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高三数学查漏补缺题


高三数学查漏补缺题
一、选择题:

2008.05.19

1.已知集合 S ? x 2 x ? 1 ? 1 , T ? x 2x2 ? 5x ? 2 ? 0 ,则 S ? T ?

?

?

?

?





(A)

? x 0 ? x ? 1?

(B) ? x 0 ? x ?

? ?

1? ? 2?

(C) ? x x ?

? ?

1? ? 2?

(D) ? x

? 1 ? ? x ? 1? ? 2 ?
( )

2.已知 p : x( x ? 3) ? 0,

q :| 2 x ? 3|? 1, 则 p 是 q 的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

3. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (6, ? ?) 上为增函数,且函数 y ? f ( x ? 6) 为偶函数,则 ( (A) f (4) ? f (5)
2



(B) f (4) ? f (7)

(C) f (7) ? f (5) )

(D) f (5) ? f (8)

4. 函数 y ? x ? 2x ? 3( x ? ?1) 的反函数是 ( (A)

y ? 1 ? x ? 2( x ? 2)
x ? 2( x ? 6)

(B) y ? 1 ?

x ? 2( x ? 2)

(C) y ? 1 ?
?

(D) y ? 1 ? x ? 2( x ? 6) ( (C) ab ? 2 D)
2

5.设 a 、 b ? R ,且 a ? b ? 4 ,则有 (A)



1 1 ? ab 2

(B)

1 1 ? ?1 a b

1 1 ? 2 4 a ?b


3) ,b= (1, 2) ,且(a+ ? b)⊥(a-b),则 ? 等于 ( 6.已知向量 a= (2,
(A)

5 3

(B). ?

5 3

(C) -3

(D) 3 ) (D)[0, 3]

7.函数 y ? cos x ? 3 sin x 在 x ? [ ? (A) [0, 6 ] 2

? ?

, ] 时的值域是 ( 6 6

(B)[- 3,0]

(C)[0,1]

8.2007 年 8 月份“好运北京”奥运系列测试赛期间,交通 管理部门为了解某一个地区的交通状况,绘制了 200 辆汽 车运行的时速频率分布直方图,如图所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量约为 ( ) (A)65 辆 (B)76 辆 (C)88 辆 9.下列四个命题中,不正确 的是 ...
x→- x0 x→- x0

(D)95 辆 ( )

(A)若奇函数 f ( x ) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? ? f ( x0 )

1

(B) lim( ) ? 0
x x→?

1 2

(C)已知沿某一确定方向运动的某物体的位移 S 关于时间 t 的函数为 S ? t ? 2t ,则该物
2

体的运动一定是匀加速运动 (D) lim
x→1

x ?1 1 ? x ?1 2

10.某四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四 位学生发出录取通知书.若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读,则仅有两 名学生录取到同一所大学的概率为____________ 11.方程 f(x)=x 的根称为 f(x)的不动点, 若函数 f ( x) ?

x 有唯一不动点, 且 x1 ? 1000 , a( x ? 3)
( )

x n ?1 ?

1 (n ? N *) ,则 x2008 ? 1 f( ) xn
(B)2008 (C) 1669

(A)2007

(D)1004

12.已知正方体 ABCD -- A1B1C1D1 中,M 为 AB 中点,棱长为 2,P 是底面 ABCD 上的动点, 且满足条件 PD1 ? 3PM ,则动点 P 在底面 ABCD 上形成的轨迹是 (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 ( )

(D) 抛物线

13.若 A 为三角形的内角,对任意 A 的取值,使关于 A 的不等式 TsinA+cos2A≥0 恒成立的 实数 T 的取值集合为 M, 则下列集合可为集合 M 的子集的是 ( ) (A)(-2 , -1.5) (B)(-0.5, 2) (C)(0.4 ,3) (D) (1.5 , 2.7) 14.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲 a2 b2
( ) (B) (4, ??) (C) [2, ??)

线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A)( 1,2)

(D)(1,+∞) )

15.函数 y ? sin(?x ? ? ) ? 1 的一段图象如图所示,则它的一个周期 T,初相 ? 依次为(

7 (A) T ? 2? , ? ? ? ? 6
(C) T ? ? , ? ? ? ?

