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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课堂探究学案新人教B版选修2_1201711093113正式版

2.1 曲线与方程
课堂探究 探究一 曲线与方程的概念问题

曲线与方程的定义表明:曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 的充分必要条件是曲线 C 上所有 点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解,并且以方程 F(x,y)=0 的实数解为坐标的点都在曲线

C 上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.
判断点与曲线关系的方法 (1)从点的坐标角度 若点 M(x0, y0)在方程 f(x, y)=0 所表示的曲线 C 上, 则 f(x0, y0)=0; 或若 f(x0, y0)≠0, 则点 M(x0,y0)不在方程 f(x,y)=0 表示的曲线 C 上. (2)从方程的解的角度 若 f(x0,y0)=0,则点 M(x0,y0)在方程 f(x,y)=0 所表示的曲线 C 上;或若点 M(x0,

y0)不在方程 f(x,y)=0 表示的曲线 C 上,则 f(x0,y0)≠0.
【典型例题 1】 如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解,那么以下说法 正确的是( )

A.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 解析:由题意可知,曲线 C 上的所有点构成的集合是方程 F(x,y)=0 的解构成的集合 的子集,它包含两种情形:①真子集;②相等. 据以上可知,选项 A,B,C 都是不正确的,只有选项 D 是正确的. 答案:D 探究二 曲线方程的求法

解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行: (1)建立恰当的坐标系:曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式, 首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立,直接影响曲线方程的繁简). (2)利用题目条件,建立等量关系:根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的 重要一环,常用到一些基本公式,如两点间的距离公式等,仔细审题,用已知条件和曲线的 特征,抓住与曲线上的任意点 M 有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简. (3)挖掘题目隐含条件,避免“少解”与“多解”:在求曲线方程时,由于忽视了题目 中的隐含条件, 出现不符合题意的点, 或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、 增加解, 因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除,将遗漏的点补上.

【典型例题 2】 已知平面上两个定点 A,B 之间的距离为 2a,点 M 到 A,B 两点的距离 之比为 2∶1,求动点 M 的轨迹方程. 思路分析: 因为已知条件中未给定坐标系, 所以需“恰当”建立坐标系. 考虑到对称性, 由|AB|=2a,选 A,B 两点所在的直线为 x 轴,AB 中点为坐标原点,则 A(-a,0),B(a,0), 然后求解. 解:如图所示,以两定点 A,B 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标 系.

由|AB|=2a,可设 A(-a,0),B(a,0),M(x,y). 因为|MA|∶|MB|=2∶1, 所以 (x+a) +y ∶ (x-a) +y =2∶1, 所以 (x+a) +y =2 (x-a) +y .
2 2 2 2 2 2 2 2

? 5 ?2 2 16 2 化简,得?x- a? +y = a , 9 ? 3 ?
所以所求动点 M 的轨迹方程为

?x-5a?2+y2=16a2. ? 3 ? 9 ? ?
【典型例题 3】 长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动,动点 C(x,y) → → 满足AC=2CB,求动点 C 的轨迹方程. 思路分析:A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动,可设 A(x0,0),B(0,y0),又动点 C(x,y) → → 满足AC=2CB,代入即可得轨迹方程. 解:因为长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上移动, 故可设 A(x0,0),B(0,y0). → → 又因为动点 C(x,y)满足AC=2CB, 所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y), 即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),
? ?x-x0=-2x, 所以? ?y=2y0-2y ?

x0=3x, ? ? ?? 3 y0= y. ? 2 ?

又因为|AB|=3, 即 x0 ? y0 =9,
2 2

?3 ?2 2 所以(3x) +? y? =9. ?2 ?
整理得动点 C 的轨迹方程为 x + =1. 4 方法总结 求曲线方程常见方法的注意点
2

y2

(1)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等),可用定义直 接探求. (2)相关点代入法:根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程,有时也 称代入法.其基本思想是,如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动,另一动点又 在某一条已知的曲线 C:f(x,y)=0 上运动,那么利用轨迹中的动点坐标(x,y)表示已知曲 线上的动点(x1,y1),再将它代入已知曲线 C 的方程 f(x,y)=0 即可求得动点轨迹方程. (3)待定系数法:根据题意正确设出曲线方程,明确待定系数,寻找待定系数的方程时 一定要充分挖掘题中条件,特别注意隐含条件. 探究三 求曲线的交点问题

已知曲线 C1 和曲线 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y)=0,则点 P(x0,y0)是曲线
? ?F(x,y)=0, C1,C2 的交点 ? 点 P 的坐标(x0,y0)满足方程组? ?G(x,y)=0, ?

