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高中数学 第四章4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数(共75张PPT)


数学

R A(文)

§4.1

任意角、弧度制及任意角 的三角函数
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
1.角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内 的 一条射线 绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的 图形 ;②分类:角 按旋转方向分为 正角 、负角 和零角 . (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是

难点正本 疑点清源

1.对角概念的理解要准确
(1) 不 少 同 学 往 往 容 易 把 “ 小 于 90° 的角”等同于“锐角”,把 “0° ~90° 的角”等同于“第一象 限的角”.其实锐角的集合是 {α|0° <α<90° },第一象限角的集合 为 {α|k· <α<k· 360° 360° + 90° , k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相 等的角终边一定相同, 终边相同的 角的同一三角函数值相等.

S={β|β=k· 360°+α,k∈Z}



(3)象限角:使角的顶点与坐标原点重 合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 那么,角的终边在第几象限,就说这个 角是第几象限角;如果角的终边在坐标 轴上, 那么这个角不属于任何一个象限.

基础知识

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基础知识·自主学习
要点梳理
2.弧度制 (1)定义:把长度等于 半径 长的弧所 对的圆心角叫做 1 弧度的角, 正角的 弧 度 数 是 正数 , 负 角 的 弧 度 数 是 负数 ,零角的弧度数是 零 . (2)角度制和弧度制的互化:180° π =
?180? π ? ? π ?°. rad,1° 180 rad,1 rad= ? = r (3)扇形的弧长公式:l=|α|· ,扇形 1 1 lr |α|·2 r 的面积公式:S= 2 = 2 .

难点正本 疑点清源

2.对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数,它可以 看成是从一个角(弧度制)的集合 到一个比值的集合的函数,也可 以看成是以实数为自变量的函 数,定义域为使比值有意义的角 的范围. y 如 tan α=x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x,y)的横坐标 不等于零,也就是角 α 的终边不 能与 y 轴重合,故正切函数的定 ? ? π ? ? ?α|α≠kπ+ ,k∈Z?. 义域为 2 ? ? ? ?
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基础知识

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要点梳理
难点正本 疑点清源
几何表示

3.任意角的三角函数 3.三角函数线是三角函数的 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时, y y ,cos α= x ,tan α= .三个三角函 sin α= x 数的初步性质如下表:
三角 函数 sin α cos α 定义域 R R 第一 象限 符号 + + + 第二 象限 符号 + - - 第三 象限 符号 - - + 第四 象限 符号 - + -
(1)正弦线、 正切线的方向同纵轴 一致,向上为正,向下为负. (2)余弦线的方向同横轴一致, 向 右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时,点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了一 个点,当角 α 的终边在 y 轴上时, 点 T 不存在,即正切线不存在. (4)在“数”的角度认识任意角 的三角函数的基础上, 还可以从 图形角度考察任意角的三角函 数, 即用有向线段表示三角函数 值, 这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方.

{α|α≠kπ+ tan α π 2,k∈Z}

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要点梳理
4.三角函数线 动画展示 如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P, 过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作 单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长 线相交于点 T.

难点正本 疑点清源
3.三角函数线是三角函数的 几何表示
(1)正弦线、正切线的方向同纵 轴一致,向上为正,向下为负. (2)余弦线的方向同横轴一致, 向右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时,点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了一 个点,当角 α 的终边在 y 轴上时, 点 T 不存在,即正切线不存在. (4)在“数”的角度认识任意角 的三角函数的基础上, 还可以从 图形角度考察任意角的三角函

三 角 函 数 线

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线;有向线段OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线
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数, 即用有向线段表示三角函数 值, 这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方.

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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
(-1, 3)
-8

解析

C
C C

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合; 6 (2)若角 θ 的终边与 π 角的终边相同,求 7 θ 在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 3 (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 α 2α、 所在的象限. 2

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题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合; 6 (2)若角 θ 的终边与 π 角的终边相同,求 7 θ 在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 3 (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 α 2α、 所在的象限. 2

利用终边相同的角进行表示或 判断; 根据角的定义可以把角放 在坐标系中确定所在象限.

