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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.23)理数试题Word版含答案.doc


高三数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.如果复数 A.-2

2 ? ai ? a ? R ? 为纯虚数,则 a ? ( 1? i
B.0 C.1
x

) .

D.2

2.若集合 A ? x |1 ? 2 ? 8 , B ? x | log 2 x ? x ? 1 ,则 A ? B ? (
2

?

?

?

?

? ?

) .

A.

? 2,3?

B. ? 2,3?

C. ? ??,0? ? ? 0,2?

D. ? ??, ?1? ? ?0,3? ) .

3.某流程图如图所示,现输入四个函数,则可以输出的函数是(

A. f ? x ? ? x tan x

B. f ? x ? ? xe

x

C. f ? x ? ? x ? 2ln x

D. f ? x ? ? x ? sin x

4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织, 日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺 数为( A.8 ) . B.9 C.10 D.11 ) .

5.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(

A. 6 ? 2 2 ? 6 6.已知下列四个关系:

B. 6 ? 2 2

C.3

D.

8 3

① a ? b ? ac ? bc ;② a ? b ?
2 2

1 1 a b ? ;③ a ? b ? 0, c ? d ? ? ;④ a b d c
) . D.4 个

a ? b ? 1, c ? 0 ? ae ? be .其中正确的有(
A.1 个 B.2 个 C.3 个

7.若数列 ?an ? 满足

?1? 1 2 ,已知正项数列 ? ? 为“梦想 ? ? 0 ,则称 ?an ? 为“梦想数列” an?1 an ? bn ?
) . D.64 ) .

数列” ,且 b1 ? b2 ? b3 ? 1 ,则 b6 ? b7 ? b8 ? ( A.4 B.16 C.32

8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作直线 l 与其交于 A, B 两点,若 AF ? 4 ,则 BF ?( A.2 B.

4 3

C.

2 3

D.1

x?0 ? 2x ? y ? 2 ? y?x 9.已知实数 x, y 满足 ? ,则 的最小值为( x ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
A.1 B.3 C.4 D.6

) .

10.设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? 3 cos ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的最小正周期为 ? ,且 2?

f ? ?x ? ? f ? x ? ,则(
A. f ? x ? 在 ? 0,

) . B. f ? x ? 在 ?

? ?

??

? 单调递减 2?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

C. f ? x ? 在 ? 0,

? ?

??

? 单调递增 2?

D. f ? x ? 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

11.已知 A, B 是单位圆上的两点, O 为圆心,且 ?AOB ? 1200 , MN 是圆 O 的一条直径,点

???? ??? ? ??? ? ???? ? ???? C 在圆内,且满足 OC ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ? ? ? R ? ,则 CM ? CN 的最小值为(
A. ?

) .

1 2

B. ?

1 4

C. ?

3 4

D.-1

12.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别满足 f ? x ? ?

f ? ?1? 2 x ?2 ? e ? x 2 ? 2 f ? 0 ??x , 2

g? ? x ? ? 2g ? x ? ? 0 ,则下列不等式成立的是(
A. f ? 2??g ? 2015? ? g ? 2017? C. g ? 2015? ? f ? 2??g ? 2017?

) .

B. f ? 2??g ? 2015? ? g ? 2017? D. g ? 2015? ? f ? 2??g ? 2017?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. ) 13.

?

1

?1

?x ?
2

1 ? x2 dx ? ____________.

?

14.把 3 个不同的球放入 3 个不同的盒子中,恰有一个空盒的概率是____________. 15.二次项

?

x ? 3 x 展开式中的有理项的系数和为____________.

?

9

x ? ? e ,x ?0 16.已知实数 f ? x ? ? ? ,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? f ? x ? ? t ? 0 有三个不同的 ? ?lg ? ? x ? , x ? 0

实根,则 t 的取值范围为____________. 三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b sin C (1)求 的值; sin A

(2)若 cos B ?

