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2011--2013北京高考——导数

2014 北京市高考总复习——导数专题
1. 导数的定义

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ② f (x) 在 (a, b) 的导数: f ?( x) ? y? ? . ? ? lim ? lim dx dx ?x?0 ?x ?x?0 ?x
① f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) f ?( x0 ) ? y? :
x ? x0

? lim

2. 导数的物理意义

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) . ? lim ?t ?0 ?t ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ②瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim . ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t
①瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim
?t ?0

3. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线 方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .

4. 常见函数的导数公式 (1) C? ? 0 (C 为常数). (4) (cos x)? ? ? sin x . (7) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

1 ?1? ? ? ?? 2 x ? x?
'

'

? x? ?
'
n ?1

1 2 x
(3) (sin x)? ? cos x . (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
x x x x

(2) ( xn ) ? nx (5) (ln x)? ?

( n ? Q) .

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x
' ' '

(8) (uv) ? u v ? uv .

(9) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

5. 复合函数的求导法则 设函 数 u ? ? ( x) 在点 x 处 有导数 u x ? ? ( x ) , 函数 y ? f (u) 在点 x 处 的对 应点 U 处有导数
' '
' ' ' yu ' ? f ' (u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 y x ? yu ? u x ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) .

6.导数的应用 ①单调性:如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数
' '

②求极值的方法:当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (注 f ( x0 ) ? 0 )
'

如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值;“左增 右减 ↗ ↘ ” ( ) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.( “左减 右增 ↘ ↗ ” )

附:求极值步骤

f (x) 定义域→ f ' ( x) → f ' ( x) 零点→ 列表: x 范围、 f ' ( x) 符号、 f (x) 增减、 f (x) 极值
③求 ?a, b ? 上的最值: f (x) 在 ?a, b ? 内极值与 f (a ) 、 f (b) 比较 7.三次函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d

f / ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

图 象 特 征 : 针 对 导 函 数 ) a ? 0, ? ? 0 ( ( 针 对 原 函 数 ) “↗ ↘ ↗ ” 极 值 情 况 : ? ? 0 ? f ( x) 有 极值; ? ? 0 ? f ( x) 无极值 附:高考真题 1.(2013 北京文 18)已知函数 f ( x) ? x ? x sin x ? cos x
2

a ? 0, ? ? 0
“↘ ↗ ↘ ” (其中“ ? ”针对导函数)

(1)若曲线 y ? f (x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f (x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

2.(2013 北京理 18)设 L 为曲线 C : y ? (1)求 L 的方程;

ln x 在点 (1,0) 处的切线。 x

(2)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 L 下方。

3.(2012 北京文 18)

已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ) g ( x) ? x ? bx . ,
2

3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值范围.

4.(2012 北京理 18)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x ? bx .
2

3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a, b 的值; (Ⅱ)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1) 上的最大值.
2

5.(2011 北京文 18)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e .
x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间[0,1]上的最小值.

6.(2011 北京理 18)已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e 。
2

x k

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ≤

1 ,求 k 的取值范围。 e


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