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2015-2016学年高中数学 2.2 等差数列课时作业8 新人教A版必修5


课时作业(八)

等差数列的性质
)

A 组 基础巩固 1.若等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则 a6+a7+a8 等于( A.34 B.35 C.36 D.37 解析:由题意得: (a3+a7-a10)+(a11-a4)=12, ∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12. ∵a3+a11=a10+a4, ∴a7=12,∴a6+a7+a8=3a7=36. 答案:C 1 1 2.a= ,b= ,则 a、b 的等差中项为( ) 3+ 2 3- 2 A. 3 3 C. 3 B. 2 2 D. 2 1 解析: =

a+b
2



3+ 2

+ 2

1 3- 2

? 3- 2?+? 3+ 2? = 3. 2 答案:A * 3.数列{an}满足 3+an=an+1(n∈N )且 a2+a4+a6=9,则 log6(a5+a7+a9)的值是( ) 1 A.-2 B.- 2 1 C.2 D. 2 解析:由已知可得{an}是等差数列,公差 d=3, ∴a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=36, ∴log6(a5+a7+a9)=2. 答案:C 1 4.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=240,则 a9- a11 的值为( ) 3 A.30 B.31 C.32 D.33 解析:由等差数列的性质可得 a4+a6+a8+a10+a12=240,解得 a8=48,设等差数列{an} 1 1 2 的公差为 d,a9- a11=a8+d- (a8+3d)= a8=32,故选 C. 3 3 3 答案:C b4-b3 5.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,则 = a2-a1 ( ) 4 3 A. B. 3 4 8 3 C. D. 3 8 an-am a2-a1 y-x 解析:由 d= 知 = , n-m 3-2 5-1
-1-

∴a2-a1=

. ① 4 b4-b3 y-x 2 又 = ,∴b4-b3= (y-x). ② 6-4 5-2 3 b4-b3 8 由②÷①得 = . a2-a1 3 答案:C 1 6.在等差数列{an}中,a2 000=log27,a2 022=log2 ,则 a2 011=( ) 7 A.0 B.7 C.1 D.49 解析:∵数列{an}是等差数列,∴a2 011 是 a2 000 与 a2 022 的等差中项, 1 即 2a2 011=a2 000+a2 022=log27+log2 =log21=0,故 a2 011=0. 7 答案:A y3-y1 7.已知数列-1,x1,x2,9 和-1,y1,y2,y3,9 都是等差数列,则 =________. x2-x1 解析:设两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2, 10 5 则 3d1=9-(-1)=10,d1= ,4d2=9-(-1)=10,d2= , 3 2 y3-y1 2d2 5 3 于是 = = = . x2-x1 d1 10 2 3 3 答案: 2 8. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,最上面 4 节的容积共 3 升,最下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 解析:解法一: 设自上第一节竹子容积为 a1, 则第 9 节容积为 a9, 且数列{an}为等差数列. 由 a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, ?4a5-10d=3,① ? 67 即? 解得 a5= . 66 ? ?3a5+9d=4,② 解法二:设自上第一节竹子容积为 a1,依次类推,数列{an}为等差数列.又 a1+a2+a3+ 13 7 13 7 a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得 a1= ,d= ,∴a5=a1+4d= +4× = 22 66 22 66 67 . 66 67 答案: 66 3x * 9.已知函数 f(x)= ,在数列{xn}中,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N ). x+3 ?1? (1)求证:? ?是等差数列;
?xn?

y-x

1 (2)求当 x1= 时,x2 015 的值. 2 3x 解析:(1)证明:∵f(x)= ,xn=f(xn-1), x+3 3xn-1 1 xn-1+3 1 1 ∴xn= .∴ = = + . xn-1+3 xn 3xn-1 3 xn-1

-2-

1 1 1 * 即 - = (n≥2,n∈N ). xn xn-1 3 ?1? ∴? ?是等差数列.
?xn? ?1? 1 1 1 1 1 (2)由(1)可知? ?是等差数列,且 =2,公差 d= ,∴ = +(n-1)d=2+ (n-1). x1 3 xn x1 3 ?xn? 1 1 2 020 ∴ =2+ ×(2 015-1)= . x2 015 3 3 3 ∴x2 015= . 2 020 10.已知{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=12,a8=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中,依次取出第 2 项,第 4 项,第 6 项,?,第 2n 项,按原来顺序组成 一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式. 解:(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4, ∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2, ∴an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n. (2)a2=4,a4=8,a8=16,?,a2n=2×2n=4n. 当 n>1 时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. ∴{bn}是以 4 为首项,4 为公差的等差数列. ∴bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. B 组 能力提升 11.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30°, △ABC 的面积为 1.5,那么 b 等于( ) 1+ 3 A. B.1+ 3 2

2+ 3 D.2+ 3 2 解析:灵活选择三角形面积公式,再结合余弦定理可解出 b 的值. 由 a,b,c 成等差数列可得 2b=a+c. 1 1 3 又∵S△ABC=1.5,即 acsin30°= ac= , 2 4 2 ∴ac=6. 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-6 3 2 =4b -12-6 3, 2 ∴b =4+2 3. 又∵b 是△ABC 的一条边,∴b>0, ∴b= 3+1.故选 B. 答案:B 12.若{an}为等差数列,且 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)的值为________. 3 解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a9=2a5=a2+a8.代入 a1+a5+a9=π ,得 (a2+a8)=π , 2 2π 1 ∴a2+a8= ,从而 cos(a2+a8)=- . 3 2 1 答案:- 2 2 2 * 13.已知等差数列{an}中,a1=a,公差 d=1,若 bn=an-an+1(n∈N ),试判断数列{bn}是 否为等差数列,并证明你的结论. C.
-3-

解:数列{bn}是等差数列.证明如下: ∵等差数列{an}中,a1=a,d=1, ∴an=a+(n-1)×1=n-1+a. 2 2 2 2 ∴bn=an-an+1=(n-1+a) -(n+1-1+a) =1-2n-2a, ∴bn+1=1-2(n+1)-2a. ∴bn+1-bn=[1-2(n+1)-2a]-(1-2n-2a) =-2. 2 2 又∵b1=a1-a2=-2a-1, ∴数列{bn}是以-2a-1 为首项,-2 为公差的等差数列. 14.已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=
??bn? ? n∈N*,求证:数列?? ?2?是等差数列. ??an? ?

an+bn bn * ,n∈N .设 bn+1=1+ , 2 2 an an+bn

an+bn 证明:由题设知 an+1= 2 2= an+bn
从而?

1+

bn an = bn?2 ? 1+? ? ?an?

bn+1
1+? ? a

?bn?2 ? n?

,所以

bn+1 = an+1

1+? ? , a

?bn?2 ? n?

?bn+1?2-?bn?2=1(n∈N*), ? ? ? ?an+1? ?an? ??bn?2? 所以数列?? ? ?是以 1 为公差的等差数列. ??an? ?

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