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4

18.(本小题满分 12 分)空气质量指数( Air Quality Index ,简称 AQI )是定量描述空气

0 ? 50 为优; 51 ? 100 为良; 100 ? 151 质量状况的指数, 空气质量按照 AQI 大小分为六级:
为轻度污染;151 ? 200 为中度污染; 201 ? 300 为重度污染; ? 300 为严重污染.一环保人 士记录去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如下.

(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良( AQI ? 100 )的天数; (按这个月总共 30 天 计算) (2)将频率视为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ? ,求 ? 的概率 分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC, ?ACD 与

?ACB 都是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2, BE 与平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在
平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上.

(1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : (0,3).

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2,离心率为 , y 轴上一点 Q 的坐标为 2 a b 2

(1)求该椭圆的方程; (2)若对于直线 l : y ? x ? m ,椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称,且

??? ? ??? ? 3QA? QB ? 32 ,求实数 m 的取值范围.
21.(本小题满分 12 分)已知 p ? ? x, m ? , q ? ? x ? a,1? ,二次函数 f ? x ? ? p ?q ? 1 ,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ?1? x ?1 ? m2 的解集为 ? ??, m? ? ? m ? 1, ??? ,其中 m 为非零常数, 设 g ? x? ?

? ?

?

? ? ?

f ? x? . x ?1

(1)求 a 的值; (2)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数,? ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x 的图象相切,且切点的 横坐标 x0 满足 x0 ?1 ? x0 ? 3 ,求实数 m 的取值范围; (3)当实数 k 取何值时,函数 ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ?1? 存在极值?并求出相应的极值点. 请考生在 22、23 中任选一题作答.注意:只能做选定的题目,如果多做,则按所做的第一题 记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0,? ??0,2? ? .
2

(1)求 C1 的直角坐标方程;

? ? x ? t cos ? ? 6 (2)曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求 C1 与 C2 的公共点的极坐标. ? y ? t sin ? ? 6 ?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立. (1)求满足条件的实数 t 的集合 T ; (2)若 m ? 1, n ? 1 ,对 ?t ? T ,不等式 log3 m? log3 n ? t 恒成立,求 m ? n 的最小值.

参考答案 一、 题号 答案 二、 13. 1 D 2 A 3 D 选择题 4 B 填空题 14. 5 D 6 B 7 C 8 B 9 C 10 C 11 C 12 D

2 ? ? 3 2

2 3

15. -85 16.

? ??, ?2?

三、解答题

2c ? a 2sinC? sinA ? , b sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? 所以 , cos B sin B
17.解: (1)由正弦定理,得 即 ? cos A ? 2cosC? sin B ? ? 2sin C ? sin A? cos B ,

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 及 cos B ?
2 2 2

1 1 , b ? 2 ,得 4 ? a 2 +4a 2 ? 4a 2 ? ,解得 4 4

a ? 1 ,从而 c ? 2 .
又因为 cos B ?

1 15 ,且 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? . 4 4

因此 S ?

1 1 15 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ac sin B ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4

18.解: (1) *30 ? 18

3 5

……………………4 分

(2)由(1)估计某天气质量优良的概率为

3 , 5

? 的所有可能取值为 0,1,2,3.
8 36 ?2? ? 3 ? 2 54 1 3? 2? P ?? ? 0 ? ? ? ? ? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? 125 ? 5 ? 125 ? 5 ? 5 125 27 ? 3? , P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 5 ? 125
故 ? 的分布列为:
3 3 2 2

?
P

0

1

3

4

8 125

36 125

54 125

27 125

显然 ? ? B ? 3, ? , E ? ? 3 ?

? 3? ? 5?

3 . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? 1.8 . 5

19.试题解析: (1) 由题意知 ?ABC、?ACD 为边长 2 的等边 ? 取 AC 的中点 O , 连接 BO , 则 BO ? AC , DO ? AC ,又平面 ACD ? 平面 ABC ,∴ DO ? 平面 ABC ,作 EF ? 平面 ABC ,那么 EF / / DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上,∵ BE 和平面 ABC 所成 的角为 60°,∴ ?EBF ? 60 ,
0

∵ BE ? 2 ,∴ EF ? DO ? 3 ,∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE / / OF . ∴ DE ? 平面 ABC , OF ? 平面 ABC ,∴ DE / / 平面 ABC . . . . . . . . . . . . . . .4 分 (2)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E 0, 3 ? 1, 3 ,∴

?

