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高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题7 第23讲 分类与整合思想和化归与转化思想


第23讲

分类与整合思想和化归与转化思想

第23讲

分类与整合思想和 化归与转化思想

第23讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况:解到某一 步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题 包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其 变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.这 里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决 问题的方法,其研究的基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还 必须把它们整合在一起,这种“合—分—合”的解决问题的思想,就 是分类与整合思想. 2.化归与转化思想 在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追 溯一些熟知的结果,由此将问题化难为易,化繁为简,化大为小,各 个击破,达到最终解决问题的目的,这种解决问题的思想就是化归与 转化思想.

第23讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 分类与整合思想

例 1 已知函数 f(x)=|x|+|x-1|+|x-2|. (1)写出函数的单调区间; (2)设 g(x)=-x2+bx, 若对任意的 x1, 2∈[-1,4], 1)≥g(x2) x f(x 恒成立,求实数 b 的取值范围.

第23讲 │ 要点热点探究

【分析】 (1)根据绝对值的概念,通过把实数集分割为四 个子集,在各个子集上,函数解析式就可以去掉绝对值符号, 转化为一般的一次函数,通过研究各个段上的函数单调性,把 其整合为整个函数的单调性;(2)问题等价于在区间[-1,4]上, 函数 f(x)的最小值大于或者等于函数 g(x)的最大值,根据函数 g(x)的对称轴和单调性分类求解 g(x)的最大值,通过最值的不 等式,得出各个情况的结果,最后整合为一个整体结论.

第23讲 │ 要点热点探究
?-3x+3,x≤0, ? ?-x+3,0<x≤1, 【解答】 (1)函数 f(x)=? ?x+1,1<x≤2, ?3x-3,x>2. ?

由于这个函

数的图象是连续不断的,在(-∞,0]和(0,1]上,函数是单调递 减的,在(1,2],(2,+∞)上,函数是单调递增的,在 x=1 处 图象连续.所以函数 f(x)的单调递减区间是(-∞,1],单调递 增区间是[1,+∞).

第23讲 │ 要点热点探究
(2)由(1)知,函数 f(x)在区间[-1,4]上的 x=1 处取得最小值,即 f(x)min=f(1)=2. b 当2≤-1,即 b≤-2 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递减,其最 大值为 g(-1)=-1-b.由 2≥-1-b 得 b≥-3.故此时-3≤b≤-2; b b 当-1<2<4,即-2<b<8 时,函数 g(x)在 x=2处取得最大值,其 ?b? b2 b2 最大值为 g?2?= 4 .由 2≥ 4 得-2 2≤b≤2 2.故此时-2<b≤2 2; ? ? b 当2≥4,即 b≥8 时,函数 g(x)在[-1,4]上单调递增,其最大值 9 为 g(4)=-16+4b.由 2≥-16+4b,得 b≤2.故此时 b 无解. 综上所述,b 的取值范围是[-3,2 2].

第23讲 │ 要点热点探究

1-a 例 2 已知函数 f(x)=lnx-ax+ x (0<a<1),讨论函数 f(x)的 单调性.

【分析】 求出导数后,讨论函数 f(x)的导数的符号 即可.

第23讲 │ 要点热点探究
a-1 ax2-x+1-a 1 【解答】 f′(x)=x-a+ x2 =- , x∈(0, +∞). f′(x) 由 x2 1 =0,即 ax2-x+1-a=0,解得 x1=1,x2=a-1. 1 1 1 (1)若 0<a<2,则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x>a-1 时,f′(x)<0;当 1<x<a-1 ?1 ? 时,f′(x)>0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),?a-1,+∞?,单调递 ? ? ? ? 1 增区间是?1,a-1?. ? ? 1 1 (2)若 a=2时,x1=x2,此时 f′(x)≤0 恒成立,且仅在 x=2处等于零,故 此时函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 1 1 (3)若2<a<1,则 0<x2<x1.当 0<x<a-1 或者 x>1 时,f′(x)<0;当a-1<x<1 ? ? 1 时,f′(x)>0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是?0,a-1?,(1,+∞),单调递 ? ? ?1 ? ? -1,1?. 增区间是 a ? ?

第23讲 │ 要点热点探究

1 综上所述:当 0<a<2时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,1), ?1 ? ? ? 1 1 ? -1,+∞?,单调递增区间是?1, -1?;当 a= 时,函数 f(x) a 2 ?a ? ? ? 1 的单调递减区间是(0,+∞);当2<a<1,函数 f(x)的单调递减区 ? ? ?1 ? 1 间是?0,a-1?,(1,+∞),单调递增区间是?a-1,1?. ? ? ? ?