(B) T ? 2? ,? ? ? (D) T ? ? , ? ? ?

7 ? 12

7 6

7 ? 12

16.如图,直线 l 和圆 c,当 l 从 l 0 开始在平面 上绕点 O 匀速旋转(旋转角度不超过

? )时, 2

c

l0

它扫过的圆内阴影部分的面积是时间 t 的函数,
O l

2

它的图象大致是 S S

(

) S S

O 二、填空题: (A )

t

O (B )

t

O (C )

t

O (D )

t

?x ? 0 ? 1.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值 ?2 x ? y ? 1 ?
2.已知 A ( ?

.

1 1 2 2 ,0 ),B 是圆 F : ( x ? ) ? y ? 4 2 2

( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂


直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为
2

3.设有两个命题:①关于 x 的不等式 ax ? 1 ? 0 的解集是 R,②函数 f ( x) ? loga x 是减函 数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数 a 的取值范围是 4.已知 ? ~ N (3, 4) ,则 P(? ? 3) ? ________; E ( .

? ?3
2

) =_________.

5.从抛物线 y 2 ? 4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M ,且 | PM | ? 5 ,设抛物 线焦点为 F ,则 ?MPF 的面积为__________.

1 ? 2an , ? 0 ≤ an ? ? ? 6 ? 2 6.数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? ,则 a2008 = 7 ?2a ? 1, ? 1 ≤ a ? 1 ? n n ? ? 2 a ? 1 7.关于 x 的方程 2x= 只有正实数的解,则 a 的取值范围是 2?a
8. 定义运算 a ? b 为: a ? b ? ?

.

.

?a ?b

?a ? b? ?a ? b?

, 例如, 1 ? 2 ? 1 ,则函数 .

f ( x) ? sin x ? cos x 的值域为

9.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, ? cos ? ), 当 a ? b 时, tan(? ?

?
12

)?

.

10.在公差为 d(d≠0)的等差数列 {an } 及公比为 q 的等比数列 {bn } 中,已知 a1 ? b1 ? 1 ,

3

a2 ? b2 , a8 ? b3 ,则 d=__________;q=__________.
11.已知 ( x ? ) 展开式中第三项的二项式系数为 21,则展开式中第四项为
n

2 x

. .

12.在 ? ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边, (2a+c)cosB+bcosC=0,则角 B= 三、解答题: 1.已知: f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a.(a ? R, a 为常数) (Ⅰ)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f ( x) 的最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 2.已知 sin(

?

3 ? ? ? ) ? , 且 ? ? (0, ) 4 5 4

(I)求 sin ? ;(II) 求 tan(? ?

?
4

)

3.设 a ? 1, 解关于x 的不等式

x?2 ? 0. ax ? a 2 x ? x ? a
2

4.(文科)如图,一辆车要直行通过某十字路口,此时 前方交通灯为红灯,且该车前面已有 4 辆车 依次在同一车道上排队等候(该车道只可以 直行或左转行驶). 已知每辆车直行的概率 是

2 1 ,左转行驶的概率是 ,该路口红绿灯 3 3

转换间隔时间均为 1 分钟. 假设该车道上一 辆直行的车驶出停车线需要 10 秒钟,一辆左转的车驶出停车线需要 20 秒钟,求: (I)前 4 辆车恰有 2 辆车左转行驶的概率; (II)该车在第一次绿灯这亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算 通过路口) 5. (理科)如图:用 A,B,C,D 四类不同的元件连接成系统 N,当元件 A 正常工作且元 件 B,C 都正常工作,或当元件 A 正常工作且元件 D 正常工作时,系统 N 正常工作.已 知元件 A、B、C、D 正常工作的概率依次为

2 3 3 4 , , , . 3 4 4 5
A

B

C

(Ⅰ)求元件 A 不正常工作的概率; (Ⅱ)求元件 A、B、C 都正常工作的概率; (Ⅲ)求系统 N 正常工作的概率.