?

?

?

??? ? BC ? ?1, ? 3, 0 ,

?

?

∴ BE ? 0, ?1, 3 ,平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? ? 0, 0,1? .

??? ?

?

?

??

?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?n2 ?BC ? 0 ? ?x ? 3 ? 0 ? ??? ? 设平面 BCE 的法向量 n2 ? ? x, y , z ? ,则 ? ?? ,∴ ? ,取 z ? 1 ,∴ ? ? ? n2 ?BE ? 0 ?? y ? 3 z ? 0 ?? ? n2 ? ?3, 3,1 ,

?

?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 13 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ,又由图知,所求二面角的平面角是锐角, ? ? 13 n1 ?n2
二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 13 c 2 ,所以 a ? 2, b ? 1, ? a 2

20.试题解析: (1)由题意可知: c ? 1,

x2 ? y 2 ? 1. 所以所求的椭圆的方程为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 2
(2)由题意设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 AB 方程为: y ? ? x ? n .

? y ? ?x ? n ? 2 2 联立 ? x 2 ,消 y 整理可得: 3x ? 4nx ? 2n ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 2 由 ? ? ?4n ? 12 2n ? 2 ? 24 ? 8n ? 0 ,解得 ? 3 ? n ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

?

?

?

?

x1 ? x2 ?

4n 2n 2 ? 3 , x1 x2 ? , 3 3

x1 ? x2 2n ? , 2 3 2n n ?n? , 由点 P 在直线 AB 上得: y0 ? ? 3 3 n 2n ? m ,所以 又点 P 在直线 l 上, ? 3 3
设直线 AB 之中点为 P ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

n ? 3 3? m ? ? ?? ? , . . . . . . . . . . . .①. . . . . . . . . . . . .8 分 ? ?. 3 ? ? 3 3 ? ??? ? ??? ? 又 QA ? ? x1 , y1 , ?3? , QB ? ? x2 , y2 , ?3 ? ,
QB ? ∴ QA? ??? ? ??? ? 32 32 32 ? ? x1 , y1 , ?3?? ? x2 , y2 , ?3? ? ? x1 x2 ? ? y1 ? 3?? y2 ? 3? ? 3 3 3

? n 2 ? 2n ? 3 ? 9m 2 ? 6m ? 3 ? 3 ? 3m ? 1?? m ? 1? ? 0
解得: ?1 ? m ?

1 . . . . . . . . . . . . .②. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 3

综合①②, m 的取值范围为 ? ?

? ? ?

3 1? , ?. . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3 3? ?
? ? ? ?

q ?1 , 21.试题分析: (1)∵ p ? ? x, m ? , q ? ? x ? a ,1? , f ? x ? ? p ?
∴二次函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? m ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ?1? x ?1 ? m2 的解集为 ? ??,0? ? ? m ?1, ??? , 也就是不等式 x2 ? ? a ?1 ? 2m? x ? m2 ? m ? 0 的解集为 ? ??,0? ? ? m ?1, ??? , ∴ m 和 m ? 1 是方程 x2 ? ? a ?1 ? 2m? x ? m2 ? m ? 0 的两个根, 由韦达定理得: m ? ? m ?1? ? ? ? a ?1? 2m? , ∴ a ? ?2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 (2)由(1)得 g ? x ? ?

? ?

f ? x ? x2 ? 2 x ? m ? 1 m ? ? ? x ? 1? ? , x ?1 x ?1 x ?1

∴ ? ? x ? ? g ? x ? ? x ? ln x ? ln x ? 1 ?

m 1 m , , ? ? x? ? ? x ?1 x ? x ? 1?2

∵存在一条与 y 轴垂直的直线和 ? ? x ? 的图象相切,且切点的横坐标为 x0 , ∴ ? ? x0 ? ?

