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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3:三角函数_图文

2013
一 选择题 文



各地高考文科数学试题分类汇编 3

角函数

1 . 2013 年高考大纲卷

已知 a 是第二象限角, sin a =

A. ?

12 13
A

B. ?

5 13
卷 文

C.

5 13

5 , 则cosa = 13 12 D. 13
大致为

答案

以 . 2013 年高考课标

函数 f ( x ) = (1 ? cos x ) sin x 在 [ ?π , π ] 的

答案

C; 函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? )(ω > 0, ?

3 . 2013 年高考四川卷 文

π
2

<? <

π
2

) 的部分 象如 所示,则 ω , ?

的值分别是

A. 2, ?
答案

π
3
A

B. 2, ?

π
6

C. 4, ?

π
6

D. 4,

π
3

4 .2013 年高考湖南 文

在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 以sinB称 3 b,则角 A 等于______

A.

π
3

B.

π
4

C.

π
6

D.

π
12

答案

A


5 . 2013 年高考福建卷

将函数 f ( x ) = sin( 2 x + θ )(?

π
2

<θ <

π
2

) 的 象向右 移 ? (? > 0) 个单位长

度后得到函数 g ( x ) 的 A.

象,若 f ( x ), g ( x ) 的 象都 过点 P (0,

3 ) ,则 ? 的值可 是 2

5π 3
B

B.

5π 6

C.

π
2

D.

π
6

答案

6 . 2013 年高考陕西卷 文

设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C + c cos B = a sin A ,

则△ABC 的形状为 A.直角 角形 答案 A

B.锐角 角形

C.钝角 角形

D. 确定

7



2013

年 高 考 辽 宁 卷



在 ?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为

1 a, b, c. a sin B cos C + c sin B cos A = b, 且a > b, 则∠B = 2 π π 2π A. B. C. 6 3 3
答案

D.

5π 6

A
卷 文

8 . 2013 年高考课标

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b称以,B称 ,C称 ,则△ABC 的



为 +以 B


A.以
答案

B.

+令

C.以

-以

D.

-令

9 . 2013 年高考江西卷

若 sin 1 3

α
2

=

3 ,则 cos α = 3
C.

A. ?

2 3
C

B. ?

1 3

D.

2 3

答案

令0. 2013 年高考山东卷



?ABC 的内角 A B C 的对边分别是 a b c ,
3 ,则 c =
C. 2 D.令

若 B = 2A , a = 1, b =
A. 2 3
答案

B.以

B
卷 文

令令. 2013 年高考课标

已知 sin以α称 ,则 cos (α+ )称



A.
答案

B.

C.

D.

A


令以. 2013 年高考广东卷

已知 sin(

A. ?

2 5
C

B. ?

1 5

5π 1 + α ) = ,那么 cos α = 2 5 1 2 C. D. 5 5

答案

令3. 2013 年高考湖北卷



将函数 y = 3 cos x + sin x ( x ∈ R ) 的 象向左 移 m ( m > 0) 个单位长度后,所

得到的 象关于 y 轴对 ,则 m 的最小值是 π π π B. C. A. 12 6 3
答案

D.

5π 6

B


令4. 2013 年高考大纲卷

若函数 y = sin (ω x + ? )(ω > 0 )的部分
C. 3 D. 2

如 ,则ω =

A. 5

B. 4

答案

B


令5. 2013 年高考天津卷

π? ? ? π? 函数 f ( x) = sin ? 2 x ? ? 在区间 ? 0, ? 4? ? ? 2?
2 2 C. 2 2

的最小值是

A. ?1
答案

B. ?

D.0

B 设 ?ABC 的内角 A, B , C 所对边的长分别为 a , b, c ,若 b + c = 2 a ,3sin A = 5sin B ,

令6. 2013 年高考安徽 文

则角 C 称
A.

π
3
B

B.

2π 3

C.

3π 4

D.

5π 6

答案

令7 .

