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2008年江苏高考数学试题(含答案)


2008 年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)
? ,其中 w ? 0 ,则 w ? 5 6 2? ? ? ? w ? 10 。 【解析】本小题考查三角函数的周期公式。 T ? w 5
1. f ( x ) ? cos( wx ?

?

) 的最小正周期为





答案 10 2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率为





【解析】本小题考查古典概型。基本事件共 6 ? 6 个,点数和为 4 的有 (1, 3) 、 (2, 2) 、 (3,1) 共 3 个,故

3 1 ? 。 6 ? 6 12 1 答案 12 1? i 3. 表示为 a ? bi (a, b ? R) ,则 a ? b = 1? i P?
【解析】本小题考查复数的除法运算, ? 答案 1





1? i ? i,? a ? 0, b ? 1 ,因此 a ? b =1。 1? i
▲ 。

2 4. A ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 7 , 则 A ? Z 的元素个数为

?

?

2 【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由 ( x ?1)2 ? 3x ? 7 得 x ? 5 x ? 8 ? 0

因为 ? ? 0 ,所以 A ? ? ,因此 A ? Z ? ? ,元素的个数为 0。 答案 0

0 5. a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?

? ?

?

?

?

?





【解析】本小题考查向量的线形运算。 因为 a ? b ? 1? 3 ? (? ) ? ? 因此 5a ? b ? 7。 答案 7 6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距 离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点,则落入 E 中的概率为 【解析】本小题考查古典概型。如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部 (含边界) ,区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P ? 答案 ▲ 。

? ?

?

?

1 2

? ?2 ? ?2 ?2 ?2 ? ? 3 ,所以 5a ? b ? (5a ? b ) ? 25a ? b ? 10a ? b =49。 2

? ?12
4? 4

?

?
16



? 16

1

7.某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机选择了 50 位老 人进行调查。下表是这 50 位老人日睡眠时间的频率分布表。 序号 (i) 1 2 3 4 5 分组 组 中 值 (睡眠时间) ( Gi ) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 (人数) 6 10 20 10 4 频率 ( Fi ) 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 ▲ 。

在上述统计数据的分析中,一部分计算算法流程图,则输出的 S 的值是 【解析】本小题考查统计与算法知识。 答案 6.42 8.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线,则实数 b ? ▲ 。 2 1 1 1 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。 y ? ? ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点为 (2,ln 2) ,代入 x x 2 1 直线方程,得 ln 2 ? ? 2 ? b ,所以 b ? ln 2 ? 1 。 2 答案 b ? ln 2 ? 1
9.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) ,点 P (0, p ) 在线段 OA 上 (异于端点) ,设 a, b, c, p 均为非零实数,直线 BP, CP 分别交 AC, AB 于点 E,F,一同学已正确算出 OE 的

方程: ?

?1 1? ? 1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ?b c? ? p a?





【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图,由对称性可猜想 ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 。 p a

事实上,由截距式可得直线 AB :

x y 1 1 1 1 x y ? ? 1 ,直线 CD : ? ? 1 ,两式相减得 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0 , a b c p c b p a

显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求的直线 OF 的方程。 答案 ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 。 p a

10.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

????????
2

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为





【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ? ?(n ? 1) 此第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第

(n ? 1) n 个数,因 2

n2 ? n ? 6 (n ? 1)n ? 3 个,即为 。 2 2

答案

n2 ? n ? 6 2
?

11. x, y, z ? R , x ? 2 y ? 3z ? 0,

y2 的最小值为 xz





【 解 析 】 本 小 题 考 查 二 元 基 本 不 等 式 的 运 用 。 由 x ? 2 y ? 3z ? 0 得 y ?

y2 x ? 3z ,代入 得 2 xz

x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz ? ? 3 ,当且仅当 x ? 3 z 时取“=” 。 4 xz 4 xz
答案 3。 12.在平面直角坐标系中, 椭圆

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2, 以 O 为圆心,a 为半径的圆, 过点 ( c ,0) 2 a b
▲ 。

作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图,切线 PA, PB 互相垂直,又 OA ? PA , 所以 ?OAP 是等腰直角三角形,故

a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? 。 c a 2

答案

2 2
▲ 。

13.若 AB ? 2, AC ? 2BC ,则 S?ABC 的最大值 【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为 AB=2(定长) ,可以以 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(?1, 0), B(1, 0) ,
2 2 设 C ( x, y ) ,由 AC ? 2BC 可得 ( x ? 1) ? y ?

