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2017高考海淀区高三一模文科数学试卷及答案


海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(文科)2017.4
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.设集合 A ? ?x |1 ? x ? 3? ,集合 B ? x | x2 ? 4 ,则集合 A ? B 等于 A. ?x | 2 ? x ? 3? B.

?

?

?x x ? 1? C. ?x 1 ? x ? 2? D . ?x | x ? 2?

2.圆心为 (0,1) 且与直线 y ? 2 相切的圆的方程为 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 B. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D . x2 ? ( y ? 1)2 ? 1
开始
x ? 0, y ? 5

3.执行如右图所示的程序框图,输出的 x 值为 A . 4 B. 3 C. 2 D. 1
x? y ? xy 2




x ? x ?1

4.若实数 a , b 满足 a ? 0, b ? 0 ,则“ a ? b ”是“ a ? ln a ? b ? ln b ”

y? y?x

的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

输出x 结束

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为 A . 5 B. 6
2
主视图

1 1
左视图

C. 2 2

D. 3
俯视图

uuu r uuu r uuu r 6.在 ?ABC 中,点 D 满足 AD ? 2 AB ? AC ,则
A.点 D 不在直线 BC 上 B.点 D 在 BC 的延长线上 C.点 D 在线段 BC 上 D.点 D 在 CB 的延长线上

?cos x, x ? a, ? 7.若函数 f ( x) ? ? 1 的值域为 [?1,1] ,则实数 a 的取值范围是 , x?a ? ? x
A. [1, ??) B. (??, ?1] C. (0,1] D. ? ?1,0?
高三文科试题 1 / 16

8.如图,在公路 MN 两侧分别有 A1 , A2 ,..., A7 七个工厂,各工厂与公路 MN (图中粗线)之间 有小公路连接. 现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址 的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论 中正确的是 ①车站的位置设在 C 点好于 B 点; ②车站的位置设在 B 点与 C 点之间任何一点效果一样; ③车站位置的设置与各段小公路的长短无关. A. ① B.② C. ①③D.②③
A2 A3 A4 A5 A6
C

M

A1

B
A7
N

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.已知复数 z ? a(1 ? i) ? 2 为纯虚数,则实数 a ? ___. 10.已知等比数列 ?an ? 中, a2 a4 ? a5 , a4 ? 8 ,则公比 q ? ,其前 4 项和 S4 ? ___. 11. 若抛物线 y 2 ? 2 px 的准线经过双曲线 x2 ?
y2 ? 1 的左焦点,则实数 p ? ___. 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, y ? 12.若 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 0, 则 的最大值是___. x ? x ? 1, ?

13.已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ) ,若函数 y ? f ( x ? a) (a ? 0) 的部分图象如图所示,则 ? ? ___, a 的最小值是.

高三文科试题 2 / 16

14.阅读下列材料,回答后面问题: 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“……假 如此次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话,2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人。尽管如此,航空安全专家还是提醒人们:飞机仍是相对安全的交通工具。①世界卫 生组织去年公布的数据显示,每年大约有 124 万人死于车祸,而即使在航空事故死亡人 数最多的一年,也就是 1972 年,其死亡数字也仅为 3346 人;②截至 2014 年 9 月,每 百万架次中有 2.1 次(指飞机失事) ,乘坐汽车的百万人中其死亡人数在 100 人左右。 ” 对上述航空专家给出的①、②两段描述(划线部分) ,你认为不 能够支持“飞机仍是相 . 对安全的交通工具”的所有描述的序号为______,你的理由是____.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分)

已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 6, a2 ? a3 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? an?1} 的前 n 项和.

高三文科试题 3 / 16

16.(本小题满分 13 分) 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务 . 该地出现 a , b 两种“共享单 车”(以下简称 a 型车, b 型车).某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用情况. (Ⅰ)某日该学习小组进行一次市场体验,其中 4 人租到 a 型车,3 人租到 b 型车.如果从组 内随机抽取 2 人,求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型车的概率; (Ⅱ)根据已公布 2016 年全年市场调查报告,小组同学发现 3 月,4 月的用户租车情况呈现 下表使用规律.例如:第 3 个月租用 a 型车的人中,在第 4 个月有 60%的人仍租用 a 型车. 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 40% 租用 b 型车 50% 50%

若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同.已知 2017 年 3 月该地区租用
a , b 两种车型的用户比例为 1 :1 ,根据表格提供的信息,估计 2017 年 4 月该地区租用

两种车型的用户比例.

