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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)


1.3.1 函数的基本性质 课堂导学 三点剖析 一、函数单调性 【例 1】 证明函数 y=x- 1 在(0,+∞)上单调递增. x 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明. 证明:设任意 x1、x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1∵0<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>0,1+ 1 1 1 1 ( x ? x2 ) 1 -(x2)=(x1-x2)+ - =(x1-x2)+ 1 =(x1-x2)(1+ ). x1 x2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 1 >0. x1 x2 因此(x1-x2)(1+1x1x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=x- 1 在(0,+∞)上单调递增. x 温馨提示 1.函数单调性的证明不同于对它判断,应严格按单调性定义加以证明. 2.利用定义证明单调性,一般要遵循:(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差 变形〔将 f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形,一般要出现乘积形式,且有(x1-x2)的因式〕;(3) 判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论. 3.有时需要通过观察函数的图象, 先对函数是否具有某种性质做出猜想, 然后通过逻辑 推理,证明这种猜想的正确性,这是研究函数性质的一种常用方法. 【例 2】 f(x)是二次函数,且在 x=1 处取得最值,又 f( 2 )<f(π ),试判断 f(-2)与 f(2) 的大小. 思路分析:解决此题的关键是将 f(-2)与 f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解:由于 f(x)是二次函数,且在 x=1 处取得最值,因此 x=1 是二次函数的对称轴. 又∵1< 2 <π ,f( 2 )<f(π ),可以得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴二次函数的图象 开口方向向上,f(x)在(-∞,1)上单调递减. 由于 0 与 2 关于 x=1 对称,∴f(2)=f(0). ∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即 f(-2)>f(2). 温馨提示 利用函数的单调性比较两函数值的大小, 关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同 一单调区间上,才能进行比较. 二、函数的最值 【例 3】 求 f(x)=x+ x ? 1 的最小值. 思路分析:该题函数 f(x)由 x 与 x ? 1 相加构成,x 与 x ? 1 具有相同的单调性,因此该 题可借助单调性直接解决,同时由于 x 的次数不一致,出现了相当于 2 倍的关系,因此该题 也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决. 解法一:f(x)=x+ x ? 1 的定义域为[1,+∞],在[1,+∞]上 x、 x ? 1 同时单调递增, 因此 f(x)=x+ x ? 1 在[1,+∞]上单调递增,最小值为 f(1)=1+ 1 ? 1 =1. 解法二:f(x)=x+ x ? 1 的定义域为[1,+∞] ,令 x ? 1 =t≥0,x=t +1, 2 ∴f(x)=g(t)=t +1+t=t +t+1=(t+ 2 2 1 2 3 ) + (t≥0). 2 4 由于 g(t)的对称轴 t=- 1 在[0,+∞)的左侧,g(t)的开口方向向上,如右图所示.二次 2 函数在[0,+∞)上单调递增,当 t=0 时,g(t)min=1,∴f(x)的最小值为 1. 温馨提示 1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值, 其中解法二是利用换元法, 将原函数 转化为已知二次函数在给定区

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