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高中数学第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式配套课件新人教A版必修_图文

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用. 2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 1.数列{an}的前4项为0,2,4,6,则其一个通项公 an=2(n-1). 式为____________ 项an 与_____ 项数n之间 2.数列{an}的通项公式是指:____ 项之 的函数关系,而递推公式体现的是___ 项 与___ 间的等量关系. 知新盖能 1.等差数列的定义 如果一个数列从第____ 二 项起,每一项与它的前一 同一常数 ,那么这个数列就叫做等 项的差等于___________ 常数 叫做等差数列的公差,通常 差数列,这个______ d 表示. 用字母___ 思考感悟 1.等差数列都是递增数列吗? 提示:不一定,只有d>0,才是递增数列. 2.等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表: 递推公式 an-an-1 =d(n≥2) ___________ 通项公式 a1+(n-1)d an=____________ 3.等差中项 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a 与b的等差中项.这三个数满足关系式a+b= ____ 2A. 思考感悟 2.任何两个实数都有等差中项吗? 提示:都有等差中项. 课堂互动讲练 考点突破 等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含 有四个变数,即a1,d,n,an.如果知道了其中任 意三个数,就可以求出第四个数,这种可行性与 求出未知数的过程可以称为“知三求一”.有时是 用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值, 也可以求出这个等差数列其它未知数的值. 例1 已知{an}是等差数列,根据下列条件求它的 由条件列方程求得其首项与公差, ?a5=-2, 由 题 意 知 : ? ?a9=6, 通项公式:a5=-2,a9=6. 【思路点拨】 即可由公式写出通项公式. 【 解 】 则 ?a1+4d=-2, ?a1=-10, ? 解方程得? ?a1+8d=6, ?d=2. 所以数列{an}的通项公式为 an=-10+2(n-1)= 2n-12. 【名师点评】 根据等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d,由已知等差数列的任意两项,就 可以求出首项和公差,从而写出数列的通项公 式. 互动探究 在本例中,若条件改为“已知a5=11, an=1,d=-2”,如何求n? 解:由 a5=11,an=1, ?a1+4d=11 ?a1+4×?-2?=11 得? ,∴? , ?a1+?n-1?d=1 ?a1+?n-1?×?-2?=1 解得 n=10. 等差中项 a+b 若 a、A、b 成等差数列,即 A= ,则 A 就是 a 2 1 与 b 的等差中项,若 A= (a+b)时,则 a、A、b 2 成等差数列,这是判定三个数成等差数列的条件. 例2 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这 五个数成等差数列,求此数列. 【思路点拨】 可利用等差中项先求得b,再依次 使用等差中项求得a,c. 【解】 ∵-1,a,b,c,7 成等差数列, -1+7 ∴b 是-1 与 7 的等差中项.∴b= =3. 2 -1+3 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a= =1. 2 3+7 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c= =5. 2 ∴该数列为-1,1,3,5,7. 等差数列的判定与证明 根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差 数列,要看任意相邻两项的差是否为同一常数, 要判断一个数列为等差数列,需证明an+1-an= d(d为常数)对n∈N*恒成立,若要判断一个数列不 是等差数列,只需举出一个反例即可. 2an 例3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= . an+2 1 (1)数列{ }是否为等差数列?说明理由;(2)求 an. an 【思路点拨】 列的定义判定. 将递推公式变形,然后按等差数 1 【解】 (1)数列{a }是等差数列,理由如下: n 2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ - = , 2 an an+1 2an an+1 an 2 1 1 1 1 即{ }是首项为 = ,公差为 d= 的等差数列. an a1 2 2 1 1 n (2)由(1)可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an=n. 【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种: (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)?{an} 为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2?{an}是等差数 列. (3)通项法:an=kn+b(k、b为常数)?{an}是等差 数列. 警示:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)对任意n∈N +都要恒成立,不能几项成立便说{an}为等差数 列. 变式训练 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数 列? 解:法一:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1、d为 常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常值函数,d=0时), 故{bn}是等差数列. 法二:根据题意知bn+1=3an+1+4, ∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an) =3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等 差数列. 方法感悟 1.等差数列定义的理解

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