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四川省古蔺县高中数学《第二部分 3.2.2 对数函数》课件2 新人教A版必修1


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第 二 课 时 应用创 新演练

3.2 3.2.2

对数函数 对数函数

第二课时

对数函数的图象和性质的应用

[例 1] 求函数 y=log1(6+x+2x2)的单调区间.
2

[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域, 把函数转化 为两个函数 y=log1u,u=6+x+2x2 构成,根据它们各自的
2

单调性来进行判断.

[精解详析] 由 6+ x+ 2x2>0 得 1 47 2(x+ )2+ >0, 4 8 即函数定义域是 R 令 u(x)=2x2+ x+ 6, 则函数 u(x)= 2x2+x+ 6 的单调增区间为

1 1 (- ,+∞),单调减区间为 (-∞,- ). 4 4 又∵y=log1u 在(0,+∞)上是减函数,
2

1 ∴函数 y=log1 (6+x+2x2)的单调增区间为(-∞,- ), 2 4 1 单调减区间为 (- ,+∞ ). 4

[一点通] (1)研究函数的单调性,首先必须考虑它的定义域; (2)对于形如y=f(g(x))的函数的单调性,必须考虑u= g(x)与y=f(u)的单调性,从而得出f(u)=f(g(x))的单调性;

(3)判断函数的单调性,或者求函数的单调区间,也可
画出函数图象求解.

1.函数 f(x)=log1(1-2x)的单调递增区间是________.
2

1 1 解析:由 1-2x>0 得 x< ,∵u=1-2x 在(-∞, )上单 2 2 调递减,y=log1u 在(0,+∞)上单调递减.
2

1 ∴f(x)=log (1-2x)在(-∞, )上单调递增. 2
1 2

1 答案:(-∞, ) 2

2.判断函数 y=f(x)=loga(1-x)的单调性.
解: 由 1-x>0, 得函数 f(x)=loga(1-x)的定义域为(-∞, 1). 令 u=1-x=-x+1,∴y=logau. ∵u=-x+1 在(-∞,1)上是减函数, 当 a>1 时,y=logau 在 u∈(0,+∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,y=logau 在 u∈(0,+∞)上是减函数; ∴当 a>1 时,f(x)=loga(1-x)在(-∞,1)上是减函数; 当 0<a<1 时,f(x)=loga(1-x)在(-∞,1)上是增函数.

[例 2] 解下列不等式: (1)log2(2x-1)<log2(-x+5); 1 (2)logx >1. 2

[思路点拨]

(1)利用y=log2x的单调性求解;(2)

分类讨论,分x>1和0<x<1讨论.

[精解详析] 因为对数式中真数大于 0,
? ?2x- 1>0, 所以? ? ?- x+ 5>0.

1 解得 <x<5. 2 又函数 y=log2x 在 (0,+∞)上是增函数, 所以原不等式化为 2x- 1<- x+5,解得 x<2. 1 所以原不等式的解集是{x| <x<2}. 2

(2)当 x>1 时, 1 原不等式化为 logx >logxx. 2 1 ∴ x< ,这与 x>1 矛盾; 2 当 0<x<1 时, 1 原不等式可化为 logx >logxx, 2 1 ∴ x> . 2 1 结合 0<x<1,所以 <x<1. 2 1 故原不等式的解集为 ( , 1). 2

[一点通]

解对数不等式需考虑对数定义中的隐含

条件:真数大于零,底数大于零且不等于1,再根据对 数函数的单调性,把对数的不等式转化为真数的不等式, 然后求交集即得原不等式的解集.

3.不等式log2(x-3)>1的解集为________. 解析:∵log2(x-3)>1, ∴log2(x-3)>log22. ∴x-3>2,x>5. 答案:{x|x>5}

4.解不等式:log3(4-x)>2+log3x.
解:原不等式可化为 log3(4- x)>log3(9x), ?4- x>9x, ? 2 其等价于?4- x>0, 解得 0<x< . 5 ? x>0, ?
? 2? ∴原不等式的解集为?x|0<x < ?. 5? ?

[例 3] 且 m≠ 1),

已知函数 f(x)= logm(x+ 1)-logm(1- x)(m>0

(1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性. [思路点拨] (1)确定定义域是解 x+ 1>0 且 1- x>0,

x+ 1 而不是 >0; (2)判断奇偶性可利用定义来判定. 1- x

[精解详析 ] - 1<x<1.

(1)由 x+ 1>0 且 1- x>0 得

∴ f(x)的定义域是(- 1, 1). (2)函数的定义域关于原点对称, 且 f(- x)= logm(- x+ 1)- logm(1+ x)= - [logm(1+ x)- logm(1- x)]=-f(x), ∴ y= f(x)是奇函数.

[一点通]

对数函数的综合问题的考查主要体现在:

对数的运算,与对数函数有关的函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等问题.解决这些问题必须熟练的掌握 对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、

单调区间、奇偶性的求解方法与技巧.

5.已知函数 f(x)=lg( x2+1-x),求定义域并判断函数 的奇偶性.
解:由题意 x2+ 1- x>0,得 x∈ R,即定义域为 R. 又 f(- x)= lg[ (- x) 2+ 1- (- x)] 1 2 = lg( x + 1+ x)= lg 2 x + 1- x = lg( x2+ 1- x)-1 =- lg( x2+ 1- x)=- f(x), ∴ y= lg( x2+ 1- x)是奇函数.

6.已知f(x)是定义在[-2,2]上的单调递增函数,且 f(x)的最大值为1,则满足f(log2x)<1的解集为 ________.
解析: 函数 f(x)在[- 2, 2]上单调递增且 f(x)的最大值 为 1,∴ f(2)= 1.∴ f(log2x)<1 可化为 f(log2x)<f(2),即 log2x<2,即 0<x<4. 1 1 又- 2≤ log2x≤ 2,∴ ≤ x≤ 4.故 ≤ x<4. 4 4 1 答案:[ ,4) 4

7.已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,求实
数a的取值范围.
解:∵a 是对数的底数,∴a>0 且 a≠1,∴函数 u=2-ax 是减函数. ∵函数 y=loga(2-ax)是减函数, 2 ∴a>1.由 2-ax>0,解得 x< , a 2 ∴函数定义域是(-∞, ). a

又∵函数在区间[0,1]上有意义, 2 ∴[0,1] (-∞, ). a 2 ∴a>1?a<2, ∴1<a<2.

1.对于函数 y=logaf(x)(a>0 且 a≠1)单调性的判断,首 先应求满足 f(x)>0 的 x 的范围,即函数的定义域.假设 f(x) 在定义域的子区间 I1 上单调递增,在区间 I2 上单调递减,则 (1)当 a>1 时,原函数与内层函数 f(x)的单调性相同,即 在 I1 上单调递增,在 I2 上单调递减. (2)当 0<a<1 时,原函数与内层函数 f(x)的单调性不同, 即在 I1 上单调递减,在 I2 上单调递增.

2.关于对数函数性质的几点应用 可延伸为 (1)y= logax 中定义域 (0,+∞)――――→ y= logaf(x) 的定义域,需 f(x)>0. 可延伸为 (2)y= logax 过定点 (1, 0) ――――→ y= logaf(x)过定 点,只需 f(x)= 1 即可.

可延伸为 (3)y = logax 的单调性 ――――→ y = logaf(x) 的单调 性,利用 y=logau 和 u= f(x)的单调性判断. (4)考查 y= logaf(x)的奇偶性, 定义域关于原点对称后 利用函数奇偶性的定义来判定较容易.

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