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1.4 两条直线的交点


1.4 两条直线的交点

我们知道,平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应,即直线上的点的坐标是这个方程的解, 反之亦成立.那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系,如果有, 是什么关系?

1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的

关系.(重点)
2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难

点)

探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x ? y ?2 l 2 : x ? y ?0
y

l1 : x ? y ? 2

2

l2 : x ? y ? 0
P (a, b)
0

2

x

思考1:两直线是什么位置关系?其交点坐标是多少? 提示:相交,交点坐标为(1,1)

思考2:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0, 若他们相交,如何求交点坐标? 提示:问题转化为二元一次方程组求解的问题;两条

直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标
是这两个方程组的唯一解;反之,如果这两个二元一

次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐
标的点,必是直线l1和l2的交点,因此求两条直线的交

点,就是求这两个直线方程的公共解.

【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
A1x+B1y+C1=0 方程组

的解 A2x+B2y+C2=0

一组

无数组

无解

两条直线l1, l2的公共点

一个

无数个

零个

直线l1, l2间的位置关系

相交

重合

平行

例1.求下列两条直线的交点:

l : x + 2 y + 1= 0,
1

l

2

: - x + 2 y + 2 = 0.

ì x + 2 y + 1 = 0, ? ? 解: 解方程组 í ? ? ? - x + 2 y + 2 = 0,
ì 1 ? ? x= . ? ? 2 得í ? 3 ? y= . ? ? 4 ? ?

所以,这两条直线的交点是

1 3 ( ,- ) 2 4

.

思考: 点(1,-1)在直线l1上吗?在直线l2上吗?
在直线l1上,不在直线l2上.

【变式练习】
求下列两条直线的交点:

5, ( 1) l1 : x ?y ?

l2 : x ? y ? 0. l2 : y ?3 x ? 7.
(2) (-2,1)

1 2, (2) l1 : y ? x ? 2
5 5 答案: (1) ( , - ) 2 2

例2.设三条直线

l : x + y - 1= 0, l
1

2

: kx - 2 y + 3 = 0,

l

3

: x - (k + 1) y - 5 = 0.

若这三条直线交于一点,求k的值.
? x ?y ? 1 ? 0, ? 解 : 解 由 l1 , l 2 的 方 程 组 成 的 方 程 组 ? 得 ? kx ?2 y ? 3 ? 0, ?

? ? 1 ? x ? , ? ? 2 ?k ? ? ? 3 ?k ? y? (k ? ? 2). ? ? ? 2 ?k

- 1 3+ k , ) 所以, l1 与 l2 的交点是 ( 2+ k 2+ k
又因为 l1 , l2 , l3 交于一点,即交点坐标满足直线 l3 的方程,

- 1 3+ k - (k + 1) - 5 = 0, 2+ k 2+ k
解得 k = - 7 或 k = - 2 (舍去) ,所以 k = - 7 .

【变式练习】
1. 三条直线 ax + 2 y + 8 = 0 , 4 x + 3 y - 10 = 0 与

-1 2 x - y - 10 = 0 相交于一点,则实数 a = ___.
2.若点(2,1)是直线 l : Ax + 4 y - 2 = 0 与
1

- 7 直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点,则 A+B=___.
2

例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组 x-2y+2=0, 2x-y-2=0, 得 x= 2, y=2.

所以l1与l2的交点坐标是(2,2). 设经过原点的直线方程为 y=k x,

把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 x-y=0.

【变式练习】 求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,

且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程. 解:解方程组 x+2y-1=0, 得 2x-y-7=0, x=3, y= -1.

所以这两条直线的交点坐标为(3,-1).
1 - 又因为直线x+3y-5=0的斜率是 3 .

所以所求直线的斜率是3. 所求直线方程为y+1=3(x-3)即3x-y-10=0.

拓展探究:过定点的直线系方程

思考1:当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0
表示什么图形?图形有何特点?

文字叙述: 取λ=0,1,…,得直线3x+4y-2=0,5x+5y=0,…方程 表示的图形为直线.作出图形可知,所有直线都过一 个定点,该点为M(-2,2),为l1:3x+4y-2=0与 l2:2x+y+2=0的交点,即此方程为过定点M(-2,2)的直 线系方程.

思考2:方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R)表
示怎样的直线?

提示:若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交于
M(x0,y0),

则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示过l1
与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2).

1. 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标. (1) l1 : 3x - 2 y = 7 (2) l1 : 2 x - 6 y + 5 = 0 (3) l1 : ( 2 - 1) x + y = 3

l2 : 7 x + y = 1
1 l2 : y = ( x + 1) 3

l2 : x + (1-

2) y = 2

9 46 ). 答案:(1) 相交 交点坐标为 ( , 17 17
(3) 垂直

(2) 平行

5 2 + 4 6+ 2 , ) 交点坐标为 ( 4 4

2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点,且平行 3x+6y-2=0 于直线x+2y-3=0的直线方程是___________.

3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标
是( A )

A.(-2,1)

B.(2,1)

C.(1,-2) D.(1,2)

4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直

线3x+y-1=0 垂直的直线方程为_______________ 5x-15y-18=0 .

5. ( 2013·四川高考)在平面直角坐标系内,到点 A(1, 2) ,
B(1,5) , C (3, 6) , D(7, ?1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是

_______。
C (3, 6) , D(7, ?1) , 【解析】 由题可知 A(1, 2) ,B(1,5) , 四边形 ABCD

对角线的交点到四点距离之和最小,直线 AC 的方程为
2x ? y ? 0 , 直线 BD 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 , 所以其交点为 (2, 4)

答案: (2, 4)

求两直线交点坐标的步骤:

首先判断两直线是否平行,若不平行,再解方
程组求其交点坐标.

不为失败找理由,要为成功找方法.


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