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福建省闽侯县第四中学2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

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闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题

高一数学

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分).

1. 设集合

或 则下列结论正确的是( )

A.

B.

【答案】C

C.

D.

【解析】∵集合



∴ 故选:C 2. 已知集合 A. 14 B. 15 【答案】C

C. 16

若 D. 32

则 的子集个数为( )

则 P=M∪N={1,2,3,4},

∴P 的子集有 24=16 个.

故答案为:C.

3. 函数

的定义域为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由 2cosx﹣1≥0,得 cosx ,

解得:



-1-

∴函数

的定义域为

故选:B. 4. 计算

的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】

.

故选:B

5. 已知向量 与 反向,则下列等式中成立的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】向量 与 反向: =

,=



故选:C

6. 设 为平行四边形

对角线的交点,O 为平行四边形



等于( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

, 所在平面内任意一点,

【解析】

∵O 为任意一点,不妨把 A 点看成 O 点,则

∵M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,∴

故选:D.

7. 若点 是

所在平面内一点,且满足

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由题意可知:

= =2 =4
,则

, 等于( )

-2-

则 M 为△ABC 的重心, 由重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等, 3S△ABM=S△ABC, ∴S△ABM:S△ABC= , 故答案选:B.

8. 已知全集



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】全集 A={y|y=log2x,1<x<2}=(0,1),

=( ,+∞),则 A∩B=( ,1),

故选:C. 点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解,在进行集合 的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.

9. 已知幂函数 的图像经过点 ,则下列正确的是( )

A.

B.

(其中



C.

D.

(其中



【答案】D

【解析】设幂函数 f(x)=xα ,其图象过点 ,

∴2α = =

解得 α = ,

∴f(x)= ;

∴f(x)在 R 递减,

故选:D.

10. 若

的内角

满足

,则

()

-3-

A.

B.

C.

【答案】D

【解析】

D. , 由正弦定理可得



,故选 D.

,由余弦定理可

11. 设函数

的最小正周期为 ,且图像向左平移 个单位后得到的函数为

奇函数,则函数 的图像( )

A. 关于点 对称 B. 关于点 对称

C. 关于直线 【答案】D 【解析】函数

对称

D. 关于直线 对称 的最小正周期为 π ,

即: ,∴ω =2.

则 f(x)=sin(2x+φ ),向左平移 个单位后得:sin(2x+ +φ )是奇函数,

即 +φ =kπ ,k∈Z.

∴φ =kπ ﹣ ,

∴|φ | ,

则φ = .

故得 f(x)的解析式为:f(x)=sin(2x﹣ ).

由对称中心横坐标可得:2x﹣ =kπ ,

可得:x=

,k∈Z.

∴A,B 选项不对.

由对称轴方程可得:2x﹣ =kπ + ,

-4-

可得:x=

,k∈Z.

当 k=0 时,可得 .

故选:D 点睛:本题主要考查了三角函数中的平移变换以及

的对称性等,对称轴及对称

中心(由

可得对称轴方程,由

可得对称中心横坐标;在平移过程中掌

握“左加右减,上加下减,左右针对 ,上下针对 而言”的原则.

12. 已知 是定义在 R 上的偶函数,且

,若

,则方程

在区间 内解

的个数的最小值是( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(3﹣x)=f(x),f(x﹣3)=f(x),

∴f(x)是以 3 为周期的周期函数,

又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=0,

∴f(﹣2)=0,

∴f(5)=f(2)=0,f(1)=f(﹣2)=0,f(4)=f(1)=0.

即在区间(0,6)内,

f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,

方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是:4.

故选:B.

点睛:本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断,由 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周

期的偶函数,且 f(2)=0,可得 f(﹣2)=0,重复利用函数的周期性,看在区间(0,6)内,

还能推出哪些数的函数值等于 0.

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 若非零向量 , 满足



,则 与 的夹角为__________.

【答案】

【解析】设向量的夹角为 ,由题意可得:



-5-

即 与 的夹角为 120°. 点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几 何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.

14. 已知



__________.

【答案】

【解析】由

可得:cos ,



cos

故答案为:

15. 函数

的定义域为__________.

【答案】 【解析】由 log0.9(2x﹣6)≥0, 得 0<2x﹣6≤1,即 3<x .

∴函数

的定义域为



故答案为:



16. 设函数

,则下列结论正确的是__________.(写出所有正确的编号)①

的最小正周期为 ;② 在区间

上单调递增;③ 取得最大值的 的集合为

【答案】①②④ 【解析】对于函数

④将 的图像向左平移 个单位,得到一个奇函数的图像 ,由于它的周期为 =π ,故①正确.

令 2kπ ﹣π ≤2x﹣ ≤2kπ ,k∈z,求得 kπ ﹣ ≤x≤kπ + ,k∈z,

故函数的减区间为[kπ ﹣ ,kπ + ],k∈z,故 f(x)在区间

上单调递增,故②正确.

