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广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题


广东省汕头市金山中学 2013-2014 学年高一上学期 期末考试数学试题
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? (
2

)

A.

{2}

B.

{?2}

C.

{?2, 2}


D. ?

2.若 log 2 a ? log 2 b ? 0 ,则( A. C.

0 ? b ? a ?1 b ? a ?1

B. 0 ? a ? b ? 1 D. a ? b ? 1

3.已知 a ? (?3,2) , b ? (?1,0) ,向量 ?a ? b 与 b 垂直,则实数 ? 的值为( ) A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 3

D. ?

1 3


4.函数 y ? sin( x ? ? ) , (0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A.0 B.

1 2

? 4

C. ?

2


D. ?

5.函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2

6.函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是(
x



1 1 B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 2 2 7.在 ?ABC 中,若 0 ? tan A ? tan B ? 1 ,那么 tan C 的值( )
A. (0, ) A.恒大 于 0 B.恒小于 0 C.可能为 0 D.可正可负 8.在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 3DC ,则 AD = ( ) A. ?

????

3 7 b? c 4 4

B.

3 1 b? c 4 4

C.

3 1 b? c 4 4

D.

1 3 b? c 4 4


9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 2 ? x ? 2 ,则( A. f (sin

?

) ? f (sin ) 3 6

?

B. f (sin

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

C. f (cos ) ? f (cos

?

?
4

3

)

D. f (tan

?

) ? f (tan ) 6 4

?

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,若存在常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则称函数 f ( x) 为

F ? 函数.给出下列函数:① f ( x) ? x 2 ;② f ( x) ?

x x ;③ f ( x) ?2 ;④ f (x) ?sin2 x .其中是 F ? x ?1
2

函数的序号为( ) A.①② B.①③ C .②④ D.③④ 二、填空题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)请把答案填写在答题卡相应的位置上. 11.已知 sin ? ?

1 ? ,则 cos( ? ? ) 的值为______________. 2 2
?0( x ? 0) ,则 f ( f (?1)) 的值等于______________. ?? ( x ? 0)
[来源:学科网]

12.已知函数 f ( x ) ? ?

13.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 14.函数 y ? 2 sin(2 x ?

?

?

?
6

? ,那么 a ? b 等于 3



)( x ? [0, ? ]) 为减函数的区间是______________.

15.若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是___________. 1

?log 2 x, x ? 0 ? ? ?
2

16.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ,若 f ( x ) ? a ? 1 对 x

一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________. 三、解答题(本大题共有 5 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( ) 的值;

3 cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 .

?

3

(2)若 x ? (0,

?
2

) ,求函数 f ( x) 的最大值.

18. (本题满分 14 分)已知函数 f ?x ? ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 示. (1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)若 ? ? ? ?

?
2

?? ?

?
2

), 其部分图象如下图所

3 ? ? ?? , ? ,且 f (? ) ? ,试求 sin ? 的值. 5 ? 6 6?

19.(本题满分 14 分)为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元. 根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆 .设每辆自行车的日租金 x (元) (3 ? x ? 20, x ? N ) ,用 y (元)表示 出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
?

20. (本题满分 14 分)设函数 g ( x) ?

x ( x ? 0) , f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中 a ? 0 ,区间 2 1? x

I ? {x f ( x) ? 0}
(1)证明:函数 g ( x) 在 (0,1] 单调递增; (2)求 I 的长 度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (3 )给定常数 k ? (0,1) ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.

21. (本题满分 14 分)设 a 为非负实数,函数 f ( x) ? x x ? a ? a . (1)当 a ? 2 时,求函数的单调区间; (2)讨论函数 y ? f ( x) 的零点个数,并求出零点.

高一数学期末考试试题参考答案 BBDCA ABCBC

(2)∵ f ( x) ?

1 3 3 cos 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ………8 分 2 2

? 2 sin(2 x ?
∵0 ? x ?

?

?
?
2

, ∴

?
3

3

) ? 1 ………10 分

? 2x ?
x?

?
3

?

2x ?
∴当

3 3

?

?

?

4? 3 ………11 分

2 时,即

12 时,

sin(2 x ?

?

) 有最大 值 1,此时,函数 f ( x) 有最大值 3. ………14 分

18.解: (1)由图象知 A ? 1, T ? 4( 将 (

,1) 代入 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,得 sin( ? ? ) ? 1, 6 6 ? ? ? 2? ? ? ? ? 因为 ? < ? < ,? ? ?? ? ,所以 ? ? ? ,即 ? ? ………5 分 2 3 6 3 6 2 3 2

?

2? ? 2? ? ) ? 2? , ? ? ? 1, 3 6 T

………3 分

?

所以 f ( x) ? sin(x ? (2)因为 f (? ) ?

?

??

? 4 ? cos(? ? ) ? ………9 分 6 6 6 3 2 3 5 ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 3 3 3 3 3 3 3 1 4 3 3 4 3 ? ? ? ? ? ? ………14 分 5 2 5 2 10 10
?? ? ,? ?? ? ? ,
19. 解: (1)当 3 ? x ? 6, x ? N * 时, y ? 50 x ? 115 ………3 分 当 6 ? x ? 20, x ? N * 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115 ………6 分

?

