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江西省吉安一中2013届高三上学期期中考试数学文试题

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江西省吉安一中 2012—2013 学年上学期期中考试高三数学试卷(文科)
一、选择题(5×10=50 分) 1. tan600°的值是 A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D.

3

2. 如果复数 A.

2

2 ? bi 的实部与虚部互为相反数,那么实数 b 等于 1 ? 2i 2 2 B. C. -2 D. ? 3 3

3. 在△ABC 中,A>B 是 cosA<cosB 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {x ? Z || x ? 3 |? 2} ,则集合 CUA= A. {x | 1 ? x ? 4} B. {1,2,3,4} C. {1,5} D. {5}

5. 已知平面向量 a ? (?2,?4) , 3a ? 2b ? (?4,?8) ,则 a ? b ? A. -10 B. 10 C. -20 D. 20

6. 已知三次函数 f ( x) ?

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 在 x ? (??,??) 是 3
C. 2<m<4 D. 以上皆不正确

增函数,则 m 的取值范围是( ) A. m<2 或 m>4 B. -4<m<-2 7. 向量 (b ? c)a ? (a ? c)b 与向量 c A. 一定平行但不相等 C. 一定平行且相等 8. 已知 f ( x ) ? ? 是 A. [1,4) B. (1,4) C. (2,4)

B. 一定垂直 D. 无法判定

?4 x ? a ( x ? 1)( x ? 1) 的单调递增区间为 (??,??) ,则实数 a 的取值范围 ?log a x( x ? 1)

D. [2,4)

9. 函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos x ?
2

3 的一个单调递减区间是 2

A. [ ? C. [

? 2?
3 , , 3

]

B. [ ?

7 ?] 12 12

?

, ] 12 12 ? 2 D. [ ? , ? ] 6 3

? 7?

10. 等差数列{an}的公差 d 不为 0,Sn 是其前 n 项和,给出下列命题: ①若 d<0,且 S3=S8,则 S5 和 S6 都是{Sn}中的最大项;
1

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②给定 n,对于一切 k ? N ? (k ? n) ,都有 an?k ? an?k ? 2an ; ③若 d>0,则{Sn}中一定有最小的项; ④存在 k ? N ? ,使 ak ? ak ?1 和 ak ? ak ?1 同号。 其中正确命题的个数为 A. 4 B. 3

C. 2

D. 1

二、填空题(5×5=25 分) 11. 若 2 弧 度 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 为 4cm , 则 这 个 圆 心 角 所 在 的 扇 形 面 积 为 _____________cm2。 12. 定义在(-1,1)上的函数 f ( x) ? ?5x ? sin x ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,则 实数 a 的取值范围为________________________。 13. 已知等比数列{an}中,a3=3,a6=24,则该数列的通项 an=_____________。 14. 已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? a} ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是 ____________。 15. 如图,在△ABC 中,AB=AC=2, BC ? 2 3 ,点 D 在 BC 边上, ?ADC ? 45 ,则
?

AD=____________。

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤) 16. 设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x( x ? R) 的图象经过点(

? ,1) 2

(1)求 y=f(x)的解析式,并求函数的最小正周期和最值; (2)若 f (

?
12

) ? 2 sin A ,其中 A 是面积为

3 3 的锐角△ABC 的内角,且 AB=2, 2

求边 AC 和 BC 的长。 17. 设命题 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?
2

1 a ) 的定义域为 R; 4

命题 q:不等式 3 ? 9 ? a 对一切正实数 x 均成立。
x x

如果“p 或 q”为真命题, 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。 “p 18. 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC 。 (1)求 B 的大小;

2

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(2)设 m ? (sin A, cos2 A), n ? (4k ,1)(k ? 1) ,且 m ? n 的最大值为 5,求 k 的值。 19. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x 2 ? 2 x (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1 | ; (3)若 h( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? 1在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 20. 设 Sn 为数列{an}为前 n 项和,对任意的 n ? N ? 都有 S n ? (m ? 1) ? man(m 为常数且 m>0) (1)求证:{an}为等比数列; (2)设数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足 b1 ? 2a1 , bn ? f (bn?1 )(n ? 2, n ? N ? ) , 求数列{bn}的通项公式;

2 n ?1 (3)在(2)的条件下,求数列 { } 的前 n 项和 Tn。 bn
21. 已知 f ( x) ? a ln x ? bx2 在点(1,f(1))处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 (1)求 f(x)的表达式; (2)若 f(x)满足 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则称 f(x)为 g(x)的一个“上界函数” ,如果 f(x) 为 g ( x) ?

t ? ln x(t ? R) 的一个“上界函数” ,求 t 的取值范围; x

(3)当 m>0 时讨论 F ( x) ? f ( x) ?

x 2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 2 m

3

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【试题答案】
一、选择题(5×10=50 分) 1. D 2. D 3. C 9. C 10. B 二、填空题(5×5=25 分) 11. 4 12. (1, 2) 13. 3 ? 2
n ?3

4. C

5. A

6. D

7. B

8. D

14. a ? 1 15.

