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第10讲 空间中的平行关系


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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案(讲座 10)—空间中的平行关系
一.课标要求:
1.平面的基本性质与推论 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间 线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内; ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线; ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 2.空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证, 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认,归纳出以 下判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行; ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行; ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二.命题走向
立体几何在高考中占据重要的地位,通过近几年的高考情况分析,考察的重点及难点稳 定,高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在 难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行了降低,重点在对图形 及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,示知识深化和拓展的重点,因而在这部分知识 点上命题,将是重中之重。 预测 2007 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系: (1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题; (2)在考题上的特点为:热点问题为平面的基本性质,考察线线、线面和面面关系的 论证,此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

三.要点精讲
1.平面概述 (1)平面的两个特征:① 无限延展 ② 平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表 示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。
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2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A ? l ,B ? l ,A ?? ,B ?? ? l ? ? 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的 集合是一条过这个公共点的直线。 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直 线。 异面直线的画法常用的有下列三种:
b ? b a ? a ? ? a b

(2)平行直线: 在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。 即公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (3)异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。推理模式: A ?? , B ?? , a ? ? , B ? a ? AB 与 a 是异面直线。 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? ? A , a // ? 。
a
a

a
?

?

A
?

线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .
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a

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a b P ? ? b P

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。推理模式: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b .
? a b ?

5.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线) 、两平面平行(没有公 共点) (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面, 那么这两个平面平行。 a?? ? b?? ? b 定理的模式: ? ? a ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? c ? b // ? ? ? 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么 这两个平面互相平行。 推论模式: a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? (2)两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于 另一个平面; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

四.典例解析
题型 1:共线、共点和共面问题 例 1. (1)如图所示,平面 ABD ? 平面 BCD =直线 BD ,M 、N 、P 、Q 分别为线 段 AB 、BC 、CD 、DA 上的点,四边形 MNPQ 是以 PN 、QM 为腰的梯形。 试证明三直线 BD 、MQ 、NP 共点。

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证明:∵ 四边形 MNPQ 是梯形,且 MQ 、NP 是腰, ∴直线 MQ 、NP 必相交于某一点 O 。 ∵ O ? 直线 MQ ;直线 MQ ? 平面 ABD , ∴ O ? 平面 ABD。 同理,O ? 平面 BCD ,又两平面 ABD 、BCD 的交线为 BD , 故由公理二知,O ? 直线 BD ,从而三直线 BD 、MQ 、NP 共点。 点评:由已知条件,直线 MQ 、NP 必相交于一点 O ,因此,问题转化为求证点 O 在 直线 BD 上,由公理二,就是要寻找两个平面,使直线 BD 是这两个平面的交线,同时点 O 是这两个平面的公共点即可. “三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在 直线上”的问题。 (2)如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平 面α相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线。 证明:∵AB∥CD, ∴AB,CD 确定一个平面β. 又∵AB ? α=E,AB ? β,∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面α与β的一个公共点。 同理可证 F,G,H 均为平面α与β的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E,F,G,H 四点必定共线。 点评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理 2,即先证明这些点都是 某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。 例 2.已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共面。 α E B C H F A D

G

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证明:1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A, 但 A?d,如图 1 所示: ∴直线 d 和 A 确定一个平面α。 a 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 图1 则 A,E,F,G∈α。 ∵A,E∈α,A,E∈a,∴a ? α。 同理可证 b ? α,c ? α。 ∴a,b,c,d 在同一平面α内。 2o 当四条直线中任何三条都不共点时, 如图 2 所示: ∵这四条直线两两相交,则设相交直线 a,b 确定一个平面α。 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,则 H,K∈α。 又 H,K∈c,∴c ? α。 同理可证 d ? α。 ∴a,b,c,d 四条直线在同一平面α内. 点评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理 3 或推论,由题给 条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个平面 内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每 一句话的含义。 题型 2:异面直线的判定与应用 例 3.已知:如图所示,? ? ? =a ,b ? ? ,a ? b =A ,c ? ? ,c ∥a 。求证 直线 b 、c 为异面直线。 a 图2 H α K b d c E A d F b G c α

证法一:假设 b 、c 共面于? .由 A ? a ,a ∥c 知,A ? c ,而 a ? b =A,? ? ?
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=a , ∴ A ? ? ,A ? ?。 又 c ? ? ,∴ ? 、? 都经过直线 c 及其外的一点 A, ∴

? 与? 重合,于是 a ? ? ,又 b ? ?。

又? 、? 都经过两相交直线 a 、b ,从而??、? 重合。 ∴ ∴

? 、? 、? 为同一平面,这与? ? ? =a 矛盾。
b 、c 为异面直线.