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题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合; y= 3x 上的角的集合为{α|α=kπ+π,k∈Z}. 解 (1)终边在直线 3 6 6 (2)若角 θ π 角终边相同的角的集合是{θ|θ=6π+2kπ, (2)所有与 的终边与7π 角的终边相同,求 k∈Z}, ∴所有与 7 7 θ θ 在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; θ 2 2 3 角终边相同的角可表示为 = π+ kπ,k∈Z. 3 3 7 3 θ 20 34 (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 2 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π, π, π. 3 7 21 21 α π 2α、 所在的象限. (3)∵2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 2 α π ∴4kπ<2α<4kπ+π,kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或 2 第三象限.
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题型一
【例 1】

角的有关问题
(1)写出终边在直线 y= 3x
思维启迪 解析 探究提高

上的角的集合;

所有与 α 角终边相同的角(连同角

6 (2)若角 θ 的终边与 π 角的终边相同,求 α 在内),可以表示为 β=k· + 360° 7 θ 在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; α, k∈Z; 在确定 α 角所在象限时, 3 (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 有时需要对整数 k 的奇、偶情况 α 2α、 所在的象限. 进行讨论. 2

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变式训练 1 已知角 α=45° 解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为 , +k×360° (k∈Z), (1)在区间[-720° 0° , ]内找出所 β=45°
≤45° +k×360° ≤0° , 有与角 α 有相同终边的角 β; 则令-720° 得-765° ≤k×360° ≤-45° , (2)设集合 M= 765 45 ? ? k 解得- ≤k≤- , ? ? 360 360 ?x|x= ×180° ?, +45° ,k∈Z 2 ? ? ? ? 从而k=-2或k=-1, N= 代入得 β=-675° β=-315° 或 . ? ? k ? ? ,k∈Z} ?x|x= ×180° +45° ,k∈Z? , (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° 4 ? ? ? ? 表示的是终边落在四个象限的平分线上 那么两集合的关系是什么? 的角的集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表 示终边落在坐标轴或四个象限平分线上 的角的集合,从而:M? N.
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题型二
【例 2】

三角函数的定义
已知角 α 的终边经过点
思维启迪 解析 探究提高

3 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 6 1 求 sin α+ 的值. tan α

基础知识

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题型二
【例 2】

三角函数的定义
已知角 α 的终边经过点
思维启迪 解析 探究提高

3 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 6 1 求 sin α+ 的值. tan α

先根据任意角的三角函数的 1 定义求 x,再求 sin α+ tan α 的值.

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题型二
【例 2】


三角函数的定义
已知角 α 的终边经过点
思维启迪 解析 探究提高

3 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 6 ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 1 求 sin α+ 3 α的值. x 3 又 cos α= tan x,∴cos α= 2 = x. 6 x +2 6
∵P(x,- 2) (x≠0),

∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3.
当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), - 2 6 1 10 由三角函数的定义,有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α - 2 2 3
6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ; tan α 6 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ = . tan α 6
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题型二
【例 2】

三角函数的定义
已知角 α 的终边经过点
思维启迪 解析 探究提高

3 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 任意角的三角函数值与终边所在 6 1 求 sin α+ 的值. 的位置有关,与点在终边上的位置 tan α

无关, 故要首先判定 P 点所在的象 限,确定 r,最后根据定义求解.

基础知识

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题型分类·深度剖析

变式训练 2 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α, α, α 的值. cos tan 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t,

r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sin α=r= 5t =-5,cos α=r=5t=5, y -3t 3 tan α=x= 4t =-4; y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α=r = = , -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α=r = =-5,tan α=x= 4t =-4. -5t 3 4 3 综上可知,sin α=-5,cos α=5,tan α=-4 3 4 3 或 sin α=5,cos α=-5,tan α=-4.
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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

基础知识

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题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

由θ所在象限,可以确定sin θ、 cos θ的符号;解三角不等式, 可以利用三角函数线.

基础知识

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题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号

探究提高 思维启迪 解析 (1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? π 试判断 的符号; 解 (1)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), cos?sin 2θ? 2 1 ∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π (k∈Z), (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 -1≤sin 2θ<0,∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. 集合. sin?cos θ? sin?cos θ? ∴ <0.∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ? 1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 2

OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的 角 α 的集合为 2 4 {α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3
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题型三
【例 3】

三角函数线、三角函数值的符号
思维启迪 解析

(1)若 θ 是第二象限角, sin?cos θ? 试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的 2 集合.