2

三、解答题(75 分) 16. (12 分) 解: f ( x) ? m sin x ? cos x 过点(

?ms i n ? c o s ? 1 ? m ? 1 2 2 f ( x) ? s i n ? c o sx ? 2 s i nx ? x (

?

?

? ,1) 2

?
4

) T ? 2?

(2) f (

?

12

) ? 2 sin

?
3

? 2 sin A ,? A ?

?
3

S? ?

1 3 3 AB ? AC ? s i nA ? ,? AC ? 3 2 2
2 2 2

由余弦定理得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ? 7 ? BC ? 17. (12 分) 解:p: ax ? x ?
2

7

1 a ? 0 恒成立 4

?a ? 0 ?? ? a ?1 ? ? 1? a2 ? 0 ?
q: a ? 0 p 与 q 中一真一假

4

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p 真 q 假? ?

?a ? 1 ? a ?? ?a ? 0

p 假 q 真? ? 因此 a ? [0,1] 18. (12 分)

?a ? 1 ? 0 ? a ?1 ?a ? 0

解:由 (2a ? c) cos B ? b cosC

? (2 s i nA ? s i n ) c o s ? s i n c o C C B B s ? 2 s i nA c o s ? s i n c o C ? c o s s i n ? s i nB ? C ) B B s B C (
即 2 sin A cos B ? sin A 即 cos B ?

1 ? ,得 B ? 2 3

(2) m ? n ? 4k sin A ? cos2 A

? 4k sin A ? 1 ? 2 sin 2 A

? ?2(sin A ? k ) 2 ? 2k 2 ? 1
?k ?1
当 sinA=1 时, (m ? n) max ? 4k ? 1 ? 5

?k?

3 2
2

19. (12 分) 解: (1) g ( x) ? ? x ? 2x (2) ? x ? 2 x ? x ? 2 x? | x ? 1 |
2 2

? 2x 2 ? | x ? 1 |? 0
当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 无解
2

当 x<1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0
2

? ?1 ? x ?

1 1 ,即原不等式解集为 [?1, ] 2 2
2

(3) h( x) ? ?(1 ? ? ) x ? 2(1 ? ? ) x ? 1 ①当 ? ? ?1 时, h( x) ? 4 x ? 1 在[-1,1]递增,? ? ? ?1
5

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②当 ? ? ?1 时,对称轴为 x ? (i)当 ? ? ?1 时,

1? ? ? ?1 解得 ? ? ?1 1? ? 1? ? ? 1 解得 ? 1 ? ? ? 0 (ii)当 ? ? ?1 时, 1? ? 综上得 ? ? 0
20. (13 分) 解:由 S n ? (m ? 1) ? man ① ②

1? ? 1? ?

S n?1 ? (m ? 1) ? m ? an?1 (n ? 2)
①-②得: an ? ?man ? man?1

? (m ? 1)an ? man?1 即

an m ? ? {an } 为等差数列 an?1 m ? 1

(2)n=1 时, a1 ? m ? 1 ? ma ? a1 ? 1 1

bn ?

bn?1 1 1 1 即 { } 为 d=1 的等比数列 ? ? 1? bn bn?1 ? 1 bn bn?1

1 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? ,? ? ? (n ? 1) ? 1 ? b1 2a1 2 bn 2 2
即 bn ?

2 2n ? 1

2 n ?1 2 n ?1 ? ? 2 n (2n ? 1) 用错位相减法得 (3) 2 bn 2n ? 1

Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? b
21. (14 分) 解: (1)a=1,b=0, f ( x) ? ln x (2) ln x ?

t ? ln x ? t ? 2 x ln x x

令 ? ( x) ? 2 x ln x

? ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 ? x ?
1 x ? (0, ) 时, ? (x) ? e

1 e

1 x ? ( ,?? ) 时, ? (x) ? e
6

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1 2 ? ? ( x) m i n? ? ( ) ? ? e e 2 即得 t ? ? e
(3) F ( x) ? ln x ?

x2 m2 ? 1 ? x 2 m

F ' ( x) ?
即得 x ?

1 m 2 ? 1 m x2 ? (m 2 ? 1) x ? m (m x ? 1)(x ? m) ?x? ? ? ?0 x m mx mx
1 或 x=m m

1 ? ?0 ? m ? 2 ? 1 1 (i) ?0 ? m ? 2 , 当 即 ? m ? 2 且 m ? 1 时, F(x)在 (0, 上有两个极值点 m 和 2) 2 m ? 1 ?m ? m ?

?1 1 ? ?2 (ii)当 ? m ,即 0 ? m ? 时 F(x)在(0,2)上只有一个极值点为 x=m 2 ?0 ? m ? 2 ?
(iii)当 m ?

1 ,即 m=1 时无极值点 m

1 ? 1 ?0 ? ? 2 (iv)当 ? ,即 m ? 2 时,F(x)在(0,2)上只有一个极值点 m m ?m ? 2 ?

7


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