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配套K12高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解同步优

小学+初中+高中+努力=大学

2.3.2 平面向量的正交分解

2.3.3 坐标表示、平面向量的坐标运算

5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.若向量 a=(3,2),b=(0,-1),则向量 2b-a 的坐标是( )

A.(3,-4)

B.(-3,4)

C.(3,4)

D.(-3,-4)

解析:2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4).

答案:D

2.已知作用在 A 点的三个力 F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且 A(1,1),则合力 F=F1+F2+F3 的终

点坐标为__________________________.

解析:F=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0).

设终点为 D(x,y),则:F= AD ,即(8,0)=(x-1,y-1),

所以

?x

? ?

y

?1 ?1

? ?

8 0

?

?x

? ?

y

? ?

9, 1.

所以终点为(9,1).

答案:(9,1) 3.已知 x 轴的正方向与 a 的方向的夹角为 60°,且|a|=4,则 a 的坐标为________________.

解析:设 a=(x,y),x=|a|cos60°=4× 1 =2,y=|a|sin60°=4× 3 ? 2 3 .

2

2

答案:(2, 2 3 )
4.已知平行四边形 ABCD 的一个顶点坐标为 A(-2,1),一组对边 AB、CD 的中点分别为 M(3, 0),N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标. 解:设其余三个顶点的坐标为 B(x1,y1),C(x2,y2),D(x3,y3).

因为 M 是 AB 的中点,所以 3= ? 2 ? x1 ,0= 1 ? y1 .

2

2

解得 x1=8,y1=-1.

设 MN 的中点 O′(x0,y0),则 x0= 3 ? (?1) =1,y0= 0 ? (?2) =-1,而 O′既是 AC 的中点,又

2

2

是 BD 的中点,

所以 x0= xA ? x2 ,y0= y A ? y2 ,即 1= ? 2 ? x2 ,-1= 1 ? y2 .

2

2

2

2

解得 x2=4,y2=-3. 同理,x3=-6,y3=-1. 所以 B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1).

10 分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c 等于(-1,2),则 c 等于( )

A. ? 1 a+ 3 b 22

B. 1 a- 3 b 22

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

C. 3 a ? 1 b 22

D. ? 3 a+ 1 b 22

解析:根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示的结论,再结合待定系数法

可求.

答案:B

2.已知 ABCD 中, AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC、BD 交于点 O,则 CO 的坐标

为( )
A.( ? 1 ,5) 2

B.( 1 ,5) 2

C.( ? 1 ,-5) 2

D.( 1 ,-5) 2

解析:如图所示, AC ? AB ? AD =(-2,3)+(3,7)=(1,10).

∴ OC = 1 AC =( 1 ,5).∴ CO =( ? 1 ,-5).

2

2

2

答案:C

3.已知点 A( 3 ,1),B(0,0),C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于点 E,那么

有 BC =λ CE ,其中 λ 等于( )

A.2

B. 1

2

解析:∵AE 为∠BAC 的平分线,

C.-3

D.- 1 3

∴ | BE | ? | AB | = 2 =2.∴ BE = ? 2CE .∴ BC ? BE ? CE ? ?2CE ? CE ? ?3CE . | CE | | AC | 1
答案:C

4.若将向量 a=( 3 ,1)按逆时针方向旋转 ? 得到向量 b,则 b 的坐标为_________________. 2

解析:由三角函数的定义,可知 a 与 x 轴正向的夹角为 ? ,按逆时针方向旋转 ? 到 OP 的位

6

2

置 , 易 知 | OP | =2 , ∠xOP=120°. 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , OA=2cos120°=-1 ,

AP=2sin120°= 3 ,所以 b=(-1, 3 ).

答案:(-1, 3 )
小学+初中+高中+努力=大学

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5.已知边长为单位长的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB、AD 分别落在 x 轴、y
轴的正向上,则向量 2AB ? 3BC ? AC 的坐标为___________________.
解析:根据题意建立坐标系如图,

则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).
∴ AB =(1,0), BC =(0,1), AC =(1,1).

∴ 2AB ? 3BC ? AC =(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).
答案:(3,4)

6.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP ? OA ? t AB .

求:(1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否构成平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.
解:(1) OP ? OA ? t AB =(1+3t,2+3t),若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,所以 t= ? 2 ; 3
若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,所以 t=- 1 ; 3



P

在第二象限,只需

?3 ??2

? ?

3t 3t

? ?

0, 0,

∴ ? 2 <t<- 1 .

3

3

(2)因为 OA =(1,2), PB =(3-3t,3-3t),若 OABP 为平行四边形,则 OA ? PB .

由于

?3 ??3

? ?

3t 3t

? ?

1, 2

无解,故四边形

OABP

不能构成平行四边形.

30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.在△ABC 中,已知 A(2,3)、B(8,-4),G(2,-1)是中线 AD 上的一点,且| AG |=2| GD |,

则点 C 的坐标为( )

A.(-4,2)

B.(-4,-2)

C.(4,-2)

D.(4,2)

解析:设 C 点坐标为(x,y),由于 G 是△ABC 的重心,则 2= 2 ? 8 ? x , 3

∴x=-4;-1= 3 ? 4 ? y , 3
∴y=-2.