D

6. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,它的前 n 项的和为 Sn ( n ? 1 ) ,若 ?Sn ? 是一个等比数列, 且公比为 q ( q ? 0 ) . (I)试求数列 ?an ? 的通项公式;
4

(II)设 bn ? an Sn , Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,试求 Bn 关于 q, n 的表达式; 7.已知各项均为正数的数列 {an } , a1 ? a(a ? 2) , a n ?1 ?
2 an * 其中 n ? N , 2(a n ? 1)

(I)证明 an ? 2 ;

(II)设 bn ?

an 2 ,试证明 bn?1 ? bn ; an ? 2

(III)若数列 {cn } 满足 cn ? lg bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 8. 如图, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 BC 边上的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN= ? NC1. (Ⅰ)求证:AM ? 面 BC C1 B1 ;
B1 C1 A1

(Ⅱ)若二面角 B1-AM-N 的平面角的余弦值为

5 ,求 ? 的值; 5
A

N

(Ⅲ)在第(Ⅱ)的前提下,求点 B1 到平面 AMN 的距离.
B M C

9. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,已知

AB ? CD ? a, AD ? BC ? 2a, ?A ? 60? , AC ? BD ? E ,
将其沿对角线 BD 折成直二面角. (I)证明: AB ? 平面 BCD ; (II) 证明:平面 ACD ? 平面 ABD ; (III)求二面角 A ? CE ? B 的大小.

D E C B

A

2 10.已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴轴对称,且 f ( x) ? 2 x ? 4 x

(I)求函数 y ? g ( x) 的解析式;

(II)解不等式

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 1| ; 2

11.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ,且 a ? [1, ??)
2

(I)若函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的图象在直线 y ? x 的下方,求实数 a 的取值范围; ( II ) 求 证 : 当 a ? 4 时 , 对 于 任 意 两 不 同 实 数 x1 , x2 , 函 数 f ( x ) 恒 满 足

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

1 | x1 ? x2 | . 2

12. 如图,等腰梯形 ABCD 的三边 AB, BC , CD 分别与

5

1 2 x ? 2 , x ?? ?2, 2? 的图象切于点 P, Q, R . 2 求梯形 ABCD 面积的最小值. x2 y2 13.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 B(1,0) ,右准线与 x 轴的交点为 A a b (5,0) ,过点 A 作直线 l 交椭圆 C 于两个不同的点 P、Q.
函数 y ? ? (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求直线 l 斜率的取值范围; (III)是否存在直线 l ,使得 BP ? BQ ,若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

14. 已知定点 F (a,0) (a ? 0), 点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴上,N 为动点, 且 PM ? PF ? 0, PN ? PM ? 0 ; (Ⅰ)求点 N 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F (a,0) 的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 K (?a,0) ,

KA与KB 的夹角为 ? ,求证: 0 ? ? ?

?
2

.

15. 用总长 44.8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架, 如果所制做容 器的底面的腰长比底边长的一半长 1m,那么底面的底边,腰及容器的高为多少时容器 的容积最大?(参考数据 2.662=7.0756,3.342=11.1556)

6

参 考 解 答
一. 1.B 13. D 2.B 3.D 14.B 4.D 5.B 15.C 16.D 3.( a ? 1 或 a ? 0 ) 4. ( 6.B 7.D 8.B 9. B 10 .(

9 ) 11.C 16 1 ;0) 2

12.A

2 二. 1.(2) 2. ( x ?

4 2 y ? 1) 3

5. (10)

6. (

3 ) 7

7. (

1 2 ? a ? 2 ) 8. [-1, ] 9. ( 3 ) 10. (5,6) 11. ( ?280 x ) 2 2

12. (

2? ) 3

三. 1. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ? 最小正周期 T ?

?
6

) ? a ?1

2? ?? 2

(? 2 (Ⅱ) ? ?2 ≤ 2 s i n x
即? 2. 解(I)? sin(

?

6

≤)

2

? f ( x)max ? 2 ? a ? 1 ? f ( x)min ? ?2 ? a ? 1
3 ? ? ? ) ? , ? ? (0, ) 4 5 4

? 2a ? 2 ? 3. ? a ?

1 2
,

?

? 4 ) ? c o s ( ?? ? 4 5

?? ?? ? ? ? ? ?? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos( ? ? ) ? cos sin( ? ? ) 4 4 4 4 ?? ?4 ?4 ? 2 4 2 3 2 ? ? ? ? , 2 5 2 5 10
2 10

? sin ? ?
(II)? (

3 4 5 ? ? ? ? ? 4 ?? ? (0, ),?? ? ? ( , ) ? s i n? (? ? ) 4 4 4 2 4 5 ? ? ) ? (? ? ) ? 4 4 2 ? c o s? (? ? )

?

