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直线与平面平行的判断与性质


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直线、平面平行的判定与性质
2014 高考会这样考 复习备考要这样做 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定;2.解答题中证明 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转 或探索空间的平行关系. 化为平面问题,解答过程的叙述步骤要完整,避免因条件书写不全而失分;2.学会应用“化 归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定 理”. 要点梳理: 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 a∩α=? a∥α 判定 定义 图形 条件 结论 α∩β=? α∥β a ? β, b ? β, a∩b =P,a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β,a ? β a∥α 定理 a ? α,b a∥b b∥α α, a∥α a∩α=? a∥α,a ? β, α∩β=b a∥b 定理 性质

2.面面平行的判定与性质 性质

[难点正本 疑点清源] 1. 证明线面平行是高考中常见的问题, 常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内. 2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢 弃定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用. 3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往 往需要作辅助线(面). 基础自测 1.已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b ? α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b;

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③若 a∥b,b ? α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b ? α. 上面命题中正确的是________(填序号). 2.已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a ? α,直线 b ? β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命 题 q:α∥β,则 p 是 q 的____________条件. 3.已知平面 α∥平面 β,直线 a ? α,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直线 都不垂直. 其中真命题的序号是________. 4.(2011· 浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5.(2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 题型分类 题型一 直线与平面平行的判定与性质 例1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q, 且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 思维启迪: 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理, 也可利用面面平 探究提高 判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2) β,a∥α?a∥β). 利用线面平行的判定定理(a?α, b ? α, a∥b?a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β, a ? α?a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60° ,AB=2, PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF. ( ) α,则 ( )

题型二 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面;

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(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思维启迪:要证四点共面,只需证 GH∥BC;要证面面平行,可证一 个平面内的两条相交直线和另一个平面平行. 探究提高 证明面面平行的方法:

(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么 这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 证明:若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线平行于两个平面的 交线. 解 已知:直线 a∥平面 α,直线 a∥平面 β,α∩β=b. 求证:a∥b. 证明:

题型三 例3

平行关系的综合应用

如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和

CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大? 思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截 面形状,再建立目标函数求最值. 解 ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). x CG y BG x y 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 = , = ,两式相加得 + =1, a BC b BC a b 即 b y= (a-x), a ∴S?EFGH=FG· GH· sin α b bsin α =x·· (a-x)· sin α= x(a-x). a a ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, bsin α absin α a b ∴当且仅当 x=a-x 时, x(a-x)= ,此时 x= ,y= . a 4 2 2

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即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 探究提高 利用线面平行的性质, 可以实现与线线平行的转化, 尤其在截面图的画法中, 常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下: ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面 PAO,PO 平面 PAO, QB?平面 PAO,PA ? 平面 PAO, ∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B、QB ? 平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 立体几何中的探索性问题 典例:(12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的 中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 审题视角 规范解答 解 (1)如图(a)所示,取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM.因为 E 是 DD1 的中点,四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.[2 分] (1)可过 E 作平面 ABB1A1 的垂线、 作线面角;(2)先探求出 点 F,再进行证明 B1F∥平面 A1BE.注意解题的方向性.

图(a) 又在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1,从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影,∠EBM 为 BE

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和平面 ABB1A1 所成的角.[4 分] 设正方体的棱长为 2,则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3.于是,在 Rt△BEM 中, EM 2 sin∠EBM= = ,[5 分] BE 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 .[6 分] 3 (2)

图(b) 在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,BG,CD1, FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC, 且 A1D1=BC, 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形, 因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面.所以 BG ? 平面 A1BE.[8 分] 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形, 所以 B1F∥BG,[10 分] 而 B1F?平面 A1BE,BG ? 平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE.[12 分]

对于探索类问题,书写步骤的格式有两种: 一种:第一步,探求出点的位置. 第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点,易错点和 答题规范. 另一种:从结论出发,“要使什么成立”, “只需使什么 成立”,寻求使结论成立的充分条件,类似 于分析法.

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温馨提醒

(1)本题属立体几何中的综合题,重点考查推理能力和计算能力.(2)第(1)问

常见错误是无法作出平面 ABB1A1 的垂线,以致无法确定线面角.(3)第(2)问为探索性问 题,找不到解决问题的切入口,入手较难.(4)书写格式混乱,不条理,思路不清晰. 方法与技巧 1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失误与防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线 平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若直线 m?平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条件乙:“l∥m”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D 2.已知直线 a,b,c 及平面 α,β,下列条件中,能使 a∥b 成立的是( A.a∥α,b ? α B.a∥α,b∥α C.a∥c,b∥c D.a∥α,α∩β=b 答案 C 解析 由平行公理知 C 正确,A 中 a 与 b 可能异面.B 中 a,b 可能相交或异面,D 中 a,b 可能异面. 3.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的 位置关系只能是 ( ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

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A.平行 C.平行和相交 答案 B 解析

B.平行和异面 D.异面和相交

∴CD 和平面 α 内的直线没有公共点. 4.设 m、n 表示不同直线,α、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m ? α,n ? β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n β,则 n∥β 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条. 答案 6 6.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是 下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点, a AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ 3 =________. 2 2 答案 a 3 7 . 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、 C1D1、 D1D、 DC 的中点, N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件_____________时, 有 MN∥平面 B1BDD1. 答案 M∈线段 HF 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, 点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM 于 GH. 求证:PA∥GH. 9 . (12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. ( )

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(1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一 个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 答案 B 2. 下面四个正方体图形中, A, B 为正方体的两个顶点, M, N, P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ( ) B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ( )

A.①② 答案 A

B.①④

C.②③

D.③④

3.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? α,m ? β,则 α∥β; ②若 α∥β,l ? α,m ? β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过 点 P 的直线 n 与 α、 β 分别交于 B、 D 且 PA=6, AC=9, PD=8, 则 BD 的长为________. 24 答案 24 或 5 5 . 一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为原正方体一条棱的中 点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的余弦值为________. B.2 C.1 D.0 ( )

答案

10 10

6.对于平面 M 与平面 N,有下列条件:①M、N 都垂直于平面 Q;②M、N 都平行于平面

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Q;③M 内不共线的三点到 N 的距离相等;④l 为一条直线,且 l∥M,l∥N;⑤l,m 是异面直线,且 l∥M,m∥M;l∥N,m∥N,则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件是 ________(填正确结论的序号). 答案 ②⑤ 三、解答题 7. (13 分)如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为矩形, PD=DC=4, AD=2,E 为 PC 的中点.

(1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M, 使得 PA∥平面 EDM?若存在, 求出 AM 的长; 若不存在, 请说明理由.


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