证法二:假设 b 、c 共面,则 b ,c 相交或平行。 (1)若 b ∥c ,又 a ∥c ,则由公理 4 知 a ∥b ,这与 a ? b =A 矛盾。 (2)若 b ? c =P ,已知 b ? ? ,c ? ? ,则 P 是? 、? 的公共点,由公理 2,P

? a ,又 b ? c =P ,即 P ? c ,故 a ? c =P ,这与 a ∥c 矛盾。
综合(1)(2)可知,b 、c 为异面直线。 、 证法三:∵ ? ? ? =a ,a ? b =A ,∴ A ? a 。 ∵ a ∥c ,∴ A ? c ,

在直线 b 上任取一点 P(P 异于 A) ,则 P ? ?(否则 b ? ? ,又 a ? ? ,则? 、? 都 经过两相交直线 a 、b ,则? 、? 重合,与? ? ? =a 矛盾) 。 又 c ? ? ,于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异 面直线”知,b 、c 为异面直线。 点评:证明两直线为异面直线的思路主要有两条:一是利用反证法;二是利用结论“过 平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线. 。异面直线又有 两条途径:其一是直接假设 b 、c 共面而产生矛盾;其二是假设 b 、c 平行与相交;分别产 生矛盾。判定直线异面,若为解答题,则用得最多的是证法一、二的思路;若为选择或填空 题,则往往都是用证法三的思路。用反证法证题,一般可归纳为四个步骤: (1)否定结论; (2)进行推理; (3)导出矛盾; (4)肯定结论. 宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如立 体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等)(2)肯定或否定型的命题(如结论中出 ; 现“必有”“必不存在”等一类命题)(3)唯一型的命题(如“图形唯一”“方程解唯一” 、 ; 、 等一类命题)(4)正面情况较为繁多,而结论的反面却只有一两种情况的一类命题; ; (5) 结论中出现“至多”“不多于”等一类命题。 、 例 4. (1)已知异面直线 a,b 所成的角为 70 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 角的直线有(
0 0

)条

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A.1 B.2 C.3 D.4 (2)异面直线 a,b 所成的角为 ? ,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角 都是 60 ,则 ? 的取值可能是(
0

) C.60
0

A.30

0

B.50

0

D.90

0

解析: (1)过空间一点 O 分别作 a ? ∥a, b? ∥b。 将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动,总能得到与 a ?, b ? 都成 60 角的
0

直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 角的直线有 4 条,从而选 D。 (2)过点 O 分别作 a ? ∥a、 b? ∥b,则过点 O 有三条直线与 a,b 所成角都为 60 ,等价
0

0

于过点 O 有三条直线与 a ?, b? 所成角都为 60 ,其中一条正是 ? 角的平分线。从而可得选项
0

为 C。 点评:该题以学生对异面直线所成的角会适当转化,较好的考察了空间想象能力。 题型 3:线线平行的判定与性质 例 5. (2003 上海春,13)关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是( ) A.若 a∥M,b∥M,则 a∥b B.若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M C.若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M D.若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N 解析:解析:A 选项中,若 a∥M,b∥M,则有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面。B 选 项中,b 可能在 M 内,b 可能与 M 平行,b 可能与 M 相交.C 选项中须增加 a 与 b 相交,则 l ⊥M。D 选项证明如下:∵a∥N,过 a 作平面α 与 N 交于 c,则 c∥a,∴c⊥M.故 M⊥N。答 案 D。 点评:本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。 例 6. 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC, N∈FB, AM=FN, 且 求证:MN∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,则 MP∥AB,NQ∥AB。 ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, C D ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° M P ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ A B N Q ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, F E ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴

AM AH ? AC AB

D M

C

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A N F E H B

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连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得