第23讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 化归与转化思想

例 3 (1)已知函数 f(x)=x3+2x2-ax+1.若函数 g(x)=f′(x) 在区间(-1,1)上存在零点,则实数 a 的取值范围是________. (2) 若抛物线 y=x2+4ax+3-4a,y=x2+(a-1)x+a2,y= x2+2ax-2a 中至少有一条与 x 轴相交,则实数 a 的取值范围是 ________.

【分析】 (1)很显然,函数 g(x)是二次函数,二次函 数在一个开区间上存在零点,情况是很复杂的,但这个二 次函数可以把参数分离出来,这样就把问题转化为求一个 具体的函数的值域;(2)至少有一条与 x 轴相交情况,包括 七种情况,直接求解比较困难,从其反面考虑.

第23讲 │ 要点热点探究
? 4 ? (1)?-3,7? ? ? ? 3? (2)?-∞,-2?∪[-1,+∞) ? ?

【解析】 (1)g(x)=f′(x)=3x2+4x-a,g(x)=f′(x)在区间(-1,1) 上存在零点,等价于 3x2+4x=a 在区间(-1,1)上有解,等价于 a 的取 值范围是函数 y=3x2+4x 在区间(-1,1)上的值域,不难求出这个函数 ? 4 ? ? 4 ? ?- ,7?.故所求的 a 的取值范围是?- ,7?. 的值域是 3 ? ? ? 3 ? ?Δ1=?4a?2-4?3-4a?<0, ? 3 2 2 (2)由?Δ2=?a-1? -4a <0, 解得-2<a<-1,再求它的补集, ?Δ =?2a?2+8a<0, ? 3 3 则 a 的取值范围是:a≤-2或 a≥-1.

第23讲 │ 要点热点探究
?π ? ? π? 例 4 (1)若 cos? +α?=2sin?α- ?,则 2? ?2 ? ? ?5π ? ?3π ? sin? 2 +α?sin? 2 -α?=________. ? ? ? ?

sin(α-2π)sin(α-π)-

(2)函数 f(x)=sinx+cosx+sin2x 的最小值是________.

【分析】 (1)化简已知和求解目标,然后采取适当 的方法;(2)把 sinx+cosx 看做一个整体,用这个整体表 示已知函数.

第23讲 │ 要点热点探究

3 5 (1)-5 (2)-4 【解析】 (1)已知条件即 sinα=2cosα,求 解目标即 cos2α-sin2α.已知条件转化为 tanα=2,求解目标转化 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 为 2 = ,把已知代入得求解结果是-5. cos α+sin2α 1+tan2α ? ? (2)令 t=sinx+cosx,则 t2=1+sin2x,且 t∈??- 2, 2??.此 ? 1?2 5 2 时函数化为 y=t+t -1=?t+2? -4,故所求函数的最小值为 ? ? 5 -4.

第23讲 │ 要点热点探究
? 创新链接11 活用数学思想方法解题

数学思想方法在解题中具有指导作用,灵活使用数学思想对优化 解题过程、得出正确答案具有重要意义 . 在数学思想方法中,函数与方程是相互联系的,在一定条件下, 它们可以相互转化,如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标;方程 f(x)=g(x)的解就是函数 y=f(x)与 y=g(x)的图 象交点的横坐标 .函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征,运 用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态研究,从变量的运动、 变化、联系和发展角度打开思路; 而方程思想则是动中求静,研究运 动中的等量关系 .函数思想与方程思想常常是相辅相成的,函数的研 究离不开方程,方程的研究也要借助函数,以寻找解决问题的思路 .

第23讲 │ 要点热点探究
例 5 设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,函数 f(x)=0 只有一个实数根?

【分析】 (1)按照导数研究函数性质的方法, 根据导数等于 零的点及其导数在这个点附近的符号变化进行判断求解; (2)方程 f(x)=0 只有一个实数根等价于函数 y=f(x)的图象与 x 轴只有一个公共点,根据三次函数存在两个极值点、三次函数 图象的变化趋势,只要函数的极大值小于零,或者极小值大于 零即可.

