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高中数学第二章数列2.2.1等差数列二课件新人教B版必修5

第二章 §2.2 等差数列 2.2.1 等差数列(二) 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 等差数列通项公式的推广 思考1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an = a1 + (n - 1)d ,如果已知第 m 项 am 和公差 d ,又如 何表示通项an? 设等差数列的首项为a1,则am=a1+(m-1)d, 变形得a1=am-(m-1)d, 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d 答案 =am+(n-m)d. an-a1 an-am 由思考1可得 ,你能联系直线的斜 d= ,d= n-1 n-m 率解释一下这两个式子的几何意义吗? 答案 等差数列通项公式可变形为 an = dn + (a1 - d) ,其图象 为一条直线上孤立的一系列点,(1,a1),(n,an),(m, 思考2 am) 都是这条直线上的点. d 为直线的斜率,故两点 (1 , a1),a (n , aa n- 1 n)连线的斜率d= .当两点为 (n, an- am an), - 1 (m,an )时,有 d= m . n-m 梳理 等差数列 {an} 中,若公差为 d ,则 an = am + (n - m)d ,当 n≠m时, an-am d= n-m . 知识点二 等差数列的性质 思考 还记得高斯怎么计算 1 +2+3+…+ 100的吗?推广到 一般的等差数列,你有什么猜想? 答案 利用1+100=2+99=….在有穷等差数列中,与首末 两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. 梳理 在等差数列 {an} 中,若 m + n = p + q(m , n , p , q∈N + ) ,则 a n am+ =ap+ aq .特别地,若m+n=2p,则an+am=2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 思考 若 {an}是公差为 d的等差数列,那么 {an + an + 2} 是等差 数列吗?若是,公差是多少? 答案 ∵(an+1+an+3)-(an+an+2) =(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d. ∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列. 梳理 若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有 数列 {c+an} {c· a n} {an+an+k} {pan+qbn} 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数 公差为cd的等差数列(c为任一常数 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N 公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常 题型探究 类型一 等差数列推广通项公式的应用 例1 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公 差及通项公式. 解答 因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2. 又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1. 反思与感 悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算. 跟踪训练1 +1-an 数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an 答案 解析 (n∈N+),若b3=-2,b10=12,则a8等于 A.0 B.3 C.8 D.11 类型二 等差数列与一次函数的关系 例2 已知数列{an}的通项公式an =pn+q ,其中p,q 为常数, 那么这个数列一定是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多 解答 少? 取数列{an}中任意相邻两项an和an-1(n>1), 求差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q) =p. 它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列. 由于an=pn+q=q+p+(n-1)p, 所以首项a1=p+q,公差d=p. 反思与感 悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个 角度,利用构造等差数列模型来解决,更能体现出等差数列 这一函数特征,这种解答方式的转变,同学们要在学习中体 会,在体会中升华. 跟踪训练2 某公司经销一种数码产品,第1年获利200 万元, 从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减 少20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整 经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解答 类型三 等差数列性质的应用 例3 已知在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求 此数列的通项公式. 解答 引申探究 1.在例3中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,则在等差数列 {an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N+,是 否有am+an+ap=aq+ar+as? 解答 2. 在等差数列 {an} 中,已知 a3 + a8 = 10 ,则 3a20 5 + a7 = _____. 答案 解析 ∵a3+a8=10, ∴a3+a3+a8+a8=20. ∵3+3+8+8=5+5+5+7, ∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7, 即3a5+a7=2(a3+a8)=20. 反思与感 悟 解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列 {an}的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公 差的求解,属于通项方法;或者兼而有之 .这些方法都运用了 整体代换与方程的思想. 跟踪训练 3 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5 +a8=33,求a3+a 6+a9的值. 解答 当堂训练 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d 等于 答案 A.3 B.-6 √ C.4 D.-3 解析 由等差数列的性质

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