且方程组有几组不同的实

数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点. 【典型例题 4】试讨论圆 x +(y-1) =4 与直线 y=k(x-2)+4(k 为参数)交点的个数. 思路分析:只需把直线方程与圆方程联立,求方程组解的个数即可. 解:由?
? ?y=k(x-2)+4, ?x +(y-1) =4, ?
2 2 2 2 2 2 2

得(1+k )x +2k(3-2k)x+(3-2k) -4=0, Δ =4k (3-2k) -4(1+k )[(3-2k) -4]=4(12k-5). 5 当 Δ >0,即 k> 时,直线与圆有两个不同的交点; 12 5 当 Δ =0,即 k= 时,直线与圆有一个交点; 12 5 当 Δ <0,即 k< 时,直线与圆没有交点. 12 探究四 易错辨析
2 2 2 2

易错点 忽视验证造成增解 【典型例题 5】 求以 A(-2,0),B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点 C 的轨迹方 程. 错解:设点 C 的坐标为(x,y).

△ABC 为圆内接三角形且以 AB 为直径. ∴AC⊥BC,则 kAC·kBC=-1. ∵kAC= ∴

y-0 y-0 ,kBC= , x+2 x-2 y
2

· =-1. x+2 x-2
2

y

化简,有 x +y -4=0. 即点 C 的轨迹方程为 x +y -4=0. 错因分析:(1)在表述 kAC,kBC 时没有注意斜率不存在的情况. (2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. 正解:设 C 的坐标为(x,y). ∵△ABC 为圆的内接三角形,且圆以线段 AB 为直径, → → → → ∴AC⊥BC,即AC·BC=0. → → 又AC=(x+2,y),BC=(x-2,y), ∴(x+2,y)·(x-2,y)=x -4+y =0. 又当 x=±2 时,A,B,C 共线,不构成三角形, ∴所求 C 点的轨迹方程为 x +y -4=0(x≠±2).
2 2 2 2 2 2

学习不是一朝一夕的事情,需要平时积累,需要平时的勤学苦练。有个故事:古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说: “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳 膊尽量往前甩,然后再尽量往后甩。 ”说着,苏格拉底示范做了一遍, “从今天开始,每天做 300 下,大家能做到吗?”学生们都笑了,这么简单的事,有什么做不到的?过了一个月,苏格拉 底问学生:每天甩手 300 下,哪个同学坚持了,有 90%的学生骄傲的举起了手,又过了一个月,苏格拉底又问,这回,坚持下来的学生只剩下了 80%。一年过后,苏格拉底再一次问大家: “请 告诉我,最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了?”这时,整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们,柏拉图之所以能成为大 哲学家,其中一个重要原因,就是,柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神,大家都熟悉愚公移山的故事,愚公之所以能够感动天帝,移走太行、王 屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生,他前十次革命均告失败,但他百折不挠,终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治,建立了中华民国。这些故事,情节不同, 但意义都是一样的,它告诉无们,做事要有恒心。旬子讲: “锲而不舍,朽木不折;锲而舍之,金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心,一些困难的事情便可以做到,没有恒心,再 简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路,不能靠一时激情,也不是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持! 当下市面上关于教授学习 方法的书籍不少,其所载内容也的确很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用的方法用来效果却并不明显,之后的结果无非是两种:要么认为自己没有掌握其精髓要领,要么抱怨那 本书的华而不实,但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法,而是通过测试让读者真正了解自己,从而找到适合自己思维方式的学习方法, 书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试,经过有效分类后,针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点,有针对性的分别给出建议,从而不断强化自 己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始,都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议,这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点,这种“因材施教”的 方式能让读者有种豁然开朗的感觉,除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己,不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外,本书第二大特点就是“全 面” ,全书都是由一篇篇短文、图表集成,更像是一本博文或者 PPT 课件合集,每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找,但也因此有些章节内容安排的比较混乱,所幸每一章节关联性并不 太强,每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题,文中文字精炼没有过分的渲染,完全是纯纯的“干货” , 可以设身处地的想象:当自己面对学海之中手足无措之时,长篇大论的方法肯定会无心查看,明了的编排,让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的,一篇篇短文尽可能在最少的时间让 读者得到最有用的信息,是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ,来自由搭配, 看如何搭配出最好和最坏的结果, “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果,然而我们会很“惯性”想当然的认为, “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果,其实“错 误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果,这会让人在错误的路上越走越远,学习也是同理,一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远,而好的 学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的,起码在学生的时候如果遇到,或者人生会少一些遗憾,我只恨我遇见的晚了点,可是现在已是终身学习的年代,错 过了最恰当的时候,但只要有心又怎会嫌晚呢?本书归类为学习方法-青年读物,是本工具书,学习手册,但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ,正是本书的宗