第23讲 │ 要点热点探究
1 【解答】 (1)f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: ? ? 1 ? 1 1? x 1 (1,+∞) ?-∞,- ? ?- ,1? - 3 3? ? ? 3 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ? 1? 5 ∴f(x)的极大值是 f?-3?= +a,极小值是 f(1)=a-1. ? ? 27 (2)根据三次函数的特征,当 x 足够大时,一定有 f(x)>0,当 x 足够小时 一定有 f(x)<0,结合函数的单调性和极值,函数 y=f(x)与 x 轴只有一个公共 5 点的充要条件是极大值小于零或极小值大于零,即 +a<0 或 a-1>0,即 27 5 a<- 或者 a>1. 27 ? 5? ?-∞,- ?∪(1,+∞)时,函数 y=f(x)的图象与 x 轴仅有 所以当 a∈ 27? ? 一个交点.

第23讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题第一问是研究函数性质,但必须通过解导数等于 零的方程,根据方程的根确定函数的极值点,研究函数要考解方程; 第二问是研究方程的根,要借助于函数的性质,对方程根的情况作出 判断,方程的研究要借助函数.本题表明函数与方程是相辅相成的.

第23讲 │ 要点热点探究
?x≥0, ? 设 x, 满足约束条件?y≥x, y ?4x+3y≤12, ? 取值范围是( A.[1,5] C.[3,10] ) B.[2,6] D.[3,11]

x+2y+3 则 的 x+1

第23讲 │ 要点热点探究
y+1 y+1 D 【解析】 目标的几何意义不明显,可以变换为 1+2· ,其中 的 x+1 x+1 几何意义是明确的,即区域内的点与点(-1,-1)连线的斜率.变换求解目标为

?x≥0, ? y+1 y+1 1+2· ,令 z= ,其几何意义是区域?y≥x, 内的点到点 M(-1, x+1 x+1 ?4x+3y≤12 ?
-1)连线的斜率.如图,显然 z 的值满足 kMA≤z≤kMB,kMA=1,kMB=5,故 x+2y+3 1≤z≤5,所以 3≤ ≤11. x+1

第23讲 │ 要点热点探究
? 1 ? 1?? 1? ? ? n∈N,n>1.求证:?1+3??1+5???1+2n-1?> ? ? ?? ? ? ?

2n+1 . 2

【解答】 证明:问题等价于证明 ? 1 ? 1?? 1? ? ? ? ?1+ ??1+ ???1+ 3?? 5? ? 2n-1? 1 ? ? >2, 2n+1 ? 1 ? 1?? 1? ? ? ? ?1+ ??1+ ???1+ 3?? 5? ? 2n-1? ? ? 构造函数 f(n)= ,通过函数的单调性解 2n+1 决问题. 1 1 1 1+31+5?1+ 2n-1 设 f(n)= (n≥2),则 2n+1

第23讲 │ 要点热点探究
1? 1? 1 ?1+ ??1+ 1+3 5? ? 2n+1

f?n+1? = × f?n? 2?n+1?+1 2n+1 2?n+1? 2?n+1? = > =1, 1? 1? 1 4?n+1?2-1 4?n+1?2 1+3?1+5??1+ ? ? 2n-1 即 f(n+1)>f(n),即函数 f(n)单调递增,所以 f(n)>f(2). 4 3 16 16 1 1 f(2)= = 45> 64=2,故 f(n)>2, 5 ? ? 1 ? 2n+1 1?? 1? ? 所以?1+3??1+5????1+2n-1?> 2 . ? ? ?? ? ? ?

第23讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.分类讨论的几种情况 (1)由数学的概念、 图形的位置等引发的分类讨论: 数学中的概念有些就是分 类的,如绝对值的概念、直线的斜率的概念等,如果试题中涉及这些概念,就要 进行分类讨论; (2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论:一些数学定理和公式是分 类的,不同的情况公式的形式,如数列的通项与前 n 项和的关系,等比数列的求 和公式等,试题中涉及这些时,就需要分类讨论; (3)由参数变化引发的分类讨论: 当要解决的问题中涉及参数时, 由于参数在 不同范围内取值时,问题的发展方向不同,这就要把参数划分为几个部分进行分 类解决; (4)问题的具体情况引发的分类讨论: 有些数学问题本身就要分情况解决, 如 概率计算中要根据要求, 分类求出基本事件的个数, 这种情况下也需要分类讨论.

第23讲 │ 规律技巧提炼
2.化归转化思想的几种情况 (1)化为已知:当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时,把所要 解决的问题化为已知问题,是化归的基本形式之一; (2)化难为易:化难为易是解决数学问题的基本思想,当我们遇到的问题是 崭新的,解决起来困难时,就要有把这个问题化为我们熟悉的问题,熟悉的问 题我们有解决的方法,就是容易的问题,这是化难为易的一个方面;当我们所 面临的问题正面解决较为困难时,从其反面考虑,也是化难为易的一个方面; (3)化繁为简:在一些问题中,已知条件或求解结论比较繁,这时就可以通 过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况,再解决问题,有时把问题中的 某个部分看做一个整体,进行换元,这种方法也是化繁为简的转化思想的体现; (4)化大为小:在解答综合性试题时,一个问题往往是由几个问题组成的, 整个问题的结论,是通过这一系列的小问题得出的,这种情况下,就可以把所 要解决的问题转化为几个小问题进行解决,这就是化大为小.