1 m 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ? ? 0 ? m ? x0 ? ? 2 . 2 x0 ? x0 ? 1? x0

∵ x0 ?1 ? x0 ? 3 ,∴ x0 ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 令 h ? x? ? x ?

1 1 ? x ? 1?? x ? 1? ? 2 ? x ? 2 ? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 2 ? , x x x2

当 x ? 2 时, h? ? x ? ? 1 ? ∴ h ? x? ? x ?

1 ? x ? 1?? x ? 1? ? ?0 , x2 x2

1 ? 2 在 ? 2, ??? 上为增函数, x
1 1 1 ? 2 ? h ? 2 ? ? ,∴ m ? ……………………………7 分 2 x0 2

从而 h ? x0 ? ? x0 ?

(3) ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1, ?? ? , x ?1

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? ? ∴??? x? ? 1? , 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? x ? 1? m
方程 x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式,

? ? ? 2 ? k 2 ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ,
①若 m ? 0 时, ? ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1或 2

x2 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ?1, 2

则 x ? ?1, x2 ? 时, ?? ? x ? ? 0 ; x ? ? x 2 , ??? 时, ?? ? x ? ? 0 . ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x 2 ? 上单调递减,在 ? x 2 , ?? ? 上单调递增, 此时函数 ? ? x ? 存在极小值,极小值点为 x2 , k 可取任意实数, . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ②若 m ? 0 时,当 ? ? 0 ,即 ?2 ?m ? k ? 2 ?m 时, x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 恒成 立, ?? ? x ? ? 0, ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 此时 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上没有极值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 下面只需考虑 ? ? 0 的情况,由 ? ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 当 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2

故 x ? ?1, ?? ? 时, ?? ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, ∴函数 ? ? x ? 没有极值. . . . . . . . . . . . . .11 分 当 k ? 2 ?m 时, x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2

则 x ? ?1, x1 ? 时, ?? ? x ? ? 0, x ? ? x1, x2 ? 时, ?? ? x ? ? 0, x ? ? x2 , ??? 时, ?? ? x ? ? 0 , ∴函数 ? ? x ? 在 ?1, x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减,在 ? x2 , ??? 上单调递增,此时 函数 ? ? x ? 存在极大值和极小值,极小值 x2 ,有极大值点 x1 .

综上所述,若 m ? 0 时, k 可取任意实数,此时函数 ? ? x ? 有极小值且极小值点为 x2 ;若

m ? 0 时,当 k ? 2 ?m 时,函数 ? ? x ? 有极大值和极小值,此时极小值点为 x2 ,极大
值点为 x1 (其中 x1 ? 分 22.试题解析: (1)将 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ) . . . . . . . . . . . . . .12 , x2 ? 2 2

? ? 2 ? x2 ? y2 ? ? cos ? ? x

2 代入 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 得: ? x ? 2 ? ? y ? 1 . 2

(2)由题设可知, C2 是过坐标原点,倾斜角为 因此 C2 的极坐标方程为 ? ? 将? ? 将? ?

?
6

划? ?

?
6

7? ,? ? 0, 6

? 的直线, 6

代入 C1 : ? 2 ? 2 3? ? 3 ? 0 ,解得: ? ? 3 ,

7? ?? ? 代入 C1 得 ? ? ? 3 ,不合题意,故 C1 , C2 公共点的极坐标为 ? 3, ? . 6 6? ?

? ?1, x ? 1 ? 23.解: (1)令 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 3,1 ? x ? 2 ,则 ?1 ? f ? x ? ? 1 , ? 1, x ? 2 ?
由于 ?x0 ? R 使不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立,有 t ?T ? ?t | t ? 1? . . . . . . . . . . .5 分 (2)由(1)知, log 3 m ? log 3 n ? 2 log 3 m log 3 n ? 2 , 从而 mn ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 3 时取等号,
2

再根据基本不等式 m ? n ? 2 mn ? 6 当且仅当 m ? n ? 3 时取等号, 所以 m ? n 的最小值 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分


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