FN AH ? BF AB

∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE 。 题型 4:线面平行的判定与性质 例 7 . 2006 四 川 理 19 ) 如 图 , 在 长 方 体 (
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ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC , A1D1 的中点,
M, N
分 别 是

AE, CD1









AD ? AA1 ? a, AB ? 2a ,求证: MN // 面 ADD1 A1 。
证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK ; ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∵ MK // AD, NK // DD1 ∴ MK // 面 ADD1 A , NK // 面 ADD1 A 1 1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A 1 ∴ MN // 面 ADD1 A 1

点评:主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关 系等基础知识,主要考察线面平行的判定定理。 例 8. (1999 全国文 22,理 21)如图所示,已知正四棱柱 ABCD —A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC∥D1B,且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a. (Ⅰ)求截面 EAC 的面积; (Ⅱ)求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离; 解: (Ⅰ)如图所示,连结 DB 交 AC 于 O,连结 EO。 ∵底面 ABCD 是正方形, ∴DO⊥AC 又∵ED⊥底面 AC, ∴EO⊥AC ∴∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角, ∴∠EOD=45°

2 2 DO= a,AC= 2 a,EO= a·sec45°=a, 2 2



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故 S△EAC=

2 2 1 EO·AC= a. 2 2

(Ⅱ)由题设 ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,得 A1A⊥底面 AC,A1A⊥AC. 又 A1A⊥A1B1, ∴A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线. ∵D1B∥面 EAC,且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO, ∴D1B∥EO, 又 O 是 DB 的中点 ∴E 是 D1D 的中点,D1B=2EO=2a. ∴D1D=

D1 B 2 ? DB 2 ? 2 a

异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为 题型 5:面面平行的判定与性质

2 a.
a。证

例 9.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 明:平面 ACD1 ∥平面 A1C1B 。 证明:如图,∵ A1BCD1 是矩形,A1B ∥D1C 。 又 D1C ? 平面 D1CA ,A1B ? 平面 D1CA , ∴ A1B ∥平面 D1CA。 同理 A1C1 ∥平面 D1CA , A1C1 ? A1B =A1 , 又 平面 D1CA ∥平面 BA1C1 .



点评:证明面面平行,关键在于证明 A1C1 与 A1B 两相交直线分别与平面 ACD1 平行。 例 10.P 是△ABC 所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重心。 (1)求证:平面 A′B′C′∥ 平面 ABC; (2)S△A′B′C′∶ △ABC 的值。 S 解析:(1)取 AB、BC 的中点 M、N,

PC ? PA? 2 ? ? PN 3 则 PM
∴ A′C′∥ MN?A′C′ 平面 ABC。 ∥ 同理 A′B′∥ ABC, 面 ∴ A′B′C′∥ ABC. △ 面

A?C ? PA? 2 2 2 1 1 ? ? 2 PN 3 ? A′C′= 3 MN= 3 · AC= 3 AC (2) MN A?C ? 1 ? AC 3 ,
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A?B? 1 B?C ? ? ? 3 BC 同理 AC S ?A?B?C? A?C ? 2 1 ?( ) ? AC 9 ∴ S ?ABC

五.思维总结
在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、 直线与平面、 平面与平面间的位置关系) 的基础上,研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用;在 有关问题的解决过程中,进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能,并探索立体几何 中论证问题的规律;在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及 化归和转化的数学思想的应用. 1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。 2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化。 3.注意下面的转化关系:

4.直线和平面相互平行 证明方法:○证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○证明这条直线的方向量 1 2 和这个平面内的一个向量相互平行;○证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂 3 直。 5.证明两平面平行的方法: (1)利用定义证明。利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出矛盾。 (2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行, 这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是:a∩b,a α ,b α ,a∥β ,b ∥β ,则α ∥β 。 (3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是:a⊥α ,a⊥β 则α ∥β 。 (4)平行于同一个平面的两个平面平行。 ? // ? ,? // ? ? ? // ? 两个平面平行的性质有五条: (1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简 记为: “面面平行,则线面平行” 。用符号表示是:α ∥β ,a α ,则 a∥β 。 (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简 记为: “面面平行,则线线平行” 。用符号表示是:α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b。 (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用 于证线面垂直。用符号表示是:α ∥β ,a⊥α ,则 a⊥β 。 (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

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