2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,化简得 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 ,即 C 在以

(3,0)为圆心, 2 2 为半径的圆上运动。又 S ?ABC ? 答案 2 2

1 ? AB ? yc ? yc ? 2 2 。 2

14. f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =
3





3

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使 f ( x) ? 0 恒成立,只要 f ( x)min ? 0 在 x ?? ?1,1? 上恒成立。

f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1)
10 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ,所以 f ( x)min ? ?2 ? 0 ,不符合题意,舍去。 20

m

a?0
n



f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 3(ax2 ?1) ? 0
,舍去。 ? 2 ?a 0 ?





f ( x)











f(

x) ? i

f( ? 1 ? )a

2

30 当 a ? 0 时 f ?( x) ? 0 ? x ? ?

1 a

① 若

? ? 1 ? 1 1? ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 ? ?1, ? ? 和 ? ,1? 上单调递增, a? a ? ? a ? 1 1? , ? 上单调递减。 a a? ?

在??

? ? ?

所以 f ( x) min

? f (?1) ? ?a ? 4 ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? min ? f (?1), f ( ) ? ? 0 ? ? ?a?4 1 1 a ? f ( ) ? 1 ? 2 ? 0 ? ? ? ? a a ?

② 当

1 ? 1 ? a ? 1 时 f ( x) 在 x ???1,1? 上单调递减, a

f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ,不符合题意,舍去。综上可知 a=4.
答案 4。

15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B

两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (1) 求 tan(? ? ? ) 的值;

2 2 5 。 , 10 5

(2) 求 ? ? 2 ? 的值。

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由 条件得 cos ? ?

2 2 5 , ?? 为锐角, ,cos ? ? 10 5

4

故 sin ? ? 0且 sin ? ?

7 2 5 。同理可得 sin ? ? , 10 5
1 。 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ?

1 tan ? ? tan ? 2 =-3 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2 1 ?3 ? 2 =-1 , (2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? 1 1 ? (?3) ? 2 3? ? ? 3? ? 0 ? ? ? , 0 ? ? ? , ? 0 ? ? ? 2? ? ,从而 ? ? 2 ? ? 。 2 2 2 4 7?
16.在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD ,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证(I)直线 EF ? 面ACD ; (II) 面EFC ? 面BCD 。 证明: (I)E,F 分别为 AB,BD 的中点 ? EF ? AD
D E B

F

EF ? AD ? ? ? AD ? 面ACD ? ? EF ? 面ACD 。 EF ? 面ACD ? ?

C

A

? ? ? ? CD ? CB ? ? ? CF ? BD (II) ? ? ? BD ? 面EFC 又 BD ? 面BCD , F为BD的中点? ? ? EF ? CF ? F ? ? ? EF ? AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ?
所以 面EFC ? 面BCD 17.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B,及 CD 的中点 P 处,已知 AB ? 20 km, CD ? 10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污 水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 ykm。 (I)按下列要求写出函数关系式: ① 设 ?BAO ? ? (rad ) , 将 y 表示成 ? 的函数关系式;

5

② 设 OP ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。 【解析】本小题考查函数最值的应用。 (I)①由条件可知 PQ 垂直平分 AB, ?BAO ? ? (rad ) ,则 OA ? 故 OB ?

AQ 10 ? COS ?BAO COS?

10 ,又 OP ? 10 ? 10 tan ? ,所以 COS? 20 ? 10sin ? ? 10 10 ? 10(0 ? ? ? ) 。 y ? OA ? OB ? OP ? ? ? 10 ? 10 tan ? ? cos ? 4 COS? COS?
(10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200 ,

② OP ? x(km) ,则 OQ ? 10 ? x ,所以 OA ? OB ?

所以所求的函数关系式为 y ? x ? 2 x2 ? 20x ? 200(0 ? x ? 10) 。 (II) 选择函数模型①。

y? ?

?10cos 2 ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? 。 cos 2 ? cos 2 ?
1 ? ? ,又 0 ? ? ? ,所以 ? ? 。 2 4 6

令 y? ? 0 得 sin ? ? 当0 ?? ?