2013 年 高 考 课 标





已 知 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B , C 的 对 边 分 别 为

a, b, c , 23cos 2 A + cos 2 A = 0 , a = 7 , c = 6 ,则 b =
A. 10
答案

B. 9

C. 8

D. 5




令8. 2013 年高考浙江卷

函数 f(x)称sin xcos x+

3 cos 以x 的最小 周期和振幅分别是 以

A.π,令
答案

B.π,以

C.以π ,令

D.以π,以

A


令9. 2013 年高考北京卷

在△ABC 中, a = 3, b = 5 , sin A =

1 ,则 sin B = 3
D.令

A.

1 5
B

B.

5 9

C.

5 3

答案

以0. 2013 年高考山东卷



函数 y = x cos x + sin x 的

象大致为

答案 二 填空题



以令. 2013 年高考四川卷 答案



设 sin 2α = ? sin α , α ∈ (

π
2

, π ) , 则 tan 2α 的值是________.

3
卷 文

以以. 2013 年高考课标

函数 y = cos(2 x + ? )( ?π ≤ ? < π ) 的

向右



π
2

个单位后,

函数

y = sin(2 x + ) 的 3 5π 答案 6
以3. 2013 年上海高考

π

重合,则 | ? |= ___________.与来源:学Ⅰ科Ⅰ网]

学试题

文科

已知 ?ABC 的内角 A

B

C 所对的边分别是 a , b , c .若

a 2 + ab + b 2 ? c 2 = 0 ,则角 C 的大小是________(结果用反 角函数值表示).与来源:学科网]
答案

2π 3
学试题 文科

以4. 2013 年上海高考 答案

若 cos x cos y + sin x sin y =

1 ,则 cos ( 2 x ? 2 y ) = ________. 3

?

7 9
卷 文

以5. 2013 年高考课标

设当 x = θ 时,函数 f ( x ) = sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos θ = ______.

答案

?

2 5 ; 5

以6. 2013 年高考江西卷



设 f(x)称

sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范

围是_____._____
答案 解答题 以7. 2013 年高考大纲卷 文

a≥2
设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a + b + c )( a ? b + c ) = ac .

(I)求 B (II)若 sin A sin C =
答案

3 ?1 ,求 C . 4

(

)因为 (a + b + c )( a ? b + c ) = ac ,



a 2 + c 2 ? b 2 = ?ac . a2 + c2 ? b2 1 =? , 2ac 2

由余弦定理得, cos B = , B = 120 .
0

因 (

)由(

)知 A + C = 60 ,所
0

cos( A ? C ) = cos A cos C + sin A sin C

= cos A cos C ? sin A sin C + 2 sin A sin C = cos( A + C ) + 2 sin A sin C =
1 3 ?1 + 2× 2 4 3 , 2
0 0

=

故 A ? C = 30 或 A ? C = ?30 , 因 , C = 15 或 C = 45 .
0 0

以8. 2013 年高考湖南



已知函数 f(x)称

2π ) 的值; 3 1 (以) 求使 f ( x ) < 成立的 x 的取值集合 4
(令) 求 f (
答案

解: (令) f ( x ) = cos x ? (cos x ? cos

π

π 1 3 1 1 + sin x ? sin ) = (sin 2 x ? + cos 2 x ? ) + 3 3 2 2 2 4

=

1 π 1 2π 1 3π 1 1 sin( 2 x + ) + ? f ( ) = sin + = ? .所 2 6 4 3 2 2 4 4

f(

2π 1 ) == ? . 3 4

(以)由(令)知, 与来源:学|科|网 不|X|X|图]

1 π 1 1 π π sin( 2 x + ) + < ? sin( 2 x + ) < 0 ? (2 x + ) ∈ (2kπ ? π ,2kπ ) 2 6 4 4 6 6 7π π 7π π ? x ∈ (kπ ? , kπ ? ), k ∈ Z .所 等式的解集是 (kπ ? , kπ ? ), k ∈ Z . 12 12 12 12 f ( x) =
以9. 2013 年高考天津卷 文

在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A = 3c sin B , a

称 3, cos B = ( (

2 . 3

) 求 b 的值;

π? ? ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?
答案

30. 2013 年高考广东卷



已知函数 f ( x ) =

π ? ? 2 cos ? x ? ? , x ∈ R . 12 ? ?

(令) 求 f ?

?π ? ? 的值; ?3?

(以) 若 cos θ =

3 ? 3π ? , θ ∈ ? , 2π ? ,求 5 ? 2 ?

