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参数方程的概念_图文

参数方程的概念

探究一:
一架救援飞机在离灾区 地面500米高处以100 米/秒的速度作水平 直线飞行,为使投放 的救援物资准确落于 灾区指定的地面(不 计空气阻力),飞行 员应如何确定投放时 机呢?

设飞机在A点将物资投出机舱,在经过飞行航线(直线) 且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系,其中x轴 为地平面与这个平面的交线,y轴经过点A,记物资投出 机舱时为时刻0,在时刻t时物资的位置为点M(x,y),则x 表示物资的水平位移量,y表示物资距地面的高度。
y 500 v=100米/秒 A

? x ? 100t ? ? 1 y ? 500 ? gt ? ? 2
M(x,y)

2

? x ? 100t 即? ? y ? 500 ? 4.9t
x

2

O

定义: 一般地,在给定的坐标系中,如果曲线上任意一

点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ) ? ? y ? g( t )

---------(1)

并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M (x,y) 都在这条曲线上,那么方程组(1) 就叫做这条曲线 的参数方程, 联系x、y 之间的变数 t 叫做参变数,简称 为参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关 系的方程叫普通方程。

参数的作用: 沟通动点坐标的联系 , 刻画 动点运动的规律,给解决问题带来方便.

? x ? 3t 例1 、 已知曲线C的参数方程是? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1 (1)判断点M 1 (0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 ; (2)已知点M 3 (6, a)在曲线C上, 求a的值.

例2.设质点沿以原点为圆心 , 半径为2的 圆作匀角速度运动 , 角速度为

?

60 试以时间t为参数, 建立质点运动轨迹的 参数方程。
y M(x,y) ɑ o A x

rad / s.

例3、如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点, Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当 点P绕O作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参 数方程。
y P
ɑ M

x Q(6,0)

O

N

练习:
?x ? t ? 1 1.点P(3, b)在曲线? 上, 求b. ? y ? ?2t ? 1
2

2.动点M作等速直线运动,它在x 轴与y轴方向上的分速度分别为6 和8,运动开始时位于点P(1,2), 求M的轨迹的参数方程.

思考:
3.与方程xy ? 1表示相同曲线的参数方程(t为参数)是 ? ?x ? t A. ? ?2 ? ?y ? t
2

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ? ? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?

4.边长为a的等边⊿ABC的两个端点A、B分 别在x轴,y轴两正半轴上移动,顶点C和 原点O分别在AB两侧,记∠CAx=ɑ,求顶 点C的轨迹的参数方程.

?x ? 2 5.方程 ? (? 为参数)表示的曲线是 ? y ? cos ? A.余弦曲线 B.与x轴平行的线段 C.直线 D.与y轴平行的线段.

小结
? 参数方程的概念 ? 如何确定点是否在参数方程所表 示的曲线上?

作业

课本:

P26

T1、T2。


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