?

?

?

? t a n? (?

?
4

? )

4 3

解法 2:? sin ? ?

? 2 , ? ? (0, ) 4 10
x?2 ? 0, (ax ? 1)( x ? a)

?t an ??

? 1 ? tan(? ? ) ? 7 4

4 ?4 ? 3 1 ? tan ? tan 4

tan ? ? tan

?

3. 解:原不等式化为

(Ⅰ)当 a ? 0时, 化为

x?2 ? 0, 解集为{x | ?2 ? x ? 0}, ?x
7

(Ⅱ)当 0 ? a ? 1时, 化为

x?2 ? 0, 此时有 ?2 ? ? a ? a , 1 ( x ? )( x ? a) a

1

解集为 {x | ?2 ? x ? ?a, 或x ? }. (Ⅲ) a ? 0时, 化为
x?2 ? 0, 1 ( x ? )( x ? a) a 1 当a ? ? 时, 2

1 a

(i) 有 ? 2 ?

1 1 ? ? a, 解集为 {x | x ? ?2或 ? x ? ? a} a a 1 x?2 (ii) 当 a ? ? 时,不等式为 ? 0 解集为 {x | x ? 1 , 且x ? ?2} 1 2 2 ( x ? 2)( x ? ) 2
(iii) 当 ? 1 ? a ? 0时, 有 1 ? ?2 ? ?a, 解集为 {x | x ?
2 a

1 , 或 ? 2 ? x ? ? a}. a

4. 解: (Ⅰ)前 4 辆恰有 2 辆左转行驶的概率 P1 ? C 42 ( 2 ) 2 ? ( 1 ) 2 ? 8
3 3

27

(Ⅱ)该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率

1 16 4 2 4 3 2 3 P2 ? C 4 ( ) ? C4 ( ) ? ? 。 3 3 3 27
5. 解: (Ⅰ)元件 A 正常工作的概 率 P(A)=
1 P( A) ? 1 ? P( A) (2 分)= ; 3

2 ,它不正常工作的概率 3

(Ⅱ)元件 A,B,C 都正常工作的概率 P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)
? 2 3 3 3 ? ? ? ; 3 4 4 8

(Ⅲ) 系统 N 正常工作可分为 A,B,C 都正常工作和 A,D 正常工作但 B,C 不都正常 工作两种情况,前者概率 3 ,后者的概率为
8

7 P( A ? B ? C ? D) ? P( A ? B ? C ? D) ? P( A ? B ? C ? D) ? 2 ? 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 4 ? . , 3 4 4 5 3 4 4 5 3 4 4 5 30

所以系统 N 正常工作的概率是 3 ? 7 ? 73 .
8 30 120

6. 解: (I) S1 ? a1 ? 1 , Sn ? S1q

n?1

? qn?1
n?1

所以,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? q 所以,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?

? q n ?2 .

?1, n ? 1, ?q
n ?1

? q n ?2 , n ? 2.

8

(II) 若 q ? 1, 则当 n ? 2 时,an ? 0 , 所以, 故对于任意 n ? N? ,Bn ? B1 ? 1 ; bn ? 0 , 若 q ? 1 ,则 b1 ? a1S1 ? 1 , B1 ? b1 ? 1 ;
n ?1 n?2 q n ?1 ? q 2 n ?3 ? q ? 1? . 当 n ? 2 时, bn ? an S n ? q ? q

?

?

所以,数列 ?bn ? 从第二项起,是以 q 为公比的等比数列,

Bn ? b1 ? ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ? 1 ?

b2 ?1 ? q n?1 ? 1? q

? qn ? q ? 1.

B1 ? 1 也满足上式, q ? 1 时的情形也满足上式.
综上, Bn ? qn ? q ? 1. 7. (I)运用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由条件知 a1 ? a ? 2 ,故命题成立; ②假设当 n ? k (k ? N ) 时,有 ak ? 2 成立
*

那么当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? 2 ?