?
6

时, y? ? 0 , y 是 ? 的减函数;

?

6

?? ?

?
4

时, y? ? 0 , y 是 ? 的增函数。

所以当 ? ?

?
6

时 ymin ? 10 3 ?10 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

18.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x ?2 x ? b( x ? R) 的图象与坐标轴有三个交点,经过这三
2

个交点的圆记为 C。 (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 求圆 C 的方程; (3) 问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。 (1) ?

? ??0 ? b ? 1且b ? 0 ? f (0) ? 0
2 2

(2) 设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 。 令 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b
2 2

又 x ? 0 时 y ? b ,从而 E ? ?b ? 1 。 所以圆的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 。
2 2

6

(3) x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 整理为 x2 ? y 2 ? 2x ? y ? b(1 ? y) ? 0 ,过曲线

C? : x2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 与 l :1 ? y ? 0 的交点,即过定点 (0,1) 与 (?2,1) 。
19.(I)设 a1 , a2 ,??an 是各项均不为零的等差数列 (n ? 4) ,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某一项得到的 数列(按原来的顺序)是等比数列: ① 当 n ? 4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(II)求证:对于一个给定的正整数 (n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b2 ??bn ,其中 任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。 (I) ①当 n ? 4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项, 否则等差数列中连续三项成等比数列, 则d ? 0。 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1a4 ,即 (a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,化简得 若删去 a3 ,则有 a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,化简得 综上可知

a1 ? ?4 ; d

a1 ?1。 d

a1 ? ?4或1。 d

② 当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去首项或末项。 若删去 a2 ,则有 a1a5 ? a3a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 3d ) ,化简得

a1 ? ?6 ; d

若删去 a3 ,则有 a1a5 ? a2 a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 3d ) ,化简得 3d ? 0 ,舍去; 若删去 a4 ,则有 a1a5 ? a2 a3 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ,化简得

a1 ? 2。 d

当 n ? 6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ?an?2 , an?1 , an 中,由于不能删去首项和末项, 若删去 a2 ,则必有 a1an ? a3an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删去 an ?1 ,也有 a1an ? a3an?2 ,这与 d ? 0 矛盾; 若删去 a3 ? an?2 中的任意一个,则必有 a1an ? a2 an?1 ,这与 d ? 0 矛盾。综上可知 n ??4,5? 。 (3) 略 20.若 1

f ( x) ? 3

x? p1

, f2 ( x) ? 3

x? p2

f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) , x ? R, p1, p2 为常数,且 f ( x) ? ? ?

? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(I) (II)

求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; 设 a , b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) ,若 f ( a) ? f (b) ,求证: f ( x ) 在区间 ? a, b? 上的单调增

7

区间的长度和为

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 n ? m ) 。 2
x? p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。 (I) f ( x) ? f1 ( x) 恒成立 ? f1 ( x) ? f2 ( x) ? 3

? 2?3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

2 ? 2 ? x ? p1 ? x ? p2 ? log3

(?)

2 若 p1 ? p2 ,则 (?) ? log3 ? 0 ,显然成立;若 p1 ? p2 ,记 g ( x) ? x ? p1 ? x ? p2

p1 ? p2 ( x ? p2 ) ? ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? p1 ? p2 ( p2 ? x ? p1 ) ? p2 ? p1 ( x ? p1 ) ?
2 所以 g ( x)min ? p1 ? p2 ,故只需 p1 ? p2 ? log3 ;



p1 ? p2 ( x ? p1 ) ? ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ?2 x ? p1 ? p2 ( p1 ? x ? p2 ) ? p ?p ( x ? p2 ) 2 1 ?
2 所以 g ( x)min ? p2 ? p1 ,故只需 p2 ? p1 ? log3 。



(II) 1 如果 p1 ? p2 ? log3 ,则 f ( x) ? f1 ( x) 的图象关于直线 x ? p1 对称,
0

2

因为 f (a) ? f (b) ,所以区间 ? a, b? 关于直线 x ? p1 对称。 因为减区间为 ? a, p1 ? ,增区间为 ? p1 , b? ,所以单调增区间的长度和为
2 20 如果 p1 ? p2 ? log3 ,结论的直观性很强。

b?a 。 2

8


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