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内蒙古包头一中2012-2013上学期期中考试高三文科数学试卷(含答案)

包头一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三年级文科数学试题
命题人:高明旺 审题人:李红梅

? 2 x ? y ? 4, ? 7. 设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?

(

)

A.有最大值 3,无最小值 C.有最小值-1,最大值
7 3

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数 i 3 (1 ? i)2 ? ( A.2 B.-2 ) C.

2i D. ?2i 5 2. ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ( ) 12 1 12 5 5 A. B. y ? ? C. D. ? 5 13 13 13
3. 设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( ) )

8. 函数 y ? 2 sin( ? 2 x) ( x ? [0 , ? ]) 为增函数的区间是( ) 6 ? ? 7? ? 5? 5? A. [0 , ] B. [ , C. [ , D. [ ] ] ,?] 3 12 12 3 6 6 ? ? ? ? ? b 9. 已知向量 a ? ( 3,1) , b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a? ? 3 ,则 b ? ( A. (
3 1 , ) 2 2 1 3 B. , ( ) 2 2 133 C. , ( ) 4 4

?

)

D. 0 ) (,1
( D.2 ? )

10. 函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期为
A.

A.15 B. 16 C.49 D.64 4. 已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则向量 c 等于( A.- C.-
1 3 a+ b 2 2 3 1 a- b 2 2

? 4

B.

? 2

C. ?

B.

1 3 a- b 2 2 3 1 a+ b 2 2

11. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 5 的零点个数为 A.1 ) 12. 函数 f(x)=
1 1 A.[- , ] 4 4 1 1 C.[- , ] 2 2

( C.0

) D.3 )

D.-

B.2

5. 对任意实数 a、b、c,在下列命题中,真命题是( A.“ ac ? bc ”是“ a ? b ”的必要条件 B. “ ac ? bc ”是“ a ? b ”的充分条件 C.“ ac ? bc ”是“ a ? b ”的充分条件 D. “ ac ? bc ”是“ a ? b ”的必要条件 6. 设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1

sin x (0≤x≤2 ? )的值域是( 5 ? 4 cos x

1 1 B.[- , ] 3 3 2 2 D.[- , ] 3 3

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5


1 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
1 1 13. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为_______ a b 1 14. 数列{ 2 }的前 n 项和为 Sn,则 S12 ? _______ 4n -1

C.2

D.

15. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, Sn ? 2an?1 ,则 an ? __________

16. 给出下列四个函数: (1) y ? sin x ? cos x (3) y ? sin x cos x (2) y ? sin x ? cos x (4) y ?
sin x cos x

20. (本小题满分 12 分)
1 a 1 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , n ?1 ? , bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N * ). . 4 an 4 4

其中在 (0, ) 上既无最大值又无最小值的函数是______(写出全部正确结论的序号) 2

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤.
17.(本小题满分 10 分) ? 1 已知 tan( ? ? ) ? 4 2 (1)求 tan ? 的值; (2)求
sin 2? ? cos 2 ? 的值。 1 ? cos 2?

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1) 若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2) 若 x∈[-1,2] ,y∈[-1,1] ,求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 8) x ? a ? ab , 当 x ? ( ?3 , ? 2 ) , f ( x )? 0; 当 时
x ? ( ? ? ??) , 3

时, ( 2? ? )f ( x) ? 0 ,

22. (本小题满分 12 分)

(1)求 f ( x) 在 [?1,1] 上的值域 (2)c 为何值时, ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n? N * ,都有 an ? 0 且 Sn ? 令 bn ?
ln an ?1 . ln an

? an ? 1?? an ? 2 ? ,
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; 19. (本小题满分 12 分)
5 3 △ ABC 中,D 为 BC 边上一点, BD ? 33 , sin B ? , cos ?ADC ? , 求 AD. 13 5

(2)使乘积 b1 ? b2 ????? bk 为整数的 k (k ? N * ) 叫“龙数” ,求区间 ?1, 2012? 内的所有 “龙数”之和;

包头一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三年级文科数学参考答案
一、选择题 1~5:ADABD 二.填空题 6~10: ABCBB 11~12:AC

3 9 ? ? sin 2? ? cos 2 ? 5 代入得 ? 5 10 ? ? 4 1 ? cos 2? 6 1? 5
18.

??????????10 分

13.4 14.

12 25

?1 ? 15. an ? ? 1 ? 3 ? n ? 2 ? ?? ? ?2 ? 2 ?

n ?1 n?2
16. (2) (4)

解:由题目值 f ( x) 的图像是开口向下,交 x 轴于点 A(?3, 0) 和 B(2,0) 的抛物线,对称 轴方程为 x ? ?
1 2
??????????3 分

三.解答题 17.

?0 ? a (?3) 2 ? (b ? 8) ? ( ?3) ? a ? ab ? 那么有 ? 2 ?0 ? a ? 2 ? (b ? 8) ? 2 ? a ? ab ?

1 ? tan ? (1)解: tan( ? ? ) ? ? ? 4 1 ? tan tan ? 1 ? tan ? 4 ? 1 1 ? tan ? 1 由 tan( ? ? ) ? ,有 ? 4 2 1 ? tan ? 2 1 解得 tan ? ? ? 3 4

?

tan

?

? tan ?