令 2x﹣ =2kπ ,求得 x=kπ + ,k∈z,故 f(x)取得最大值的 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z}, 故③不正确.

-6-

将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 y=2cos[2(x+ )﹣ ]=2cos(2x+ )=2sin2x

的图象,由于 y=﹣2sin2x 为奇函数,故④正确. 故答案为:①②④. 点睛:点睛:本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数

可以求

出:① 的周期 ;②单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得);③值域



);④对称轴及对称中心(由

可得对称轴方程,由

可得对称中心横坐标.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知平面直角坐标系中,点 为原点,



(I)求 的坐标及 ;

(Ⅱ)设 为单位向量,且

,求 的坐标

【答案】(1)

,

(2)

,或

【解析】试题分析:(I)利用向量的坐标运算直接求 的坐标及 ; (II)利用向量的垂直,数量积为 0,结合单位向量求解即可. 试题解析:

(I)

,

(Ⅱ)设单位向量



所以

,即

又 所以

, 即



,解得

或者

所以

,或

18. 已知函数



(I)求 的最小正周期及对称中心坐标;

(Ⅱ)求 的递减区间.

-7-

【答案】(1) ,对称中心坐标为

.

;(2)递减区间为

(2)利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可. 试题解析:

(I)



则 的最小正周期 ,



,得





的对称中心坐标为

.

;

(Ⅱ)由







的递减区间为 19. 已知角 终边上一点

. .

(I)求

的值:

(Ⅱ) 若为第三象限角,且

,求

的值

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析:(1)利用任意角的三角函数定义,求出角的正弦函数与余弦函数值,利

用诱导公式化简,代入求解即可;

(2)利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值,然后利用两角和与差的三角函数化简求解

即可.

试题解析:

因为

为角 终边上一点,

-8-

所以



.

=



= =;

(Ⅱ)

,

又因 为第三象限角,且



所以





=

点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别 与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式 ;二看函数名称,看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找到 变形的方向,如遇到分式要通分等. 20. 已知 的周长为 ,且 (I)求边 的长;

(Ⅱ)若 的面积为 ,求角 的度数.

【答案】(1)边 的长为 1;(2)

【解析】试题分析:(1)由题中所给三角形周长,即

为已知,又由

结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式

,由上述所

得这两式,就可求得 的值; (2)由三角形的面积公式

,结合已知

可以求得

的值,结合余弦定理得

的范围,进而得到 的值.

试题解析:解:(1)由题意及正弦定理得:

两式相减得

. (6 分)

,这样即可求出 的值,又结合三角形中

,

,

-9-

(2)由

,得

, (8 分)

由余弦定理得,

,又

,

(14 分)

考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式

21. 根据两角的和的正弦公式,有:





由①+②得,





,则

,代入③得:

(I)类比上述推理方法,根据两角的和差的余弦公式,求证:



(Ⅱ)若 的三个内角 、 、 满足

【答案】(1)见解析(2)直角三角形

【解析】试题分析:解法一:(Ⅰ)因为

, ② 2分

①-② 得

. ③ 3分

试判断 的形状. ,①







代入③得

. 6分

(Ⅱ)由二倍角公式,

可化为

, 8分



. 9分



的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 ,

由正弦定理可得

. 11 分

根据勾股定理的逆定理知

为直角三角形. 12 分

- 10 -

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,

, 8分

因为 A,B,C 为 的内角,所以



所以

.

又因为

,所以

,

所以

.

从而

. 10 分

可化为

又因为

,所以

,即

.

所以 为直角三角形. 12 分 考点:两角和与差三角函数公式、二倍角公式 点评:本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础 知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想等

22. 已知函数

是定义在 上的奇函数.

(1)求 的值和实数 的值; (2)判断函数 在 上的单调性,并给出证明;

(3)若



求实数 的取值范围.

【答案】(1) (2)增函数,见解析;(3)

【解析】试题分析:(1)直接把 0 代入即可求出 f(0)的值;再结合 f(﹣x)+f(x)=0 对 定义域内的所有自变量成立即可求出实数 m 的值; (2)先研究内层函数的单调性,再结合复合函数的单调性即可判断函数 f(x)在(﹣1,1) 上的单调性;

(3)先根据

得到 a 的范围;再结合其为奇函数把 f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0 转化为 f

(b﹣2)>f(2﹣2b),结合第二问的单调性即可求出实数 b 的取值范围. 试题解析:

(I)

因为 是奇函数。 所以:

- 11 -







对定义域内的 都成立.

.

所以 或

(舍)

.

(Ⅱ)







,则

.

当 时, 在

上是增函数.

(Ⅲ)由



函数 是奇函数

, , 由(Ⅱ)得 在

上是增函数

的取值范围是
- 12 -


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