π? ? f ?θ ? ? . 6? ?

?π ? ?π π ? ?π ? f ? ? = 2 cos ? ? ? = 2 cos ? ? = 1 ? 3 12 ? ?4? 答案 (令) ? 3 ?
(以)Q cos θ =

4 3 ? 3π ? , θ ∈ ? , 2π ? , sin θ = ? 1 ? cos 2 θ = ? , 5 5 ? 2 ?

π? π? π π? 1 ? ? ? ∴ f ? θ ? ? = 2 cos ? θ ? ? = 2 ? cos θ cos + sin θ sin ? = ? . 与来源:学科网] 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
3令. 2013 年高考山东卷 文

设函数 f ( x ) =

3 ? 3 sin 2 ω x ? sin ω x cos ω x (ω > 0) ,且 y = f ( x ) 的 2

象的一个对 中心到最近的对 轴的距离为 ( ( )求 ω 的值 )求 f ( x ) 在区间 [π ,
答案

π
4

,

3π ] 2

的最大值和最小值

3以. 2013 年高考浙江卷



在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 以asinB称 3b . ( )求角 A 的大小; ( ) 若 a称6,b+c称8,求△ABC 的面

.

答案 解:(

)由已知得到: 2sin

π 3 A sin B = 3 sin B ,且 B ∈ (0, ) ∴ sin B ≠ 0 ∴ sin A = , 2 2

且 A ∈ (0,

π
2

)∴ A =

π
3

;

(

)由(令)知 cos A =

1 ,由已知得到: 2 1 28 ? (b + c) 2 ? 3bc = 36 ? 64 ? 3bc = 36 ? bc = , 2 3

36 = b 2 + c 2 ? 2bc × S? ABC =



1 28 3 7 × × = 3; 2 3 2 3


33. 2013 年高考福建卷



,在等腰直角 角形 ?OPQ 中, ∠OPQ = 90o , OP = 2 2 ,点 M 在线段

PQ

.

(令)若 OM =

3 ,求 PM 的长;
,且 ∠MON = 30o ,问:当 ∠POM 取何值时, ?OMN 的面 最小?并求出面

(以)若点 N 在线段 MQ 的最小 值.

答案

解:(

)在 ?OMP 中, ∠OPM = 45° , OM =

5 , OP = 2 2 ,

2 2 2 由余弦定理得, OM = OP + MP ? 2 × OP × MP × cos 45° ,

得 MP ? 4 MP + 3 = 0 ,
2

解得 MP = 1 或 MP = 3 . ( )设 ∠POM = α , 0° ≤ α ≤ 60° , 在 ?OMP 中,由 弦定理,得 所

OM OP , = sin ∠OPM sin ∠OMP

OM =

OP sin 45° , sin ( 45° + α ) OP sin 45° sin ( 75° + α )
1 × OM × ON × sin ∠MON 2

同理 ON =

故 S ?OMN =

1 OP 2 sin 2 45° = × 4 sin ( 45° + α ) sin ( 75° + α )

=

1 sin ( 45° + α ) sin ( 45° + α + 30° )
1 ? 3 ? 1 sin ( 45° + α ) ? sin ( 45° + α ) + cos ( 45° + α ) ? 2 ? 2 ? 1 3 2 1 sin ( 45° + α ) + sin ( 45° + α ) cos ( 45° + α ) 2 2 1 3 1 1 ? cos ( 90° + 2α ) ? ? + sin ( 90° + 2α ) ? ? 4 4 1 3 3 1 sin 2α + cos 2α + 4 4 4 1 3 1 + sin ( 2α + 30° ) 4 2
当 α = 30° 时 , sin ( 2α + 30° ) 的 最 大 值 为 1 , 时

=

=

=

=

=

因 为 0° ≤ α ≤ 60° , 30° ≤ 2α + 30° ≤ 150° , 所

?OMN 的面 取到最小值.即 以 ∠POM = 30° 时, ?OMN 的面 的最小值为 8 ? 4 3 .
34. 2013 年高考陕西卷 文

已知向

1 a = (cos x, ? ), b = ( 3 sin x, cos 2 x ), x ∈ R , 设函数 f ( x ) = a·b . 2

( (

) 求 f (x)的最小 周期. ? π? ) 求 f (x) 在 ? 0, ? 的最大值和最小值. ? 2?
答案

(

) f ( x ) = a·b 称 cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 π cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小 周期 T =

