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2014深圳一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
一、选择题: 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4} ,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R},集合 C ? A A. {2,0,1, 4} B. {1, 2, 3, 4} C. {1, 2, 4} ) D. ?

B .则集合 C 可表示为(



D. {x 0 ? x ? 4, x ? R}

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = ( A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2


C. ?

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

3.下列函数中,为奇函数的是(

1 A. y ? 2 ? x 2
x

B. y ? x, x ??0,1?

C. y ? x ? sin x

?1, x ? 0 ? D. y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

4.“ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 a 的值为( ) A. 2 6.( x ? B.
1 3



C. ?

1 2

D. ?3

1 4 ) ) 的展开式中常数项为( 2x 1 1 3 A. B. ? C. 2 2 2

y
D. ?
3 2

2
1

C

y ? x2 ? 1 y ? x ?1 B

7.如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中 阴影部分) .随机往矩形 OABC 内投一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是( A.
1 18



B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

O

1 x A 图2

x

8.在平面直角坐标系中,定义两点 P( x1 , y1 ) 与 Q( x2 , y2 ) 之间的“直角距离”为 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .给 出下列命题: (1)若 P(1, 2) , Q(sin ? , 2cos ? )(? ? R) ,则 d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 5 ;
2 2 (2)若 P, Q 是圆 x ? y ? 1上的任意两点,则 d ( P, Q) 的最大值为 2 2 ;

(3)若 P(1,3) ,点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d ( P, Q) 的最小值为

1 . 2

其中为真命题的是( ) A. (1) (2) (3) B. (1) (2) C. (1) (3) D. (2) (3) 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f(x)? 2x ? 4 的定义域为 .
正视图 侧视图

10.某几何体的三视图如图 3 所示,其正视图是边长为 2 的正方形,侧视图和俯视图 都是等腰直角三角形,则此几何体的体积是 .
俯视图 1 图3

11.已知双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦点,且双曲线 C 的渐近 与椭圆 a 2 b2 9 4


线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为

? x ? y, ? 12.设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x, 向量 a ?(2 x ? y, m), b ?(?1, 1).若 a?//?b ,则实数 m 的最大值为 ? x ? 1, ?
13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ? .



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

? ? x ? t, 若曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 2 y ? 1 ? t . ? ?

? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个.
15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径, TA 是⊙ O 的切线, 过 A 作弦 AC //BT ,若 AC ? 4 , AT ? 2 3 ,则 AB ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 (

π , 1) . 12

2 2 2 (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? b ? c ? ab ,且

f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

2

17. (本小题满分 12 分)某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机抽 查了该市当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图 5(1) ) :
网购金额 (单位:千元)
频率 组距

频数

频率

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

(0, 0.5] (0.5,1]
(1,1.5] (1.5, 2]
(2, 2.5] (2.5,3]
合计 (1)

3

0.05
p

x
9
15 18
y

0.15
0.25 0.30
q

60

1.00
图5

金额(千元)

0

0.5

1

1.5
(2)

2

2.5

3

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过 2 千元的顾客定义为“非网购达人”,已知 “非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3 : 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5(2)). (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确 定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设 ? 为选取的 3 人中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和 数学期望.

18. (本小题满分 14 分)如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直 AF // 平面 CDE ; 角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . (1)求证 : (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

D A

C
B F
图6

E

3

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 4(n ? 1)(Sn ? 1) ? (n ? 2)2 an (n ? N? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

3 n ?1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

20. (本小题满分 14 分)如图 7,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛

物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

3 2 . (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; 4

(2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出

? 的值;若不存在,请说明理由.

y

l

M B
Q

P

O

x

图7

A

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x)?

9x (a ? 0) . 1 ? ax2

1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; (2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值; 2 ?1 ? … ,x14 ? ? , 2 ? ,且 x1 + x2 + … + x14 ? 14 ,若不等式 f ( x1 )+ f( x2 )+ …+f( x14 )? ? 恒成立, (3)当 a ? 2 时,设 x1 ,x2 , ?2 ? 求实数 ? 的最小值.

4

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. {x x ? 2} ; 三、解答题 16.解: (1)由题意可得 f (

8 y2 2 ? 1; 10. ; 11. x ? 3 4

12. 6 ;

13. 2 ? 3

n ?1

? n ; 14. 1 ;

15. 2 6 .

π π ) ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 . ……………………………2 分 12 6 π π 7π π π π , ? ? ? ? , ?? ? . …………5 分 0 ? ? ? π ,? ? ? ? ? 6 6 6 6 2 3

(2)

a 2 ? b2 ? c2 ? ab , ? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,………………7 分 2ab 2

?sin C ? 1 ? cos 2 C ?

π 3 . …………8 分,由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 3 2

A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2


A ? ? 0, ? ? , ?sin A ? 1 ? cos2 A ?

2 ,………………10 分 2

sin B ? sin(π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 .……………12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变换,以及余弦定理等基 础知识,考查了简单的数学运算能力.
频率 组距

?3 ? x ? 9 ? 15 ? 18 ? y ? 60, ? 17.解: (1)根据题意,有 ? 18+y 2 ? . ? ? 3 ? x ? 9 ? 15 3
解得 ?