探究提高

(1)熟练掌握三角函数在各象限的 符号. (2)利用单位圆解三角不等式(组)的 一般步骤: ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集, 找单位圆中公共的部分; ④写出角的表达式.

基础知识

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变式训练 3 (1)y=
π 2 3 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} sin x- 的定义域为_______________________. 3 3 2

(2)已知 sin 2θ<0, 且|cos θ|=-cos θ, 则点 P(tan θ, θ)在第几象限? cos

(1)解析

3 3 ∵sin x≥ 2 ,作直线 y= 2 交单位圆于 A、

B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图 中阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的 π 2 角 α 的集合为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 π (2)解 方法一 由 sin 2θ<0,得 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z),kπ+2
<θ<kπ+π (k∈Z). 当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限; 当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限.
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题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)y=
π 2 3 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} sin x- 的定义域为_______________________. 3 3 2

(2)已知 sin 2θ<0, 且|cos θ|=-cos θ, 则点 P(tan θ, θ)在第几象限? cos

又因 cos θ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的 终边在第二象限. 所以 tan θ<0,cos θ<0,点 P 在第三象限.

方法二

由|cos θ|=-cos θ 知 cos θ≤0,

① ②

又 sin 2θ<0,即 2sin θcos θ<0
?sin θ>0 ? 由①②可推出? ?cos θ<0 ?

因此 θ 在第二象限,P(tan θ,cos θ)在第三象限.
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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

探究提高

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

探究提高

(1)弓形面积可用扇形面积与三角 形面积相减得到;(2)建立关于 α 的 函数.

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α

探究提高

解 (α>0),所在圆的半径为 R. S 弓,则 (1)设弧长为 l,弓形面积为 (1)若 π,R=10,l=π×10=10π (cm), ,R=10 cm,求扇 α=60° α=60° = 3 3 3 ?π 1 10π 1 π 50 50 3 3? 形的弧长及该弧所在的弓形的 ? 2 S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×10 ×sin = π- =50? - ? (cm2). 2 3 2 3 3 2 2? ?3 ? 面积; C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C 1 2 1 ? C ?2 ? ? ∴S(C>0),当 α α· R 扇= α· = 为多少弧度时,该 2 2 ?2+α? ? ?
2 C扇形有最大面积? 1 1 C2 C2 = α· = · ≤ . 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+α C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16

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题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
思维启迪 解析

【例 4】 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形的 面积; (2) 若 扇 形 的 周 长 是 一 定 值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该 扇形有最大面积?

探究提高

(1)在弧度制下,计算扇形的面积和 弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)从扇形面积出发,在弧度制下使问 题转化为关于 α 的不等式或利用二次 函数求最值的方法确定相应最值. (3)记住下列公式:①l=αR;②S= 1 1 2 lR; ③S= αR .其中 R 是扇形的半 2 2 径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角, S 是扇形面积.

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变式训练 4 (1)一个半径为 r 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形 的扇形,若它的周长等于弧所 的周长是 2r+rθ. 依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2)rad. 在的半圆的长,那么扇形的圆 12 1 ∴扇形的面积 S=2r θ=2(π-2)r2. 心角是多少弧度?扇形的面 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 积是多少? 则 l+2r=20,即 l=20-2r (0<r<10). (2)一扇形的周长为 20 cm;当 1 1 扇形的圆心角 α 等于多少弧度 ∴扇形的面积 S=2lr=2(20-2r)r =-r2+10r=-(r-5)2+25. 时,这个扇形的面积最大? ∴当 r=5 时,S 有最大值 25, l 此时 l=10,α=r=2 rad. 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取最 大值.
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思想与方法 6.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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思想与方法 6.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数线求解. (2)比较大小,可以从以下几个角度观察: θ θ θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定. ②sin , cos , 2 2 2 θ tan 不能求出确定值,但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比 2 较大小.

基础知识

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思想与方法 6.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)∵3-4sin2x>0, 3 3 3 2 2分 ∴sin x<4,∴- 2 <sin x< 2 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
? π π? ∴x∈?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

4分

(2)∵θ 是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π θ ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z,∴2是第一或第三象限的角.

