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高中数学《1.3.1 二项式定理》导学案 新人教A版选修2-3


§1.3.1 二项式定理 课前预习学案
一、预习目标 2 通过分析(a+b) 的 展 开 式 , 归 纳 得 出 二 项 式 定 理 ;掌 握 二 项 式 定 理 的 公 式 特 征 并 能简单应用。 二、预习内容 2 1、 (a+b) = (a1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________ 3 (a+b) = 4 (a+b) = 2、二项式定理的证明过程 n 3、 (a+b) = n 4、 (a+b) 的二项展开式中共有______项,其中各项的系数______叫做二项式系数,式中的 ____________ 叫 做 二 项 展开 式 的 通 项 , 用 Tk+1 表示 , 即 通 项 为 展 开 式 的第 k+1 项: _____________________ 5、在二项式定理中,若 a=1,b=x,则有 n (1+x) =_______________________________________ 课内探究学案 一、学习目标 3 4 1.用计数原理分析(a+b) 的展开式,进而探究(a+b) 的展开式,从而猜想二项式定理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征,能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点: 教学重点:二项式定理的内容及应用 教学难点:二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 3 4 (一)探究(a+b) 、 (a+b) 的展开式 问题 1: 1+ b1)(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? (a

问题 2:将上式中,若令 a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么?

合作探究一:合并同类项后,为什么 a b 的系数是 3?

2

问题 3: (a+b) 的展开式又是什么呢?

4

结论: (a+b) = C 4 a + C 4 a b+ C 4 a b + C 4 ab + C 4 b (二)猜想、证明“二项式定理”

4

0

4

1

3

2

2

2

3

3

4

4

1

问题 4: (a+b) 的展开式又是什么呢? n 合作探究二: (1) 将(a+b) 展开有多少项? (2)每一项中,字母 a,b 的指数有什么特点? (3)字母“a”、 “b”指数的含义是什么?是怎么得到的? (4)如何确定“a”、 “b”的系数? 二项式定理:
0 1 (a+b) = C n a + C n a
n n n-1

n

k b+? + C n a

n-k

n b +? + C n b (n∈ N + )

k

n

(三)归纳小结:二项式定理的公式特征 (1)项数:_______;(2)次数:字母 a 按降幂排列,次数由____递减到_____;字母 b 按 升幂排列,次数由____递增到______; (3)二项式系数:下标为_____,上标由_____递增至_____; (4)通项:Tk+1=__________;指的是第 k+1 项,该项的二项式系数为______; n (5)公式所表示的定理叫_____________,右边的多项式叫做(a+b) 的二项展开式。 (四)典型例题 例 1 求 (2 x ?

1 x

) 6 的展开式

(分析:为了方便,可以先化简后展开。 )

例 2 ① (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。
7

②求 ( x ?

1 9 ) 的展开式中含 x 3 的系数。 x

(五)当堂检测 7 1.写出(p+q) 的展开式; 6 2.求(2a+3b) 的展开式的第 3 项;

? 1 ? ? 的展开式的第 r+1 项; 3.写出 ? 3 x ? ? ? 3 2 x? ?
4.(x-1) 的展开式的第 6 项的系数是(
10

n


2

(A) C10

6

(B)

6 ? C10

(C)

5 C10

(D)

5 ? C10

答案:1.(p+q) =p +7p q+21p q +35p q +35p q +21p q +7pq +q . 2.T3= 2160a b
4 2

7

7

6

5 2

4 3

3 4

2 5

6

7

3. T r ?1 =(-1) C r · n

r

1 ·x 2r

n?2r 3

,4.D

课后练习与提高 1.在 x ? 3

?

?

10

的展开式中, x 的系数为
4 B. 27 C10

6


6 C. ? 9C10



6 A. ? 27 C10

4 D. 9 C10

2.已知( a ? A.10 3. ( x ?
2

1
3

a

2

) n 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11∶2,则 n 是 (
B.11 C.12 D.13



1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x
12

? 1 ? 4. ? x ? ? ? ? 3 x? ?

的展开式中常数项为

5. 1 ? x3 ?1 ? x ? 的展开式中,含 x5 项的系数是
10

?

?

.

6. 若 ?x ? a ?

100

的展开式中 x 前的系数是 9900,求实数 a 的值。

98

3


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