2 ak (a ? 2) 2 ?2? k ? 0 故命题成立 2(ak ? 1) 2(ak ? 1)

综上所述,命题 an ? 2 对于任意的正整数 n 都成立.
2 an 2 a n ?1 2(a n ? 1) an 2 ? ? ? ? bn 2 2 a n ?1 ? 2 an a n ? 4a n ? 4 ?2 2(a n ? 1)

(II) bn ?1

2 (III)? cn?1 ? lg bn?1 ? lg bn ? 2cn

且 c1 ? lg

a ?0 a?2

? 数列 {cn } 是以 c1 ? lg
? S n ? (2 n ? 1) lg a a?2

a 为首项,以 2 为公比的等比数列. a?2

8. 解法 1: (Ⅰ)因为 M 是底面 BC 边上的中点,所以 AM ? BC, 又 AM ? C C1 ,所以 AM ? 面 BC C1 B1 (II)因为 AM ? 面 BC C1 B1

9

所以 AM ? B1 M, AM ? NM, 所以 cos B1 MN ?

所以 ? B1 MN 为二面角 B1 —AM—N 的平面角.

5 ,设 C1N=x,则 CN=1-x 5
2

又 B1 M= B1 B ? BM
2

? 1?

1 5 1 ,MN= ? ? (1 ? x) 2 , 4 2 4

连 B1 N,得 B1 N= 1 ? x 2 ,

5 1 ? ? (1 ? x ) 2 ? (1 ? x 2 ) 5 1 4 4 ? 在 ? B1 MN 中,由余弦定理得 ,得 x= .故 ? =2. 5 3 5 1 2? ? (1 ? x) 2 2 4
(ⅡI)过 B1 在面 BCC1B1 内作直线 B1H ? MN , H 为垂足.又 AM ? 平面 BCC1B1 ,所以 AM ? B1 H.于是 B1 H ? 平面 AMN, 故 B1 H 即为 B1 到平面 AMN 的距离.在 R1?B1HM 中, B1 H = B1 M sin B1MH ?

5 1 ? 1 ? ? 1 .故点 B1 到平面 AMN 的距离为 1. 2 5

解法 2: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1(0,0,1) ,

M(0,

1 2 3 1 ,0),C(0,1,0), N (0,1, ) , A ( ? , , 0 ),所以, 2 3 2 2

???? ? ???? ? ???? ? 1 1 2 3 AM ? ( , 0, 0) , MB1 ? (0, ? ,1) , MN ? (0, , ) . 2 2 3 2
因为 MB1 ?AM ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ? 3 1 ? 0 ? 0 ? (? ) ? 0 ?1 ? 0 所以 MB1 ? AM , 2 2
故 AM ? 面 BC C1 B1

同法可得 MN ? AM .

???? ?

???? ?

(II) 故﹤ MB1, MN ﹥为二面角 B1 —AM—N 的平面角 以下同法一. (III)设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量,则由 n ? AM , n ? MN 得

???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

? 3 ?x ? 0 x?0 ? ? 2 ? ?? 4 ? y?? z 1 2 ? y? z ?0 ? 3 ? ? 3 ?2

故可取 n ? (0, ?

3 ,1) 4

10

5 ???? ? ???? ? MB1 ? n 2 5 设 MB1 与 n 的夹角为 a,则 cos a ? ???? . ? 3 ? ? 3 5 5 MB1 ? n ? 2 3
所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ? 9.

???? ?

5 2 5 ? ? 1. 2 5

D Q E C B
解: (I)在 ?ABD 中,由余弦定理,得

A

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos 60? ? (2a ) 2 ? a 2 ? 2 ? 2a ? a ?

1 ? 3a 2 . 2

? AD2 ? 4a2 ? 3a2 ? a2 ? BD2 ? AB2 ,??ABD ? 90?.
又? 二面角 A ? BD ? C 为止二面角, AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD ? 平面 BDC ,

? AB ? 平面 BDC .
? (II) ? 四边形 ABCD 是平行四边形, ?ABD ? 90 ,? DC ? BD.

