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浙江省深化课程改革协作校 2015届11月期中联考


浙江省深化课程改革协作校 2015 届 11 月期中联考

文科数学试题卷
1.设集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0}, B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( ▲ ) A. R B. (?1,3] C. [?2,?1) D. [?2,4]

2.已知函数 f ( x) ? A cos(x ? ? )( A ? 0, ? ? R) ,则“ f ( x) 是偶函数”是“ ? ? ? ”的( ▲ ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ▲ )

? 3 C. ?
A.

2? 3 D. 2?
B.

4.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 2) 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像上所有的点( ▲ ) A.向左平行移动 2 个单位长度 C.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 2 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中为假 命题的是( ▲ ) .



m ? n? ?? m ?? n ???



a ?? ? ? ?? ? ? a ? ??

m ??? ③ ? ? m // n n ?? ?
A.①和②

m ??? ? ④ n ? ? ? ? m // n ? // ? ? ?
B.②和③ C.③和④ D.①和④

1 6.函数 f ( x) ? ln x ? ? 1 的零点个数为( ▲ ) x
A.0 B.1 C.2 D. 3 7.设等差数列 {an } 的公差为 d . 若数列 {a1an } 为递增数列,则( ▲ ) A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2 A. 2

1? x 1 1 ? 1 ,则 f ( ) ? f (? ) 的值为( ▲ ) 1? x 2 2
C. 0 D. 2 log 2

B. ? 2

1 3

9.已知 A, B, C 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上任意的不同三点,若 OA ? 3OB ? xOC ,则正实数 x 的取值范围为( ▲ ) A. (0,2) B. ( 2,4) C. (1,4) D. (2,3)

10. 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,PA ? 底面 ABCD ,PA ? AC , M 是棱 PC 上一点, 则当 ?MBD 的面积为最小值时,直线 AC 与平面 MBD 所成的角为( ▲ )
[来源:学*科*网]

? ? ? ? B. C. D. 6 4 3 2 ? ? ? ? 11. sin 47 cos17 ? cos 47 cos73 ? ____▲____. ?10? x ( x ? 0) 1 12.设 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( )] ? ____▲____. 10 ?lg x ( x ? 0) 13.已知公比不为 1 的等比数列 {an } ,若 a7 , a1 , a4 成等差数列,则数列 {an } 的公比是_▲ _.
A. 14. 若函数 y ?

3 的图像与直线 y ? x ? b 交于 A 、 B 两点,则当线段 AB 的长度取得最小值时, x

b ? ____▲____. 15.已知函数 f ( x) ? x | 2 x ? a | (a ? 0) 在区间 [2,4] 上单调递减,则实数 a 的值是__▲__.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 16.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 y ? mx ? 2 恒成立,则实数 m 的取值范围为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
____▲____. 17.已知实数 a , b 满足 ab ? 1 ,且 a ? b ?

a?b 2 ,则 2 的最大值为____▲____. 3 a ? b2

18. (本小题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 sin B ? 2 sin(

? ? ? B) sin( ? B) 4 4

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

19. (本小题满分 14 分)数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 4n ? 3 (n ? N ? ) . (Ⅰ)若 ?an ? 是等差数列,求其通项公式; (Ⅱ)若 ?an ? 满足 a1 ? 2 , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,求 S 2 n ?1 .

[来源:Zxxk.Com]

20 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 , 底 面 ?A B C为 正 三 角 形 , AA 1 ? 平 面

ABC , BC ? 2BB1 ? 2 2 , O 为 BC 中点.
(Ⅰ)求证: A1 B // 平面 AOC1 ;
[来源:Z_xx_k.Com]

(Ⅱ)求直线 AC 与平面 AOC1 所成角的正弦值.

21. (本小题满分 15 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 Q 是抛物线 C 上一点且 Q 的纵坐标为 4, 点 Q 到焦点 F 的距离为 5. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)已知 p ? 8 ,过点 M (5, ?2) 任作一条直线与抛物线 C 相交于点 A, B ,试问在抛物线 C 上是否存在点 E , 使得 EA ? EB 总成立?若存在,求出点 E 的坐标,若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x2 ? px ? q( p, q ? R) . (Ⅰ)若 p ? 2 ,当 x ? [?4,?2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 q 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解,试求所有的实数对 ( p, q).

浙江省深化课程改革协作校 2015 届 11 月期中联考 文科数学答案:
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 D
[来源:学&科&网]

6 B

7 D

8 A

9 B

10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.

1 ; 2

12.10; 16. ? 1 ? m ? 2

13. ? 3 2 ; 17.

14. 0

15. 8 ;

30 97

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.解: (Ⅰ)

2 2 2 2 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) ? cos2 B ? sin 2 B 2 2 2 2 1 2 所以 2 sin B ? sin B ? 1 ? 0 ,解得 sin B ? 或 sin B ? ?1 ??(5 分) 2 ? 又因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 B ? . ??(7 分) 6 2 2 2 (Ⅱ)当 b ? 1 时,由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B ,代入可以得到: ??(10 分) a 2 ? c 2 ? 3ac ? 1 ? (2 ? 3)ac,所以 ac ? 2 ? 3.
由条件 sin B ? 2( 所以 S ?ABC ?

1 1 2? 3 ac sin B ? ac ? , 2 4 4
2? 3 .

??(13 分) ??(14 分)

等号当且仅当 a ? c ?