6分

(如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: 思想方法 题型分类 基础知识

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 6.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 θ θ θ θ ①当 是第一象限角时,sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 2 θ θ θ 8分 从而得,cos 2<sin 2<tan 2;
θ θ θ θ ②当2是第三象限角时,sin 2=EF,cos 2=OE,tan 2=CT, θ θ θ 得 sin 2<cos 2<tan 2.
θ θ θ θ 综上可得,当2在第一象限时,cos 2<sin 2<tan 2; θ θ θ θ 当2在第三象限时,sin 2<cos 2<tan 2.
基础知识 题型分类 思想方法

10分

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 6.数形结合思想在三角函数线中的应用
典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式, 可以用三角函数图象, 也可以用三角函数线.用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小,由 于没有给出具体的角度, 所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点: θ ①不能确定 所在的象限;②想不到应用三角函数线. 原因在于概念理 2 解不透,方法不够灵活.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1. 在利用三角函数定义时, P 可取终边上任一点, 点 如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r 一定

方 法 与 技 巧

是正值.

2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可 借助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函 数线是一个小技巧.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°

失 误 与 防 范

的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、 第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同 =π 一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.

3.注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 5 2 5 5 2 5 A. B. C.- D.- 5 5 5 5

(

)

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 5 2 5 5 2 5 A. B. C.- D.- 5 5 5 5

( B )

解 析
由三角函数的定义,
2 2 5 得 sin α= 2 2= 5 . ?-1? +2

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5 6 7 8 9

2.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

(

)

解 析

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

( B )

解 析
在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A、 C、D,故选 B.

基础知识

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3.已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 )

解 析

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3.已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 ( C ) A.2 B.4 C.6 D.8

解 析
1 2 设扇形的半径为 R,则 R |α|=2, 2
∴R2=1,∴R=1,

∴扇形的周长为 2R+|α|· R=2+4=6,故选 C.

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4.有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数 的值相等;②终边不同的角的同名 三角函数的值不等;③若 sin α>0, 则 α 是第一、二象限的角;④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其 -x 终边上一点,则 cos α= 2 2. x +y 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 ( )

解 析

D.4
思想方法 练出高分

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4.有下列命题:

解 析

①终边相同的角的同名三角函数 ①正确,②不正确, π 2π π 2π 的值相等;②终边不同的角的同名 ∵sin =sin 3 3 ,而3与 3 角的终 三角函数的值不等;③若 sin α>0, 边不相同. 则 α 是第一、二象限的角;④若 α ③不正确.sin α>0,α 的终边也可

是第二象限的角,且 P(x,y)是其 能在 y 轴的非负半轴上. -x ④不正确.在三角函数的定义中, 终边上一点,则 cos α= 2 2. x +y x x cos α= r = 2 2, 不论角 α 在平 x +y 其中正确的命题的个数是 ( A ) 面直角坐标系的任何位置,结论 A.1 B.2 C.3 D.4
都成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5 6 7 8 9

5.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第____象限.

解 析

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二 5.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第____象限. 解 析
点 P 在第三象限,∴tan α<0,cos α<0. ∴α 在第二象限.

基础知识

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专项基础训练
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2 m, 4

6.设 α 为第二象限角,其终边上一点为 P(m, 5),且 cos α= 则 sin α 的值为________.

解 析

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2 6.设 α 为第二象限角,其终边上一点为 P(m, 5),且 cos α= m, 4 10 则 sin α 的值为________. 4

解 析
设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r,
m 2 则 r =cos α= 4 m, 5 5 10 ∴r=2 2,sin α= r = = 4 . 2 2

基础知识

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7. 函数 y= sin x+

1 -cos x的定义域是________________________. 2

解 析

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1 2 3

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4

专项基础训练
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7. 函数 y= sin x+

1 -cos 2

?π ? ? +2kπ,π+2kπ?(k∈Z) ?3 ? x的定义域是________________________.

解 析
?sin x≥0, ? 由题意知?1 ?2-cos x≥0, ? ?sin x≥0, ? 即? 1 ?cos x≤2. ?

π ∴x 的取值范围为3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.

基础知识

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2 8.(10 分)已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= m, 4 试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

解 析

基础知识

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4

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5 6 7 8 9

2 8.(10 分)已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= m, 4 试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

解 析
由题意,得 r= 3+m2, m 2 所以 sin θ= 2= 4 m. 3+m 因为 m≠0,所以 m=± 5,故角 θ 是第二或第三象限角. 解
当 m= 5时, r=2 2, P 的坐标为(- 3, 5), θ 是第二象限角, 点 角 x - 3 6 所以 cos θ=r = =- 4 , 2 2 y 5 15 tan θ= = =- ; x - 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2 8.(10 分)已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= m, 4 试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

解 析
当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是 第三象限角,

x - 3 6 所以 cos θ=r = =- 4 , 2 2 y - 5 15 tan θ=x= = 3 . - 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心 角的弧度数和弦长 AB.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心 角的弧度数和弦长 AB.