? AB ? 平面 BDC ,? AB ? 平面 ABD ,∴平面 ABD ? 平面 BDC . 又? BD ? 平面 ABD ? 平面 BDC , DC ? 平面 BDC , ∴ DC ? 平面 ABD .
AB ? BE ? (III)作 BQ ? CE 于 Q ,由平面几何知识得: BQ ? AE a? 3 a 2 ? 21 a. 7 7 a 2

连结 AQ ,由三垂线定理, AQ ? CE ,∴ ?BQA 是二面角 A ? CE ? B 的平面角. 在 Rt?AQB 中, tan BQA ?

AB ? QB

a 21 ? , 3 21 a 7

∴ ?BQA ? arctan

21 21 , 即二面角 A ? CE ? B 的大小为 arctan . 3 3

11

10. 解: (I) 设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P( x, y) , 由已知点 P 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一定在函数 y ? f ( x) 图象上,代入得 y ? 2 x 2 ? 4 x ,所以 g ( x) ? 2 x ? 4 x .
2

?2 x 2 ? x ? 1 ?2 x 2 ? 1 ? x f ( x) ? g ( x) 2 ?| x ? 1| ? 2x ?| x ?1| ? ? (II) 或? 2 ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0

1 ? ? x ?? ??1 ? x ? 1 或? ?? 2 ? ?1 ? x ? . 2 ? x ?1 ? x ?1 ?
11. 解: (1)函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的图象在直线 y ? x 的下方,即 不等式 ln( x2 ? a) ? x ? 0 在 x ? (1, ??) 时恒成立 设 g ( x) ? ln( x2 ? a) ? x ,则 g '( x) ? ∵ a ? [1, ??) ,

2x x2 ? 2 x ? a ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? 1 ? ? ? ? x2 ? a x2 ? a x2 ? a

∴在 x ? (1, ??) 时有 g '( x) ? 0

∴函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减∴函数 g ( x) 在 [1, ??) 上的最大值为 g (1) ? ln(1 ? a) ? 1 若使不等式 ln( x2 ? a) ? x ? 0 在 x ? (1, ??) 时恒成立,需且仅需 g (1) ? ln(1 ? a) ? 1 ? 0 即 a ? e ? 1 ,又 a ? [1, ??) (II) f '( x) ? 所以所求 a 的范围 1 ? a ? e ? 1

a a 2x 2 ∵当 x ? 0 时, x ? ? 2 a , ;当 x ? 0 时, x ? ? ?2 a ? x x x ?a x? a x
2

∴?

1 1 ? f '( x) ? a a

又∵ a ? 4



1 1 ? a 2

∴ | f '( x) |?

1 . 2

假设存在两不同实数 x1 , x2 ,函数 f ( x ) 不满足 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 即 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

1 | x1 ? x2 | 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 1 ? | x1 ? x2 | ,设 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) ,则 k AB ? x1 ? x2 2 2

因为函数 f ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 可导,所以可平移直线 AB 使其与函数 f ( x ) 图象相切于某点

P( x0 , y0 ) , x0 ? ( x1 , x2 )
此时切线的斜率为 f '( x0 ) ,即 f '( x0 ) ? k AB ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1 ? x2 2

12

1 相矛盾,所以对于任意两不同实数 x1 , x2 , 2 1 函数 f ( x ) 恒满足 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? | x1 ? x2 | . 2 1 2 12. 解:设梯形 ABCD 的面积为 s ,点 P 的坐标为 (t , ? t ? 2)(0 ? t ? 2) . 2 由题意得,点 Q 的坐标为 (0, 2) ,直线 BC 的方程为 y ? 2 . 1 ? y ? ? x 2 ? 2, ? y? ? ? x ? y? |x?t ? ?t 2 1 ? 直线 AB 的方程为 y ? (? t 2 ? 2) ? ?t ( x ? t ), 2 1 2 即: y ? ?tx ? t ? 2 2 t2 ? 4 t2 ? 4 ,? A( , 0). 令 y ? 0 得, x ? 2t 2t 1 1 令 y ? 2 得, x ? t ? B ( t , 2) 2 2 2 1 1 t ?4 2 ) ? 2 ? 2 ? 2(t ? ) ? 4 2 ? S ? ?( t ? 2 2 2t t 2 当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时,取“=”且 2 ? ? 0,2 ? , t ? t ? 2 时, S 有最小值为 4 2 . ? 梯形 ABCD 的面积的最小值为 4 2 . ? c ?1 ? a2 x2 y2 ? ? 1. 13. 解:( I ). ? ? 5 ? a 2 ? 5, c ? 1, b ? 2 即 所求椭圆方程为 5 4 ? 2 c 2 2 ?a ? b ? c
这与 | f '( x) |? (II)点 A(5,0)在椭圆的外部, 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点, 所以直线 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5) .