17.(本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 中, A ? 2B . (Ⅰ)求证: a ? 2b cos B ; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 4, 求 B 的值.

高三文科试题 4 / 16

18.(本小题满分 14 分) 已 知 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 底 面 A B C D为 正 方 形 ,
PA ? 平面ABCD , PA ? AB ? 2 , E , F 分别是 PB, PD 的中
F P

点. (Ⅰ)求证: PB ? 平面 FAC ;

E D C

A

(Ⅱ)求三棱锥 P ? EAD 的体积; (Ⅲ)求证:平面 EAD ? 平面 FAC .

B

高三文科试题 5 / 16

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 为
1 . 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B,且 | AB |? 4 ,离心率 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 Q(4, 0) , 若点 P 在直线 x ? 4 上,直线 BP 与椭圆交于另一点 M . 判断是否存在点
P ,使得四边形 APQM 为梯形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

高三文科试题 6 / 16

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 ? ax ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,求函数 g ( x) 的最小值; (Ⅲ)求证:存在 c ? 0, 当 x ? c 时, f ( x) ? 0.

高三文科试题 7 / 16

高三文科试题 8 / 16

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科) 2017.4 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 10.2,15 11. 4 12. 3 2 13.2, ? 12

14.选①,数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数 的关系; 选②,数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关 不选②,数据②两个数据虽表面不是同一类数据,但是可以做如下大致估算, 考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x,这样每百万人乘机死亡人数 2.1 人,要 远远少于乘车每百万人中死亡人数。 {说明:只要对两个数据言之有理,就给 5 分。若是只对一个数据进行了合理 说明,给 3 分。} 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d , 因为 a1 ? a2 ? 6 , a2 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? a1 ? 4 , 所以 2d ? 4 , d ? 2 . 又 a1 ? a1 ? d ? 6 ,所以 a1 ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n . (Ⅱ)记 bn ? an ? an ?1 所以 bn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 4n ? 2 , 又 bn ?1 ? bn ? 4(n ? 1) ? 2 ? 4n ? 2 ? 4 , 所以 {bn } 是首项为 6 ,公差为 4 的等差数列, 其前 n 项和 Sn ?
n(b1 ? bn ) 2
高三文科试题 9 / 16

?

n(6 ? 4n ? 2) ? 2n2 ? 4n . 2

16.解: (Ⅰ)法 1:依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4; 租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3; 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”, 则事件 A 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”. 如表格所示:从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况, 事件 A 发生共有 3 种情况, 所以事件 A 概率 p(A)= 1 ? P( A )= 1 ?
3 21 ? 6 7
A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 X X X A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3

.

法 2:依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4; 租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3; 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”, 事件 A 包含两类情形:2 人都租到 a 型车;一人租用 a 型车,一人租用 b 型车。两类情 形共有 18 种情况. 从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况, 所以事件 A 发生的概率 P( A) ?

18 6 ? . 21 7

(Ⅱ)依题意,市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%, 租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%, 所以市场 4 月租用 a,b 型车的用户比例为
55% 11 = . 45% 9

{说明:如果学生假设 a 型车和 b 型车的具体数值,然后计算数值再求比例,不扣分}

高三文科试题 10 / 16

17.解: (Ⅰ)因为 A ? 2B , 所以由正弦定理 得 得
a b , ? sin A sin B

a b , ? sin A sin 2B a b , ? 2sin B cos B sin B

所以 a ? 2b cos B . (Ⅱ)法 1:由余弦定理, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 因为 b ? 2, c ? 4 , 所以 4 ? 16cos2 B ? 14 ? 32cos2 B , 所以 16cos 2 B ? 12 ,即 cos2 B ?
3 , 4 ? , 3