2π = π . 与来源:学 科 网 不 X X 图] 2



f ( x) = sin(2 x ? ), 最小 周期为 π . 与来源:学,科,网 不,X,X,图] 6
) 当x ∈ [0,

π

(

π

π π 5π π 5π ]时, (2 x ? ) ∈ [- , ],由标准函数y = sin x在[- , ] 的 2 6 6 6 6 6

知, .

π π π 1 f ( x) = sin(2 x ? ) ∈ [ f (- ), f ( )] = [? ,1] . 6 6 2 2

? π? ,f (x) 在 ? 0, ? ? 2?


的最大值和最小值分别为 1,?

1 . 2
)小问 9 分)

35. 2013 年高考重庆卷

(本小题满分 令3 分,( )小问 4 分,(

在△ ABC 中,内角 A ( ( )求 A ; )设 a =

B

C 的对边分别是 a

b

c ,且 a 2 = b 2 + c 2 + 3ab .

3 , S 为△ ABC 的面 ,求 S + 3 cos B cos C 的最大值,并指出 时 B 的值.

答案

36. 2013 年高考四川卷



在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A + c ) = ? . 5
( ( )求 sin A 的值; )若 a = 4 2 , b = 5 ,求向
答案

r uuu r uuu BA 在 BC 方向 的投影.
3 得 5

解:(

)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A + c ) = ?

3 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B = ? , 5 3 3 则 cos( A ? B + B ) = ? ,即 cos A = ? 5 5

又 0 < A < π ,则 sin A = ( )由 弦定理,有

4 5

a b = ,所 sin A sin B

sin B =

b sin A 2 , = a 2

由题知 a > b ,则 A > B ,故 B =

π
4

.

3 根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 = 5 2 + c 2 ? 2 × 5c × (? ) , 5 解得 c = 1 或 c = ?7 (负值舍去),


r uuu r uuu BA 在 BC 方向 的投影为 BA cos B =

2 2

与来源:学科网]

37.2013 年高考江西卷 文

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos以B称令.与来

源:学,科,网 不,X,X,图] (令)求证:a,b,c 成等差数列;(以) 若 C称
答案

2π 3

,求

a 的值. b
以 以

解:(令)由已知得 sinAsinB+sinBsinC+令-以sin B称令.故 sinAsinB+sinBsinC称以sin B 因为 sinB 为 0 ,所 sinA+sinC称以sinB 再由 弦定理得 a+c称以b,所 a,b,c 成等差数列 (以)由余弦定理知 c = a + b ? 2ac cos C 得 (2b ? a ) = a + b ? 2ac cos
2 2 2 2 2 2

2π a 3 化简得 = 3 b 5

38 . 2013 年 高 考 湖 北 卷



在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知

cos 2 A ? 3cos( B + C ) = 1 .

(

)求角 A 的大小;

( )若△ ABC 的面

S = 5 3 , b = 5 ,求 sin B sin C 的值.

答案

(

)由 cos 2 A ? 3cos( B + C ) = 1 ,得 2 cos 2 A + 3cos A ? 2 = 0 ,
1 或 cos A = ?2 (舍 去). 2

即 (2 cos A ? 1)(cos A + 2) = 0 ,解得 cos A = 因为 0 < A < π ,所 (
A= π . 3

1 1 3 3 )由 S = bc sin A = bc ? = bc = 5 3, 得 bc = 20 . 又 b = 5 ,知 c = 4 . 2 2 2 4

由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 25 + 16 ? 20 = 21, 故 a = 21 . 又由 弦定理得 sin B sin C =
b c bc 20 3 5 sin A ? sin A = 2 sin 2 A = × = . 21 4 7 a a a

39. 2013 年高考安徽



设函数 f ( x ) = sin x + sin( x +

π
3

).

( (

)求 f ( x ) 的最小值,并求使 f ( x ) 取得最小值的 x 的集合; ) 画 ,说 明函数 y = f ( x ) 的 可由 y = sin x 的 象 过怎样的变化得到.