? x2 y2 ? 1, ? ? 由方程组 ? 5 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
2

得 (5k ? 4) x ? 50k x ? 125k ? 20 ? 0
2 2 2 2

5 5 . ?k? 5 5 (III)方法一: 设点 P 、 Q 到准线的距离分别为 d P 、 d Q .若存在直线 l ,使得 BP ? BQ
依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0 ,得 ?

?

BP dP

? e,

BQ dQ

?e

?

d P = dQ

又? P 、 Q 是椭圆上不同的两点 ? PQ 平行于准线. 这与 PQ 过点 A 矛盾. ? 不存在直线 l ,使得 BP ? BQ . 方法二: 设交点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,PQ 的中点为 R ( x0 , y0 ) ,则
13

x1 ? x 2 25k 2 ? 2 2 5k ? 4 2 25k ? 20k y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k ( 2 ? 5) ? 2 5k ? 4 5k ? 4 又 BP ? BQ ? BR⊥ l ? k ? k BR ? ?1 x1 ? x 2 ? 50k 2 , 5k 2 ? 4 x0 ?

20k 2 20k 2 5 k ? 4 k ? k BR ? k ? ? ? ?1 ? 20k 2 ? 20k 2 ? 4 2 2 25k 4 ? 20k 1? 2 5k ? 4 但 0 ? ?4 不可能成立, 所以不存在直线 l 使得 BP ? BQ .
14. 解: (Ⅰ) N ( x, y), M ( x0 ,0), P(0, y0 ), PM ? ( x0 ,? y0 ), PF ? (a,? y0 ), PN ? ( x, y ? y0 ).
2 由 PM ? PF ? 0, 得ax0 ? y0 ?0①

PN ? PM ? 0, 得( x ? x0 , y ? 2 y0 ) ? 0,

? x ? ? x, ? x ? x0 ? 0, ? 0 2 即? 即? y 并代入①, 得 y ? 4ax 为所求. ? y ? 2 y 0 ? 0, ? y 0 ? , 2 ?
(Ⅱ)设 l 的方程为 y ? k ( x ? a). 由?

? y 2 ? 4ax, 4a 消去x, 得y 2 ? y ? 4a 2 ? 0. k ? y ? k ( x ? a),

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 y2 ? ?4a 2 , KA ? ( x1 ? a, y1 ), KB ? ( x2 ? a, y2 ),

KA ? KB ? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? y1 y 2 ?
? cos ? ? KA ? KB | KA ? KB | ? 0,? 0 ? ? ?

2 2 y12 y 2 y12 y 2 ? a ? ( ? ) ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 4a (4a) 2

?
2

.

15. 解:设容器底面等腰三角形的底边长为 2xm,则腰长为 ( x ? 1)m, 高为
44.8 ? 4 x ? 4( x ? 1) 40.8 ? 8? ? m 3 3

设容器的容积为 Vm3,底面等腰三角形底边上的高 h ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 1.

?V ?
?

1 40.8 ? 8 x ? 2x 2x ?1 ? 2 3
40.8 x(2 x ? 1) ? 8 x 2 2 x ? 1 40.8 ? 8 x (由x ? 0及 ? 0, 得0 ? x ? 5.1 3 3 40.8(2 x ? 1) ? 40.8 x ? 16 x(2 x ? 1) ? 8 x 2 ?40 x 2 ? 106.4 x ? 40.8 V? ? ? 3 2x ?1 3 2x ?1
令 V ? ? 0, 得x 2 ? 2.66x ? 1.02 ? 0, ( x ? 3)(x ? 0.34) ? 0,由x ? 0, 解得x ? 3
14

当 0 ? x ? 3时V ? ? 0;3 ? x ? 5.1时,V ? ? 0,因此,当x ? 3时,V 有最大值. 这时容器的底面等腰三角形的底边长为 6m,腰长为 4m,容器的高为 5.6m.

15


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