因为 A ? B ? 2 B ? B ? ? ,所以 B ? {或因为 b ? c ,所以 B ? 所以 cos B ?
? } 2

3 ? ,所以 B ? . 2 6

法 2:由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , 因为 b ? 2, c ? 4, A ? 2 B , 所以 16cos2 B ? 4 ? 16 ? 16cos 2B , 所以 cos2 B ?
3 . 4 ? , 3

因为 A ? B ? 2 B ? B ? ? ,所以 B ? 所以 cos B ?
3 ? ,所以 B ? . 2 6

法 3:因为 a ? 2b cos B , 所以由余弦定理, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 可得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac ?

a2 c a ,即 b2 ? a2 ? c2 ? , 2b b

又因为 b ? 2, c ? 4 ,所以计算可得 a 2 ? 12 ,即 a ? 2 3 , 因为 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? , 所以 cos B ?
a 3 ? , c 2
高三文科试题 11 / 16

所以 B ?

? . 6
a2 ? c2 ? b2 ,可得 2ac

法 4:因为 a ? 2b cos B ,根据余弦定理 cos B ?

a ? 2b ?

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

又因为 b ? 2, c ? 4 ,所以计算可得 a 2 ? 12 ,即 a ? 2 3 , 因为 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? , 所以 cos B ?
a 3 ? , c 2

所以 B ? 18.解:

? . 6

(Ⅰ)连接 BD ,与 AC 交于点 O ,连接 OF , 在 ?PBD 中, O , F 分别是 BD , PD 中点, 所以 OF ? PB , 又因为 OF ? 平面 FAC ,---1 分 PB ? 平面 FAC , 所以 PB ? 平面 FAC . {说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分} (Ⅱ)法 1:因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD , 又因为 AB ? AD , PA ? AB ? A , PA, AB ? 平面 PAB , 所以 AD ? 平面 PAB , 在直角 ?PAB 中, PA ? AB ? 2 , E 为 PB 中点, 所以 S?PAE ? 1 ,
1 2 所以三棱锥 P ? EAD 的体积为 VP ? EAD ? ? S?PAE ? AD ? . 3 3
B E

P

F

A

D

O
C

法 2:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA 为棱锥 P ? ABD 的高. 因为 PA ? AB ? 2 ,底面 ABCD 是正方形,
1 1 1 4 所以 VP ? ABD ? ? S?ABD ? PA ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 3 2 3

因为 E 为 PB 中点,所以 S?PAE ? S?ABE ,
1 2 所以 VP ? EAD ? ? VP ? ABD ? . 2 3
高三文科试题 12 / 16

(Ⅲ)证明: 因为 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB , 在等腰直角 ?PAB 中, AE ? PB , 又 AE ? AD ? A , AE , AD ? 平面 EAD , 所以 PB ? 平面 EAD , 又 OF ? PB , 所以 OF ? 平面 EAD , 又 OF ? 平面 FAC , 所以平面 EAD ? 平面 FAC . 19.解: (Ⅰ)由 | AB |? 4, 得 a ? 2 . 又因为 e ?
c 1 ? , a 2

所以 c ? 1 , 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ)法 1:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ . 设点 P(4, y0 ) , M ( x1 , y1 ) , k AP ? 则
y0 y1 ? ① 6 x1 ? 4 y y0 , k MQ ? 1 , x1 ? 4 6

直线 PB 方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , 2 y0 ( x1 ? 2) ② 2

由点 M 在直线 PB 上,则 y1 ?

y0 ( x1 ? 2) y0 ? 2 ①②联立, ,显然 y0 ? 0 ,可解得 x1 ? 1 . 6 x1 ? 4
1 y2 3 又由点 M 在椭圆上, ? 1 ? 1 ,所以 y1 ? ? , 4 3 2

3 即 M (1, ? ) ,将其代入①,解得 y0 ? ?3 , 2
高三文科试题 13 / 16

所以 P(4, ?3) .

法 2:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ . 显然直线 MB 存在斜率且斜率不为 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , 设直线 MB 方程为 x ? ty ? 2 (t ? 0) .
? x ? ty ? 2 由? 2 得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 12ty ? 0 , 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ?

又因为 B(2,0) ,所以 y1 ?