旨,本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面,可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面,分别是学习模式,时间管理和学习技巧规划,笔记记录技巧,阅读技巧,记忆, 应试技巧,拾遗。全书的结构采取的是总分的形式,前三个方面是总的部分,算是增加学习技能的准备,从认识自己的学习模式开始,然后采取任何事都需要的时间管理技巧,再总体地讲一 下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分,将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述,分别有笔记记录,阅读,记忆,应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让 读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高,在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此,说句题外话,我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的,但是这本书让我对这 个看法有了一定的动摇,因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗,简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国,一点也没有违和感的,好吗?所以他们 能出现这样的情况,从没到过日本的人能够写出描写日本人的书,然后让日本人都觉得是经典的,没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师,其理念影响了全世界……不得不 说,美国的教育真不是盖的。细节上,我印象比较深的是,作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式,运用了一些测试题目,然后根据结果找出与自己最近似的学习模式,她把学习模 式分为几种情况,分别有左脑型,右脑型,还有另外的分法,为视觉的,听觉的,动作的。我看了一下,确实有跟自己近的类型,我就是视觉的,对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。 然后,作者说了,做任何事情,时间管理技巧都是不可缺少的,她不仅教导的是学习的技能,还有很多其他的道理,对我们人生都是有益的,我相信,如果我们的孩子从小就学习这些,将会 受用终生。还有,作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统,将我们现在工作中的管理引进了学习中,这是一个非常好的学习习惯,如果孩子持续的做,严格地做,获得的收益将无法估量, 因为,这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能,实在是太可贵了,孩子将这种技能与阅读结合起来,保管好自己思维历程,可以获得持续的提高,直到最后展翅翱翔,他最可贵的 是,可以系统地提升自己,从而达到书中简介里提到的那样,碰到不会的领域的时候,可以很快的用这些方法,工具建立起模型,系统,游刃有余地攻克自己之前没接触的领域,提升自己的 理解力,我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后,我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了,包括笔记的表格,辅助记忆的表格,帮助整理文档的夹子,应对考试的技巧, 缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的,我也相信通过实践作者在书上所提到的方法,定能在学习中得到提高。但是,那也不是一朝一夕的事情,就 像我们大家都知道的那个故事,在美国得到诺贝尔奖的科学家说,自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理,就是说要和郭靖一样,不要贪多吃不烂,认定他就要好好地坚持 去做,不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统,虽然不是学习过程中的技能,只属于学习准备的东西,但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维,对自己的收益将难以估量。稍显不 足的地方是,第一,本书的语言太过精练,感觉就像没有主观感情一样,要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思,书中也没做讲解,本来就看的比较费力,现在好了,作 者也不等你,直接把你撂那。第二,作者很多地方就像立一个提纲一样,直接让你自己去参考多少多少页,这个太不习惯了。第三,作者在书中提到各种学习的类型,但是并没有就这种类型 合适他们的学习方法做开展或者介绍,比如,将学习分为好几种类型的那个部分,有内省的,有外联的之类,然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用,像成 立学习小组的,这个对于内向的人,在我国这样的学习环境中是比较的困难,但作者没有就如何做提出建议,只是告诉读者这么做,会显得不够全面或者落空。


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