解 析
解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,
?1 ?r=1, ? lr=1, ? 2 则? 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, ? l ∴圆心角 α=r=2.

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm). sin
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4 1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 5 m 的值为 1 A.- 2 ( 1 B. 2 3 C.- 2 3 D. 2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4 1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 5 m 的值为 1 A.- 2 ( B ) 1 B. 2 3 C.- 2 3 D. 2

解 析
-8m 4 ∵r= 64m +9,∴cos α= =- , 2 5 64m +9
2

4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m=2. 64m2+9 25

基础知识

题型分类

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练出高分

练出高分
1 2
? P?sin ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知点 的值为 π A. 4

3π 3π? ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ ,cos 4 4? ( ) 5π C. 4 7π D. 4

3π B. 4

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? P?sin ?

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知点 的值为 π A. 4

3π 3π? ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ ,cos 4 4? ( D ) 5π C. 4 7π D. 4

3π B. 4

解 析
3π 3π 由 sin >0,cos <0 知角 θ 是第四象限的角, 4 4
3π cos 4 7π ∵tan θ= 3π =-1,θ∈[0,2π),∴θ= 4 . sin 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或 第二象限角;③不论是用角度制 还是用弧度制度量一个角,它们 与扇形的半径的大小无关;④若 sin α=sin β,则α与β的终边相 同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或 ( ) 第三象限的角. 其中正确命题的个数是

解 析

A.1 B.2 C.3 D.4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或 第二象限角; ③不论是用角度制还 是用弧度制度量一个角, 它们与扇 形的半径的大小无关;④若 sin α =sin β, α 与 β 的终边相同; 则 ⑤

解 析
由于第一象限角 370° 不小于第二象

限角 100° ,故①错; 当三角形的内角为 90° 时,其既不 是第一象限角, 也不是第二象限角, 故②错;③正确; π 5π π 5π 由于 sin =sin ,但 与 的终 6 6 6 6

若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象 边不相同,故④错; 当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象 限的角. 其中正确命题的个数是 ( A )

限角,又不是第三象限角,故⑤错.

A.1 B.2 C.3 D.4
基础知识 题型分类

综上可知只有③正确.
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4. 已知角 α 的顶点在原点, 始边与 x 轴正半轴重合, P(-4m, 点 3m) (m>0)是 α 终边上一点,则 2sin α+cos α=________.

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4. 已知角 α 的顶点在原点, 始边与 x 轴正半轴重合, P(-4m, 点 3m) 2 5 (m>0)是 α 终边上一点,则 2sin α+cos α=________.

解 析
3 4 由条件可求得 r=5m,所以 sin α= ,cos α=- , 5 5
2 所以 2sin α+cos α=5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
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B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.函数 y= 2cos x-1的定义域为________________________.

解 析

基础知识

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

5.函数 y= 2cos

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 3? ? x-1的定义域为________________________.

解 析
∵2cos x-1≥0,
1 ∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
? π π? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ?

基础知识

题型分类

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.一扇形的圆心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之 比为_______________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.一扇形的圆心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之
(7+4 3)∶9 比为_______________.

解 析
设扇形半径为 R,内切圆半径为 r.
则(R-r)sin 60° =r,即
? 2 3? ? ? R=?1+ r. 3 ? ? ?

1 2 1 2π π 2 7+4 3 2 2 又 S 扇=2αR =2× 3 ×R =3R = 9 πr , S扇 7+4 3 ∴πr2= 9 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)已知 sin α<0,tan α>0. α (1)求 α 角的集合;(2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知 sin α<0,tan α>0. α (1)求 α 角的集合;(2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析
解 (1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 3π 故 α 角在第三象限,其集合为{α|(2k+1)π<α<2kπ+ 2 ,k∈Z}. 3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ 2 , π α 3π 得 kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, α 故2终边在第二、四象限.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知 sin α<0,tan α>0. α (1)求 α 角的集合;(2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2

解 析
α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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