答案

解:(令) f ( x ) = sin x + sin x cos

π
3

+ cos x sin

π
3

1 3 3 3 = sin x + sin x + cos x = sin x + cos x 2 2 2 2

π π 3 3 = ( ) 2 + ( ) 2 sin( x + ) = 3 sin( x + ) 2 6 6 2
当 sin( x +

3π 4π + 2kπ ,∴ x = + 2kπ , (k ∈ Z ) 6 6 2 3 4π 所 , f ( x ) 的最小值为 ? 3 , 时 x 的集合 {x | x = + 2kπ , k ∈ Z } . 3

π

) = ?1 时, f ( x) min = ? 3 , 时 x +

π

=

(以) y = sin x 横坐标 变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y = 然后 y =

3 sin x ;

3 sin x 向左 移


π
6

个单位,得 f ( x) = 3 sin( x +
2

π
6

) 1 cos 4 x . 2

40. 2013年高考北京卷

已知函数 f x = (2 cos x ? 1) sin 2 x +

(I)求 f x 的最小 周期及最大值;

(II)若 α ∈ (
答案

π
2

, π ) ,且 f α =

2 ,求 α 的值. 2
2

解:(I)因为 f x = (2 cos x ? 1) sin 2 x +

1 1 cos 4 x 称 cos 2 x sin 2 x + cos 4 x 2 2



1 2 π (sin 4 x + cos 4 x) 称 sin(4 x + ) ,所 2 2 4

f ( x) 的最小 周期为

π
2

,最大值为

2 . 2

(II)因为 f α = 所

2 π ,所 sin(4α + ) = 1 . 2 4 4α +

因为 α ∈ (

π
2

, π ) , 与来源:学#科#网 不#X#X#图]

4α +

π
4

∈(

9π 17π , ) ,所 4 4
学试题 文科

π
4

=

5π 9π ,故 α = . 2 16

4令. 2013 年上海高考

本题共有 以 个小题.第 令 小题满分 6 分,第 以 小题满分 8 分.

已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x ) ,其中常数 ω > 0 .

π ω = 1 ,判断函数 F ( x) = f ( x) + f ( x + ) 的奇偶性并说明理由; 2 π (以) ω = 2 ,将函数 y = f ( x) 的 向左 移 个单位,再往 移 1 个单位,得到函数 y = g ( x ) 的 6
(令) .对任意的 a ∈ R ,求 y = g ( x ) 在区间 [ a, a + 10π ] 零点个数的所有可能值.

答案

法一:解:(令) F ( x ) = 2sin x + 2 sin( x +

π

) = 2 sin x + 2 cos x = 2 2 sin( x + ) 2 4

π

F ( x) 是非奇函数非偶函数. F (? ) = 0, F ( ) = 2 2 , 4 4
函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( x +

π

π

π
2

F (? ) ≠ F ( ), F (? ) ≠ ? F ( ) 4 4 4 4 ) 是既 是奇函数也 是偶函数.

π

π

π

π

(以) ω = 2 时, f ( x ) = 2 sin 2 x , g ( x ) = 2 sin 2( x + 其最小 周期 T = π 由 2 sin(2 x +

π

) + 1 = 2sin(2 x + ) + 1 , 6 3

π

π 1 ) + 1 = 0 ,得 sin(2 x + ) = ? , 与来源:学,科,网] 3 3 2 π π kπ π π 2 x + = kπ ? (?1) k ? , k ∈ Z ,即 x = ? (?1) k ? ? , k ∈ Z 3 6 2 12 6

π

区间 [ a, a + 10π ] 的长度为 令0 个周期, 若零点 在区间的端点,则 个周期有 以 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 以 个零点; 故当 a = 法二:

kπ π π ? (?1) k ? ? , k ∈ Z 时,以令 个,否则 以0 个. 2 12 6

4以. 2013 年高考辽宁卷



设向

a=

(

? π? 3 sin x, sin x , b = ( cos x,sinx ) , x ∈ ?0, ? . ? 2?

)

(I)若 a = b .求x的值

(II)设函数 f ( x ) = a? b, 求f ( x )的最大值.

答案


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