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高中数学231双曲线及其标准方程教学设计1新人教A版选修2 1(数学教案)

2015 高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程教学设计 1 新人教 A 版选 修 2-1 教学设计 (一)创设情境,引出新课 某火力发电厂通风塔图片 并指出:实际生活中有与双曲线有关的实例,它在自然界和科学技术中也有着广泛的应 用,比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢?怎样 建立它的方程呢?这就是本节课所要研究的内容,由此引出课题: 双曲线及其标准方程. 【设计意图】让学生形成双曲线的感性认识,感受数学的应用价值,体现数学来源于生活实 际,又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 . (二)探究定义 1、拉链与双曲线小实验: 2、实验分析:分析实验中的“变”与“不变”的条件. 3、定义 平面内与两个定点 F1, F2 的距离的 等于 的 点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点之间的距离叫做双曲线 的 . 4、思考: (1)2a=0, 动点 M 的轨迹是什么? (2)0<2a<2c, 动点 M 的轨迹是什么? (3)0<2a=2c, 动点 M 的轨迹是什么? (4)2a>2c, 动点 M 的轨迹是什么? 【设计意图】双曲线的定义为本节课的教学重点之一,为了突出重点,开展探究活动,让 学生动手操作,亲身经历双曲线的形成过程.通过教师的设问,启发学生思考,让学生在自 主探索,合作交流中归纳概括出结论,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的能力.上 1 述结论是对满足集合 P ? M 学的严谨. (三)类比探究 建立方程 ? MF1- MF2 =2 a 的动点 M 的轨迹的全面说明,体现了数 ? 1 、先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤,然后循此步骤,并类比椭圆标准方程的 推导过程,在教师的启发下,由学生自主推导双曲线的标准方程. 第一步,建立直角坐标系及设点:设 M(x,y),焦点分别为 F1 (?c,0) 和 F2 (c,0) . 第二步,根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集: P ? M MF1 ? MF2 ? ?2a ? ? 第三步,列出方程: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a 第四步,化简方程: 移项: 平方: 整理(将根式放在一边,其余项移至等式的另一边): 第二次平方: 整理得: 思考:如果焦点在 y 轴上呢? 标准方程应该是 【设计意图】为了真正做到让学生主动思考、学习,让学生自己动手,独立的 完成这个任务,从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想 .前三步学生容易掌 握,第四步的二次根式较复杂,学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此,教师 搭设台阶引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简:移项,平方,整 理,第二次平方,再整理,赋值,将含有两个根式之差的等式转化为含有 a,b,c 2 三字母的整式,再化为等号右端为 1 的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必 要的指导,并选一名学生在黑板上书写化简过程,然后教师点评.有效的突破本节 的教学难点. 2、判断下列双曲线焦点的位置: (1) x2 y 2 x2 y 2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1, (2) ? ? 1, (3) ? ? 1, (4) ? ? ?1 4 3 3 4 3 4 4 3 思考:如何确定双曲线焦点的位置? 能力提升:已知方程 x2 y2 ? ?1 2 ? m m ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是__________ 【设计意图】观察、比较,发现问题;概括、归纳,解决问题,不仅加强了学生对 所学知识的进一步理解,而且培养了学生自主探究和鉴别的能力,检验了学生的 掌握情况. 四 典型例题 【例 1】 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0) 、 F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F1 、 F2 的距离差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程. 【变式练习】 两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹 方程. 【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的,通过该例题使学生进一步 理解双曲线的定义,掌握标准方程,使知识内化为智能. 五 巩固与练习 求适合下列条件的双曲线标准方程 (1)a=4,b=5,焦点在 y 轴 (2)a=3,c=5 (3)焦点为(0,6) , (0,-6)且经过点(2,-5) 3 【设计意图】检验学生对双曲线标准方程的掌握情况. 六、本课小结: 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 你又掌握了哪些数学思想方法? 双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较: 椭圆 定义 | MF1|+|MF2|=2a 双曲线 方程 x轴 y轴 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 F(±c,0) 焦点 x轴 y轴 F(0,±c) a、b、c 关系 a>b>0,a =b +c 2 2 2 【设计意图】对比双曲线和椭圆的标准方程和 a, b, c 的关系,有助于学生克服 椭圆学习中的思维定势. 七、作业: 基础题:课本 P61:1、2 4 发展题:1 方程 3x2 ? 2 y 2 ? ?2 表示的是双曲线吗?若是,写出焦点坐标; 2 方程 x2 y2 ? ? 2 表示焦距为 3 的双曲线,求 m 的值; 2m m ? 1 3 请给出一个焦距为 2 的双曲线的方程。 探究题:1 x2 ? 2 y 2 ? 2x ? y ? 0 表示什么曲线?为什么? 2 通过网络搜寻双曲线在生活中的应用,探究 GPS 系统是如何全球定位 的? 【设计意图】第一部分为课本习题,全班学生必须完成,是基本要求.第二部分课后探 究题,是较高要求,鼓励学有余力的学生完成.分层作业,既巩固知识,形成技能,利于教 师

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