第23讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
备选理由:一些数学定理和公式是分类的,不同的 情况公式的形式,如数列的通项与前 n 项和的关系,等 比数列的求和公式等,试题中涉及这些时,就需要分类 讨论.例 1 是由数学的定理、法则、公式等引发的分类 讨论,可以和[要点热点探究]中的例题配合使用;在解 答综合性试题时,一个问题往往是由几个问题组成的, 整个问题的结论,是通过这一系列的小问题得出的,这 种情况下,就可以把所要解决的问题转化为几个小问题 进行解决,这就是化大为小,例 2 的目的就是如此.

第23讲 │ 教师备用例题
例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1, 数列{bn} 是首项为 1,公比为 b 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.
【分析】 (1)根据数列的通项和前 n 项和的关系,分类 求解;(2)等比数列的公比为 b,这里的 b 可能为 1,要分情 况处理,同时要根据第一问的结果确定求和的方法,根据经 验,数列{an}从第二项起成等差数列,这样一个等差数列和 一个等比数列对应项乘积组成的数列,可以使用错位相减的 方法求和.

第23讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1. ?2,n=1, ? 所以 an=? ?2n-1,n≥2. ? (2)当 b=1
?2,n=1, ? 时,anbn=? ?2n-1,n≥2. ?

此时 Tn=2+3+5+?+(2n-1)=n2+1;

第23讲 │ 教师备用例题
当 b≠1
?2,n=1, ? 时,anbn=? n- 1 ??2n-1?b ,n≥2. ?

此时 Tn=2+3b+5b2+?+(2n-1)bn-1,① 两端同时乘以 b 得,bTn=2b+3b2+5b3+?+(2n-1)bn.② ①-②得, (1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+?+2bn-1-(2n-1)bn =2(1+b+b2+b3+?+bn-1)-(2n-1)bn-b 2?1-bn? = -(2n-1)bn-b, 1-b 2?1-bn? ?2n-1?bn b 所以 Tn= - - . ?1-b?2 1-b 1-b

?n +1,b=1, ? 所以 Tn=?2?1-bn? ?2n-1?bn b - - ,b≠1. ? ?1-b?2 1-b 1-b ?
2

第23讲 │ 教师备用例题
例 2 已知 f(x)是二次函数,f′(x)是它的导函数, 且对任意的 x∈R, f′(x)=f(x+1)+x2 恒成立. t>0, 若 曲线 C:y=f(x)在点 P(t,f(t))处的切线为 l,l 与坐标 轴围成的三角形面积为 S(t).求 S(t)的最小值.

【分析】 本题首先要求出函数 f(x)的解析式,其次要求出函 数在点 P 处的切线 l 的方程,第三要求出切线 l 与两坐标轴围成 的三角形的面积 S(t),第四要求出 S(t)的最小值.

第23讲 │ 教师备用例题
【解答】 设 f(x)=ax2+bx+c(其中 a≠0),则 f′(x) =2ax+b,f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x +a+b+c. 由已知,得 2ax+b=(a+1)x2+(2a+b)x+a+b+c,

?a+1=0, ?a=-1, ? ? ∴?2a+b=2a, 解之得?b=0, ?a+b+c=b, ?c=1, ? ?
∴f(x)=-x2+1. 所以 P(t,1-t2),切线 l 的斜率 k=f′(t)=-2t, ∴切线 l 的方程为 y-(1-t2)=-2t(x-t), 即 y=-2tx+t2+1.

第23讲 │ 教师备用例题
从而 l 与 x 轴的交点为
?t2+1 ? A? ,0?,l ? 2t ?

与 y 轴的交点为

B(0,t2+1), ?t2+1?2 ∴S(t)= 4t (其中 t>0). ?t2+1?? 3t+1?? 3t-1? ∴S′(t)= . 4t2 3 3 当 0<t< 3 时,S′(t)<0,S(t)是减函数;当 t> 3 时, S′(t)>0,S(t)是增函数, ? 3? 4 3 ∴[S(t)]min=S? ?= 9 . ? 3 ?


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