x1 ? x0 , f ( x) 的最小值为 ? x1,
f ( x0 )
.????????8 分
x

由于 f ?( x0 ) ? e 0 ?

a ? 0 ,所以 a ? e x0 ( x0 ? 1) 2 ( x0 ? 1) 2

f ( x0 ) ? e 0 ?

x

ax0 x x x ? e 0 ? e 0 x 0 ( x 0 ? 1) ? e 0 (? x 0 2 ? x 0 ? 1) ????????????10 分 x0 ? 1

设 g ( x) ? e x (? x 2 ? x ? 1)( x ? ?1) 则 g ?( x) ? e x ( ? x 2 ? 3 x) ? ? x( x ? 3)e x 令 g ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 ;令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 0

+? ? 单调递减, g ( x) ? g (0) ? 1 故 g ( x) 在 ? ?1,0 ? 单调递增, ? 0,
故 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1 . ???????????????????????????12 分[来 (二)选做题 共 10 分 22. 证明: (1)∵ AD 是两圆的公切线, ∴ AD2 ? DE ? DG, AD2 ? DF ? DH ,∴ DE ? DG ? DF ? DH ,

DE DF ? ,又∵ ?EDF ? ?HDG ,∴△DEF∽△DHG. DH DG (2)连接 O1 A, O2 A ,∵ AD 是两圆的公切线,
∴ ∴ O1 A ? AD, O2 A ? AD , ∴ O1O2 A 共线,

(4 分)

∵ AD 和 BC 是⊙ O1 和⊙ O2 的公切线, DG 平分 ? ADB , DH 平分 ?ADC , ∴ DG ⊥ DH ,∴ AD2 =O1 A ? O2 A , (8 分) 设⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别为 9 x 和 16 x ,则 AD =12 x , ∵ AD ? DE ? DG, AD ? DF ? DH ,
2 2

∴ 144x2 ? DE ? DE ? 18x ? ,144x2 ? DF ? DF ? 32x ? . ∴ DE ? 6 x, DF ? 4 x ,∴

DE 3 ? . DF 2

(10 分)

23.解:

24.解:(1)当 x ? ?1 时, f ? x ? ? 3 ? x ? 2 ;当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? ?1 ? 3x ? 2 ;当 x ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ? 3 ? ?4 .故当 x ? ?1 时, f ? x ? 取得最大值 m ? 2 .(4 分)

2 2 2 2 2 2 2 (2) 因为 a ? 2b ? c ? a ? b ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2 ?ab ? bc ? ,当且仅当 a ? b ? c ?

?

? ?

?

时取等号.此时, ab ? bc 取得最大值 1.(10 分)

2 2


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