19.解: (I)由题意得 a n?1 ? a n ? 4n ? 3 ?①

an? 2 ? an?1 ? 4n ? 1 ?②??(2 分)
??(4 分) ??(7 分) ??(8 分)

②-①得 a n? 2 ? a n ? 4 ,∵{ a n }是等差数列,设公差为 d,∴d=2, ∵ a1 ? a 2 ? 1 ∴ a1 ? a1 ? d ? 1 ,∴ a 1 ? ?

1 5 ,∴ a n ? 2n ? 2 2

(Ⅱ)∵ a1 ? 2 , a1 ? a 2 ? 1 ,∴ a 2 ? ?1 ∴ a 2 n?1 ? 4n ? 2 , a 2 n ? 4n ? 5

又∵ a n? 2 ? a n ? 4 ,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为 4 ??(11 分) ??(12 分) ??(14 分)

S 2n?1 ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n )
= ( n ? 1) ? 2 ?

( n ? 1)n n( n ? 1) ? 4 ? n ? ( ?1) ? ? 4 = 4n 2 ? n ? 2 2 2

20.证明: (Ⅰ)连结 A1 C ,交 AC 1 于 D ,连 OD

[来源:学科网 ZXXK]

则 D 为 A1 C 的中点,又 O 为 BC 的中点 ∴ A1 B // OD 又 A1 B ? 面 AOC 1 , OD ? 面 AOC 1 ,∴ A1 B // 面 AOC 1 (Ⅱ)连结 B1 C ,交 OC 1 于 E ,连 AE

??(5 分) ??(7 分)

∵ BC ? 2 BB1 ,∴

CC 1 OC 2 ? ? ,∴ Rt?OCC 1 ∽ Rt?CC 1 B1 CC 1 2 B1C 1

∴ ?C 1OC ? ?B1CC 1 , ?C1OC ? ?ECO ? ?C1OC ? ?B1CC1 ? 90? ∴ OC 1 ? B1C 又 AO ? 面 BCC 1 B1 ∴ ? CAE 即为直线 AC 与面 AOC 1 所成的角 OC ? CC 1 2 ? 又 OC ? 2 , CC1 ? 2 ,∴ OC 1 ? 6 , CE ? , OC 1 3 2 CE 6 3 即为所求 sin ?CAE ? ? ? CA 2 2 6 ??(10 分) ∴ AO ? B1 C ,又 AO ? OC 1 ? O ,∴ B1C ? 面 AOC 1 ??(12 分)

??(14 分)

21 . 解 : ( I ) 由 题 意 有 Q( 8 , 4 ) , 则 有 QF ? 8 ? p ? 5 , p ? 2, 或 p=8 , 所 以 , 抛 物 线 方 程 为 p p 2

y 2 ? 4x, y 2 ? 16x
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , E( x0 , y0 ) , 则有 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 ,

??(5 分)

p ? 8 ,? y 2 ? 4 x .假设在抛物线 C 上存在点 E ,使得 EA ? EB 总成立.

2 2 2 2 即 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 ,又 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 0 16

2 得 ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? 16 ? 0 ,即 y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ?16 ? 0 ……①

……9 分

设直线方程为 x? m , 代 入 y ? 4 x 中 , 有 y ? 4 m y? 8 m? 2 0 ? 0 , 从 而 y1 ? y2 ? 4m 且 ( y? 2 ) ? 5
2 2
2 2 y1 y2 ? ?8m ? 20 ,代入①中得: (4 y0 ? 8)m ? y0 ? 4 ? 0 对于 m ? R 恒成立,故 4 y0 ? 8 ? 0 且 y0 ? 4 ? 0 ,解

得 y0 ? 2 ,得 E (1, 2)

??(14 分)

若直线过点 (1, 2) ,结论显然成立 所以,在抛物线 C 上存在点 E (1, 2) ,使得 EA ? EB ? 0 总成立 ??(15 分)

2 22. 解: (Ⅰ)解: (I)当 p ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? q ? 0 恒成立,

只需 f ( x) min ? 0 易知 f ( x) ? x ? 2 x ? q 在 x ? [?4,?2] 时单调递减,
2

? ?(3 分) ??(5 分) ??(7 分)

所以 f ( x) min ? f (?2) ? q ,即 q ? 0 (Ⅱ)要使 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解,必须满足 ? 即 ? 2 ? p ? q ? 1,?2 ? 5 p ? q ? 25 ? 2 ;

?? 2 ? f (1) ? 2 , ?? 2 ? f (5) ? 2

所以 ? 3 ? p ? q ? 1 ,即 ? 1 ? ? p ? q ? 3 ,又 ? 27 ? 5 p ? q ? ?23 两式相加可以得到: ? 7 ? p ? ?5 . ? ?(9 分)

f ( x) 的对称轴为 x ? ?
因为 ?

p p ,最小值为 f (? ) ; 2 2

p 5 7 ? [ , ] ,则 f ( x) 的对称轴在区间 [1,5] 内,要使 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解, 2 2 2 p 4q ? p 2 p2 ? ?2 ,可以得到 q ? ? 2 . ??(11 分) 还要满足 f (? ) ? ?2 ,即 2 4 4 ? ?? 3 ? p ? q ? 1 ? 解不等式组: ?? 27 ? 5 p ? q ? ?23, ??(13 分) ? 2 ?q ? p ? 2 4 ?
可以解得: p ? ?6 ,代入不等 式组,得到 q ? 7 . 所以满足题意的是实数对 ( p, q) 只有一对: (?6,7) . ??(15 分)


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