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

? x ? 9, ………2 分,? p ? 0.15 , q ? 0.10 . ? y ? 6.

补全频率分布直方图如图所示. ………4 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 10 人,则其中“网购达人” 有 10 ?

2 3 =4 人,“非网购达人”有 10 ? =6 人.………6 分 5 5

金额(千元)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

故 ? 的可能取值为 0,1,2,3;

5

P(? ? 0) ?

0 3 1 2 2 1 3 0 C4 C6 1 C4 C6 3 C4 C6 C4 C6 1 1 , , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? P ( ? ? 3) ? ? ……10 分 3 3 3 3 C10 2 C10 10 C10 30 C10 6

所以 ? 的分布列为:

?
p

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30

1 1 3 1 6 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 2 10 30 5

……………………12 分

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计 知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18.解: (法一) (1)取 CE 中点为 G ,连接 DG 、 FG ,

BF //CG 且 BF ? CG ,

? 四边形 BFGC 为平行四边形 ,则 BC //FG 且 BC ? FG . …………2 分
四边形 ABCD 为矩形, ? BC //AD 且 BC ? AD ,? FG //AD 且 FG ? AD ,

? 四边形 AFGD 为平行四边形 ,则 AF //DG . DG ? 面 CDE , AF ? 面 CDE ,? AF // 面 CDE …4 分
(2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线于 P ,连接 FP , EP , AP , EP // BC // AD , ? A , P , E , D 四点共面. 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形, ? EP ? CD , EP ? CE ,又 CD CE ? C , ? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE ,又 平面 ADE 平面 BCEF ? EP ,

D A

? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角…………7 分
DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?

CE 2 . ? DE 2 2 . …………9 分 2

C
B F P

E

即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为

(3)过点 F 作 FH ? AP 于 H ,连接 EH , 根据(2)知 A , P , E , D 四点共面, EP // BC // AD , ? BC ? BF , BC ? AB ,又 AB BF ? B , ? BC ? 平面 ABP ,

D A

? BC ? FH ,则 FH ? EP .又 FH ? AP , ? FH ? 平面 ADE . ? 直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? HEF .…………11 分
DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 ,? FH ? FP sin 450 ? 2 , C
H F P E

EF ? FP2 ? EP2 ? 2 2 , HE ? 6 ,? cos ?HEF ?

HE 6 3 . ? ? EF 2 2 2

B

即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . …………………14 分 2

(法二) (1) 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,? BC ? CE , BC ? CD , 又 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且平面 ABCD 平面 BCEF ? BC , ? DC ? 平面 BCEF .

6

以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴, CD 所在直线为 z 轴 建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:

z

D A

A(2,0, 4) , B(2, 0, 0) , C (0,0,0) , D(0,0, 4) , E(0, 4,0) , F (2, 2,0) ,
则 AF ? (0, 2, ?4) , CB ? (2,0,0) .……………2 分

BC ? CD , BC ? CE , ? CB 为平面 CDE 的一个法向量.


C
B x

o

E F

y

AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,? AF // 平面 CDE .………4 分
? ? AD ? n1 ? 0, ? ? DE ? n1 ? 0.

(2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ?

??2 x ? 0 , 取 z1 ? 1,得 n1 ? (0,1,1) .…………6 分 AD ? (?2,0,0) , DE ? (0, 4, ?4) ,? ? 1 4 y ? 4 z ? 0 1 1 ?
DC ? 平面 BCEF ,? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,0, 4) ,

设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

CD ? n1 CD ? n1

?

4 2 . ? 2 4? 2

因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ,

2 . …………………9 分 2

EF ? (2, ?2,0) ,

? cos ? EF , n1 ??

EF ? n1 EF ? n1

?

?2 1 ? ? ,………12 分 2 2 2? 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ?

3 . 2

因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . ………………………14 分 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识,考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19.解: (1)当 n =1 时,有 4 ? (1 ? 1)(a1 +1 )( = 1+2) a1 ,解得 a1 =8 .
2

当 n =2 时,有 4 ? (2 ? 1)(a1 ? a2 ? 1) ? (2 ? 2) a2 ,解得 a2 =27 .……………2 分
2

(2) (法一)当 n ? 2 时,有 4( Sn ? 1) ?

(n ? 2) 2 an (n ? 1)2 an?1 ……①, 4( Sn ?1 ? 1) ? .……② n ?1 n

7

(n ? 2) 2 an (n ? 1) 2 an ?1 a (n ? 1)3 ①—②得: 4an ? ,即: n = .…………5 分 ? n ?1 n an?1 n3

?

an a ?1 a a2 = n3 = n?2 3 ? … ? 3 =1.? an =(n ? 1)3 (n ? 2) .………8 分 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3

另解: an ? 又

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 (n ? 1)3 n3 ? a1 ? ? ? a1 n3 (n ? 1)3

?