?12t , 3t 2 ? 4

?6t 2 ? 8 , 3t 2 ? 4 ?6t 2 ? 8 ?12t 所以 M ( 2 , ). 3t ? 4 3t 2 ? 4 x1 ? ty1 ? 2 ?
? x ? ty ? 2 2 ,所以 P(4, ) . ? x ? 4 t ?

所以 k AP

2 1 ? t ? , 6 3t

因为 k AP

?12t 1 3 t2 ? 4 , ? kMQ ,所以 ? 2 3t ?6t ? 8 ?4 3t 2 ? 4

2 解得 t ? ? , 3

所以 P(4, ?3) . 法 3:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, k AP ? kMQ , 显然直线 AP 斜率存在,设直线 AP 方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2) 则? ,所以 y ? 6k ,所以 P(4,6k ) , ?x ? 4
又因为 B(2,0) ,所以 kPB ?
6k ? 3k . 2

? y ? 3k ( x ? 2) 所以直线 PB 方程为 y ? 3k ( x ? 2) , ? 2 , 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0
高三文科试题 14 / 16

消 y , (12k 2 ? 1) x2 ? 48k 2 x ? 48k 2 ? 4 ? 0 . 又因为 B(2,0) , 所以 2 ? x1 ? 所以 y1 ? 3k ( x1 ? 2) ? 所以 M (

48k 2 24k 2 ? 2 ,即 , x ? 1 12k 2 ? 1 12k 2 ? 1

?12k . 12k 2 ? 1

24k 2 ? 2 ?12k , ). 12k 2 ? 1 12k 2 ? 1

由 k AP

?12k 2 6k ? kMQ 可得 ? 122k ? 1 , 6 24k ? 2 ?4 12k 2 ? 1

1 解得 k ? ? , 2

3 所以 M (1, ? ) , P(4, ?3) , 2

法 4:假设存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形. 由题可知,显然 AM , PQ 不平行,所以 AP 与 MQ 平行, 所以
| BQ | | BM | | BM | 1 ? ? . ,所以 | BP | 2 | AB | | BP |

设点 M ( x1 , y1 ) , P(4, t ) . 过点 M 作 MH ? AB 于 H ,则有 所以 | BH |? 1 , 所以 H (1,0) ,所以 x1 ? 1 ,
| BH | | BM | 1 ? ? , | BQ | | BP | 2

3 代入椭圆方程,求得 y1 ? ? , 2
所以 P(4, ?3) . 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? 2 x ? a , 由已知可得 f ?(0) ? 0 , 所以 1 ? a ? 0 ,得 a ? ?1 . (Ⅱ) g ?( x) ? e x ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 , 所以 x , g ?( x) , g ( x) 的变化情况如下表所示:

x

(??,ln 2)

ln 2

(ln 2, ??)

高三文科试题 15 / 16

g ?( x) g ( x)

?

0

?




极小值

所以 g ( x) 的最小值为 g (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 1 ? 1 ? 2ln 2 . (Ⅲ)证明:显然 g ( x) ? f ?( x) 且 g (0) ? 0 , 由(Ⅱ)知, g ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2, ??) 上单调递增. 又 g (ln 2) ? 0 , g (2) ? e2 ? 5 ? 0 , 由零点存在定理,存在唯一实数 x0 ? (ln 2, ??) ,满足 g ( x0 ) ? 0 , 即 e x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 , e x0 ? 2 x0 ? 1, 综上, g ( x) ? f ?( x) 存在两个零点,分别为 0, x0 . 所以
x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增;

0 ? x ? x0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减; x ? x0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增,

所以 f (0) 是极大值, f ( x0 ) 是极小值,
1 5 f ( x0 ) ? e x0 ? x02 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? x02 ? x0 ? ? x02 ? x0 ? 1 ? ?( x0 ? )2 ? , 2 4
3 3 因为 g (1) ? e ? 3 ? 0, g ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 , 2

3 所以 x0 ? (1, ) ,所以 f ( x0 ) ? 0 , 2

因此 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 因为 f (0) ? 1且 f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增, 所以一定存在 c ? 0 满足 f (c) ? 0 , 所以存在 c ? 0 ,当 x ? c 时, f ( x) ? 0 .

高三文科试题 16 / 16


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