答案:B

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2.已知 A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),且 CM ? 3CA,CN ? 3CB ,试求点 M、N 和 MN
的坐标. 解:∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
∴ CA =(-2+3,4+4)=(1,8),

CB =(3+3,-1+4)=(6,3).

于是 CM ? 3CA =3(1,8)=(3,24),

CN ? 2CB =2(6,3)=(12,6).

设 M(x,y),则有 CM =(x+3,y+4),



?x

? ?

y

? ?

3 4

? ?

3, 解之,得 24.

?x

? ?

y

? ?

0, 20.

即 M 点的坐标为(0,20).同理,可求得 N(9,2).

因此 MN =(9-0,2-20)=(9,-18).

故所求的点 M、N 的坐标分别为(0,20),(9,2), MN 的坐标为(9,-18).
3.如图 2-3-8 所示,已知△ABC 中,A(7,8)、B(3,5)、C(4,3),M、N 是 AB、AC 的中点,
D 是 BC 的中点,NM 与 AD 交于 F,求 DF .

图 2-3-8 解:∵A(7,8)、B(3,5)、C(4,3),

∴ AB =(3-7,5-8)=(-4,-3), AC =(4-7,3-8)=(-3,-5).

又∵D 是 BC 的中点,∴ AD = 1 ( AB ? AC )=( ? 7 ,-4).

2

2

又∵M、N 分别为 AB、AC 的中点,∴F 为 AD 的中点.

∴ DF = ? 1 AD =( 7 ,2).

2

4

4.用坐标法证明 AB ? BC ? CA =0.
证明:设 A(a1,a2),B(b2,b2),C(c1,c2),则

AB =(b1-a1,b2-a2),

BC =(c1-b1,c2-b2),
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CA =(a1-c1,a2-c2).

∴ AB ? BC ? CA =(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=(0,0)=0.

∴ AB ? BC ? CA =0.

5.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP ? AB ? ? AC (λ ∈R),试求 λ 为何值时,
点 P 在第一、三象限的角平分线上?点 P 在第三象限内?
解:设点 P 的坐标为(x,y),则 AP =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AB +λ AC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ (5,7)=(3,1)+(5λ ,7λ )=(3+5λ ,
1+7λ ).

∵ AP ? AB ? ? AC ,

∴(x-2,y-3)=(3+5λ ,1+7λ ).



?x

? ?

y

? ?

2 3

? ?

3? 1?

5?, 7?.



?x

? ?

y

? ?

5 ? 5?, 4 ? 7?.

∴P 点的坐标为(5+5λ ,4+7λ ).
(1)若点 P 在第一、三象限的角平分线上,则 5+5λ =4+7λ ,∴λ = 1 . 2

(2)若点

P

在第三象限内,则

?5 ??4

? ?

5? 7?

? ?

0, 0,

?? ? ?1,



? ????

?

?

4 7

.

∴λ <-1,即只要 λ <-1 时,点 P 便在第三象限内. 6.已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可用 v=f(u)表示. (1)证明对于任意向量 a、b 及常数 m、n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立; (2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)及 f(b)的坐标; (3)求使 f(c)=(3,5)成立的向量 c. 答案:(1)证明:设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2), 又 mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2), 所以 mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2). 所以 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b). (2)解:f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).

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(3)解:由

?y ? 3, ??2y ? x

?

5,



?x

? ?

y

? ?

1,
所以
3.

c=(1,3).

7.如图 2-3-9 所示,已知平面上三点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求 点 D 的坐标,使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.

图 2-3-9
解:(1)当平行四边形为 ABCD 时,因为 AD ? BC ,所以(4,1)=(x+2,y-1).所以 x=2,y=2,
即 D(2,2).
(2)当平行四边形为 ACDB 时,因为 BA ? DC ,所以(-1,-2)=(3-x,4-y).所以 x=4,y=6,
即 D(4,6).
(3)当平行四边形为 DACB 时,因为 DA ? BC ,所以(-2-x,1-y)=(4,1).所以 x=-6,y=0,
即 D(-6,0).
8.如图 2-3-10,已知 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°.设 OA =a,OB =b,OC =c,
且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a 和 b 表示 c.

图 2-3-10 解:以 O 为坐标原点,OA 所在直线为 x 轴建立如图所示直角坐标系.

由| OA |=2,∴ OA =(2,0).

由∠AOB=150°,根据三角函数的定义可求出 B 点坐标 xB=1·cos150°=- 3 ,yB= 1 ,

2

2

∴B(- 3 , 1 ),即 OB =(- 3 , 1 ).

22

22

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同理,∠AOC=150°+90°=240°,∴xC=3×cos240°=- 3 ,yC=3×sin240°= ? 3 3 .

2

2

∴C(- 3 , ? 3 3 ),即 OC =(- 3 , ? 3 3 ).

2

2

2

2

设 OC ? mOA ? nOB ,则(- 3 , ? 3 3 )=m(2,0)+n(- 3 , 1 ),

2

2

22

?



??? ?

3 2

?

2m

?

3 n, 2

????

33 2

?

1 n, 2

?m ? ?3, 解得 ?
?n ? ?3 3.

∴ OC ? ?3OA ? 3 3OB ,即 c=-3a- 3 3b .

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