?

?

3 ? 3 ,所以 sin(? ? ) ? 5 3 5

3

), x ? R ………6 分
………7 分

?

?



(3 ? x ? 6, x ? N *) ?50 x ? 115 y ? f ( x) ? ? ………7 分 2 ?? 3 x ? 68 x ? 115 (6 ? x ? 20, x ? N *) (3 ? x ? 6) , (2)对于 f ( x) ? 50 x ? 115
[来源:学.科.网]

∵ f ( x) 在 [3,6] 递增, ∴当 x ? 6 时, y max ? 185 (元) ………9 分

34 2 811 2 ) ? (6 ? x ? 20) 对于 f ( x) ? ?3x ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? 3 3 34 34 ∵ f ( x) 在 [6, ] 递增,在 [ ,20 ] 递减 3 3 ? 又 x ? N ,且 f (11) ? f (12) ………12 分
………13 分 ,∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多 . ? 270 ? 185 ………14 分 当 x ? 11 时, y max ? 270 (元)

(3) 由(1)知, g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ?

( x1 ? x 2 )(1 ? x1 x 2 ) 2 (1 ? x12 )(1 ? x 2 )
2 2

若 1 ? x1 ? x 2 ,则 x1 ? x 2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 0 , 1 ? x1 ? 0 , 1 ? x2 ? 0 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ∴ g ( x) 在 [1,??) 单调递减,………9 分 由(2)知, I ? g (a) ?

a ,又∵ k ? (0,1),0 ? 1 - k ? 1,1 ? 1 ? k ? 2 , 1? a2 ∴函数 g ( a ) 在 [1 ? k ,1] 单调递增, g ( a ) 在 [1,1 ? k ] 单调递减;………11 分 ∴当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时, I 长度的最小值必在 a ? 1 ? k 或 a ? 1 ? k 处取得, 1? k g (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2 2 ? k 2 ? k 3 ? ? ? 1 ,又 g (1 ? k ) ? 0 而 1? k g (1 ? k ) 2 ? k2 ? k3 1 ? (1 ? k ) 2 故 g (1 ? k ) ? g (1 ? k ) ………13 分 1? k . ………14 分 2 ? 2k ? k 2 2 ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 2 21.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x x ? 2 ? 2 ? ? 2 , ----1 分 ? ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 2 2 2 ① 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 3 , ∴ f ( x) 在 (2, ??) 上单调递增; - -----2 分
所以 当a ? 1 ? k时,I取最小值g (1 ? k ) ? ② 当 x ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 1 ,
2 2

∴ f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减,在 (??,1) 上单调递增;

---------3 分

综上所述, f ( x) 的单调递 增区间 是 (??,1) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 (1, 2) . (2)①当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | ,函数 y ? f ( x) 的零点为 x0 ? 0 ; ②当 a ? 0 时, f ( x ) ? x x ? a ? a ? ? 故当 x ? a 时, f ( x) ? ( x ? ) ?
2

------4 分

-----5 分 --------6 分

? x ? ax ? a, x ? a ? , 2 ? ? ? x ? ax ? a, x ? a
2

a2 a ? a ,二次函数对称轴 x ? ? a , 4 2 ∴ f ( x) 在 (a, ??) 上单调递增, f (a) ? ?a ? 0 ; -----------7 分 a 2 a 2 a2 a 当 x ? a 时, f ( x) ? ?( x ? ) ? ? a ,二次函数对称轴 x ? ? a , 2 4 2 a a ∴ f ( x) 在 ( , a) 上单调递减,在 ( ??, ) 上单调递增; ------------8 分 2 2 a a 2 a a2 又 f ( ) ? ?( ) ? a ? ? a ? ?a, 2 2 2 4 a 1? 当 f ( ) ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴只有唯一交点,即唯一零点, 2 2 由 x ? ax ? a ? 0 解之得
[来源:学#科#网]

函数 y ? f ( x) 的零点为 x0 ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 或 x0 ? (舍去) ; --------10 分 2 2

a 2? 当 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴有两个交点,即两个零点,分别为 x1 ? 2 和 2 a ? a 2 ? 4a x2 ? ? 2?2 2 ; ------11 分 2 a 3? 当 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 时,函数 f ( x) 与 x 轴有三个交点,即有三个零点, 2 a ? a 2 ? 4a 2 由 ? x ? ax ? a ? 0 解得, x ? , 2
a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 和 x0 ? . 2 2 综上可得,当 a ? 0 时,函数的零点为 0 ;
∴函数 y ? f ( x) 的零点为 x ? 当 0 ? a ? 4 时,函数有一个零点,且零点为 当 a ? 4 时,有两个零点 2 和 2 ? 2 2 ; 当 a ? 4 时,函数有三个零点
[来源:学,科,网][来源:学科网 ZXXK]

-------12 分

a ? a 2 ? 4a ; 2

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 和 . 2 2

-----------14 分


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