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北京市西城区2015届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

北京市西城区 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 2 1. (5 分)设集合 A={﹣1,0,1},B={x|x ﹣x<2},则集合 A∩B=() A. {﹣1,0,1} B. {﹣1,0} C. {0,1} D. {﹣1,1} 2. (5 分)设命题 p:? 平面向量 和 ,| ﹣ |<| |+| |,则?p 为() A. ? 平面向量 和 ,| ﹣ |≥| |+| | C. ? 平面向量 和 ,| ﹣ |>| |+| | B. ? 平面向量 和 ,| ﹣ |<| |+| | D. ? 平面向量 和 ,| ﹣ |≥| |+| | 3. (5 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=2b,sinB= A. A= B. A= C. sinA= D. sinA= ,则() 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. (5 分)设函数 f(x)=3x+bcosx,x∈R,则“b=0”是“函数 f(x)为奇函数”的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 -1- 6. (5 分)一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是() A. 最长棱的棱长为 B. 最长棱的棱长为 3 C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 D. 侧面四个三角形都是直角三角形 7. (5 分)已知抛物线 C:y =4x,点 P(m,0) ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点 Q, 使得∠OQP=90°,则实数 m 的取值范围是() A. (4,8) B. (4,+∞) C. (0,4) D. (8,+∞) 2 8. (5 分)设 D 为不等式组 表示的平面区域,点 B(a,b)为坐标平面 xOy 内 一点,若对于区域 D 内的任一点 A(x,y) ,都有 A. 2 B. 1 C. 0 成立,则 a+b 的最大值等于() D. 3 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)复数 ,则|z|=. 10. (5 分)设 F1,F2 为双曲线 C: =1(a>0)的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 上一点, 如果||PF1|﹣|PF2||=4,那么双曲线 C 的方程为;离心率为. 11. (5 分)在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成等差数列,每列中 的各数从上到下成等比数列,那么 x+y+z=. 2 x 3 y a -2- z 12. (5 分)如图,在△ABC 中,以 BC 为直径的半圆分别交 AB,AC 于点 E,F,且 AC=2AE,那 么 =;∠A=. 13. (5 分)现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序,要求 2 个小品节目之间恰好 有 3 个唱歌节目,那么演出顺序的排列种数是. (用数字作答) 14. (5 分)设 P,Q 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 θ (0<θ <2π )角后能与自身重合,那么符合条件的直线 PQ 有条. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 设点 B 是图象上的最高点,点 A 是图象与 x 轴的交点,求 tan∠BAO 的值. 16. (13 分)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 (2)购买基金: 投资结果 获利 20% 概 率 (Ⅰ)当 p 时,求 q 的值; 不赔不赚 亏损 10% q -3- (Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们 中至少有一人获利的概率大于 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方 案中选择一种,已知 , ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数 学期望较大?给出结果并说明理由. 17. (14 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,∠BAD=90°,AD∥BC,且 A1A=AB=AD=2BC=2,点 E 在棱 AB 上,平面 A1EC 与棱 C1D1 相交于点 F. (Ⅰ)证明:A1F∥平面 B1CE; (Ⅱ)若 E 是棱 AB 的中点,求二面角 A1﹣EC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 B1﹣A1EF 的体积的最大值. 18. (13 分)已知函数 f(x)=ax ﹣bx(a>0)和 g(x)=lnx 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 (Ⅱ)已知 a=b,求切点 P 的坐标. ,求 a,b 的值; 2 19. (14 分)已知椭圆 C: >4)满足条件 . 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0) (m (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,记△PMF 和△PNF 的面积分别为 S1,S2, 求证: . 20. (13 分)设函数 f(x)=x(9﹣x) ,对于任意给定的 m 位自然数 n0= (其 中 a1 是个位数字,a2 是十位数字,?) ,定义变换 A:A(n0)=f(a1)+f(a2)+?+f(am) .并 规定 A(0)=0.记 n1=A(n0) ,n2=A(n1) ,?,nk=A(nk﹣1) ,?. (Ⅰ)若 n0=2015,求 n

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