? a ? 0 ? a ? ?3 解得 ? 或? ?b ? 8 ?b ? 5 ?a ? 0 经检验知 ? 不符合题意,舍去 ?b ? 8

??????????5 分

? ?????????3 分 ??????????5 分

所以 f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18

??????????6 分

sin 2? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? (2)解法一: 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos 2 ? ? 1

(1)由题意知,函数在 [?1, ?0.5] 内为减函数,在 [?0.5,1] 内为增函数 故 f (?0.5) ?
75 , 4 f (1) ? 12 75 ] 4
??????????9 分

2 s i ? ? c? s n o ? 2 c o? s 1 1 1 5 ? tan ? ? ? ? ? ? ? ???????10 分 2 3 2 6 1 1 解法二:由(1) n ? ? ? ,得 sin ? ? ? cos ? ,a t 3 3 1 1 2 2 ∴ sin ? ? cos ? 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? 9 9 9 4 2 2 ∴ cos ? ? 于是 cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? ??????????7 分 10 5 2 3 ??????????9 分 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? cos 2 ? ? ? 3 5

所以 f ( x) 在 [?1,1] 内的值域是 [12, (2)令 g ( x) ? ?3x 2 ? 5 x ? c

要使 g ( x) ? 0 的解集为 R,则需方程 ?3x 2 ? 5 x ? c ? 0 的根的判别式 ? ? 0 即 25+12c≤0,解得 c ? ?
19. 解:

25 ??????????12 分 12 3 ? 由 cos ?ADC ? ? 0知B ? ??????????1 分 5 2 12 4 由已知得 cos B ? ,sin ?ADC ? ,??????????4 分 13 5
从而 sin ?BAD ? sin( ?ADC ? B)

=sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B
4 12 3 5 33 .??????????8 分 ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
由正弦定理得

1 1 ? (3n ? 2) ? ( )n?1 .???????????????????????????11 分 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 ∴ Sn ? ? ? ( ) (n ? N * ) .??????????????????12 分. 3 3 4
= 21 【答案】解: (1) 设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y. Ω ={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)} 共包含 12 个基本事件;?????????????????? 3 分 其中 A={(0,0)(2,1)},包含 2 个基本事件. , 则 P( A) ?

AD BD , ? sin B sin ?BAD
所以 AD ?

BD ? sin B = sin ?BAD
an ?1 1 ? an 4

33 ?

5 13 =25 . ??????????12 分 33 65

2 1 ? .??????????????????? 6 分 12 6
b 的夹角是钝角,可得 a·b

20【答案】解: (Ⅰ)∵

(2) 设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a, <0,即 2x+y<0,且 x≠2y.

∴数列{ an }是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

1 n * 4 (Ⅱ)∵ bn ? 3log 1 an ? 2 ????????????????????????? 4 分
4

∴ an ? ( ) (n ? N ) .????????????????????????????3 分

??1 ? x ? 2, ? ? {( x, y ) | ? } ??1 ? y ? 1.
第 18 题答案图

∴ bn ? 3log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 .???????????????????? 5 分
n 4

1 4

? ?1 ? x ? 2, ? ?1 ? y ? 1, ? B ? {( x, y ) | ? } 2 x ? y ? 0, ? ? x ? 2 y. ?

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.??????????????6 分
* n (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2 (n ? N )

1 1 3 ?( ? )? 2 ? 1 则 P( B) ? B ? 2 2 2 ? .????????????12 分 ?? 3? 2 3

1 4

1 n * 4 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n ∴ Sn ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ??? (3n ? 5) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 于是 Sn ? 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ??? (3n ? 5) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4
两式①-②相减得

∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) , (n ? N ) .??????????????????????7 分 ① ②

??????????????????????????????????? 9 分

3 1 1 1 1 1 Sn ? ? 3[( )2 ? ( )3 ??? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4

22. (1)解:由于 S n ?

? an ? 1?? an ? 2 ?
2

? log 2 ? k ? 2 ? .
? a ? an ? 2 , 2
2 n

????? 8 分 ????? 9 分

令 log 2 ? k ? 2 ? ? m ,则 k ? 2 ? 2(m 为整数) ,
m

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?
2 1

a12 ? a1 ? 2 , 2

????? 1 分

由 1 ? 2 ? 2 ? 2012 ,得 3 ? 2 ? 2014 ,
m m

∴ m ? 2,3, 4,?,10 . ∴在区间 ?1, 2012 ? 内的 k 值为 2 ? 2, 2 ? 2,?, 2 ? 2 ,
2 3 10

整理得 a ? a1 ? 2 ? 0 , 解得 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 . ∵ an ? 0 , ∴ a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?
2 2

???? 10 分

其和为 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 3 10

?

? ?

?

?

?

? ? 22 ? 23 ? ? ? 210 ? ? 2 ? 9
????? 2 分
2 2 an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 ? 2 , ????? 3 分 ? 2 2

?

22 ? ?1 ? 29 ? 1? 2

? 18

????? 11 分 ????? 12 分

? 2026 .

化简得 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 , ∴ ? an ? an ?1 ?? an ? an ?1 ? 1? ? 0 . ∵ an ? 0 , ∴ an ? an ?1 ? 1 . ∴数列 ? an ? 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列. ∴ an ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 . (2)解:∵ bn ? ????? 6 分 ????? 5 分

ln an ?1 ln ? n ? 2 ? , ? ln ? n ? 1? ln an
ln ? k ? 2 ? ln 3 ln 4 ? ? ?? ln 2 ln 3 ln ? k ? 1?

∴ b1 ? b2 ????? bk ?

?

ln ? k ? 2 ? ln 2


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