43 3 ? 2 ? (n ? 1)3 . 3 3

当 n =1 时,有 a1 =8 , ? an =(n ? 1)3 . …………………………8 分

(法二)根据 a1 =8 , a2 =27 ,猜想: an =(n ? 1)3 . ………………………………3 分 用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 8 ? (1 ? 1) ,猜想成立.
3

(Ⅱ)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即: ak =(k ? 1)3 . 那么当 n ? k ? 1 时,有 4(k ? 1 ? 1)(Sk ?1 ? 1) ? (k ? 1 ? 2)2 ak ?1 , 即: 4( Sk ?1 ? 1) ?

(k ? 2) 2 ak (k ? 1 ? 2)2 ak ?1 ,………①,又 4( S k ? 1) ? ,……② k ?1 k ?1?1 (k ? 3)2 ak ?1 (k ? 2)2 ak (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2)2 (k ? 1)3 ? = ? , k ?2 k ?1 k ?2 k ?1

①-②得: 4ak ?1 ?

解得 ak +1 ? (k ? 2)3 ? (k ? 1 ? 1)3 .? 当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 因此,由数学归纳法证得 an =(n ? 1)3 成立.………………………………………8 分 (3)

bn ?

n ?1 1 1 1 1 = ? ? ? , ……………………………10 分 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

? Tn =b1 ? b2 ? b3 ? …? bn?1 ? bn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?…? 2 ? < 2? ? ?…? ? 2 2 2 3 4 n (n ? 1) 2 2 ? 3 2 ? 3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? .………14 分 = ? ( ? ) ? ( ? ) ?…? ( ? )?( ? ) = ? ? 4 2 n ?1 4 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1
【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识,考查了学生的运算能力, y 以及化归与转化的思想. 20.解: (1) (法一) 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上,? p ? 1 .…………2 分
M B
Q
l

设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l ? 方程为 y ? x ? m ,

P

由?

? y ? x ? m, ? y ? 2 x,
2

得 x ? (2m ? 2) x ? m ? 0 ,
2 2

O
A

x

图7 8

? ? (2m ? 2)2 ? 4m2 ? 4 ? 8m ,? 由 ? ? 0 ,得 m ?

两直线 l 、 l ? 间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

1 1 ,则直线 l ? 方程为 y ? x ? . 2 2

b?
?有

1 2 3 2 ? ,解得 b ? 2 或 b ? ?1 (舍去) . 4 2

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2x . …………………………6 分
(法二) 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .……2 分

设M(

t2 , t( ) t ? R) 为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 d ? 2 t2 1 ? t ? b ? 0 ,? d ? [(t ? 1)2 ? 2b ? 1] , 2 2 2 2b ? 1 2b ? 1 3 2 ,由 ,解得 b ? 2 . ? 4 2 2 2 2

t2 ?t ?b 2 2



根据图象,有

t ? R ,? d 的最小值为

因此,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .…………………6 分 (2) 直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 , 得 ky ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 ,
2

由?

? y ? kx ? 2k ? 1, ? y ? 2 x,
2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

2 2 ? 4k , y1 y2 ? , k k

k1 ?

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? , k2 ? , …………………………9 分 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 k .…10 分 ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? 4k ? 2 ? 2 ? 4 3 k k 4k ? 1 ?2 ? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 2k ? 1 k ? 1 由? 得 xM ? , yM ? ,? k3 ? ,………13 分 ? 2k ? 1 k ?1 k ?1 3 ? y ? x ? 2, ?2 k ?1

? k1 ? k2 ? 2k3 .因此,存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立,且 ? ? 2 .……………………14 分
【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切 线方程,点到直线距离,最值问题等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力, 考查数形结合、化归与转化思想.

9

21.解: (1) f ?( x) ?

9[1? (1 ? ax 2 ) ? x ? 2ax] 9(1 ? ax 2 ) ,…………………………2 分 ? (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2
1 a 1 a (负值舍去) ,由 ? ? 2 ,解得 ? a ? 4 . 4 a 2 a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? (ⅰ)当 0 ? a ?

1 18 1 1 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f (2) ? .……3 分 2 4a ? 1 2 4 1 1 18 1 (ⅱ)当 a ? 4 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f ( ) ? .…………4 分 2 2 a?4 2
(ⅲ)当

1 1 a a ? a ? 4 时, 在 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,在 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 4 2 a a

1 a 9 a .…………………………………5 分 f ) = ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 ( 2 a 2a
? f ?(t ) ? ?1, (2)设切点为 (t , f (t )) ,则 ? ? f (t ) ? ?t ? 2a.

……………………………6 分

由 f ?(t ) ? ?1 ,有

9[1 ? at 2 ] ? ?1,化简得 a 2t 4 ? 7at 2 ? 10 ? 0 , 即 at 2 ? 2 或 at 2 ? 5 ,……① (1 ? at 2 ) 2
9t 53 4 a ? 2 ? 2 a ? t , …… ②,由①、②解得 或 .………9 分 a ? 1 ? at 2 4 9x ,由(2)的结论直线 y ? 4 ? x 为曲线 y ? f ( x) 的切线, 1 ? 2 x2

由 f (t ) ? ?t ? 2a ,有

(3)当 a ? 2 时, f ( x) ?

f (2) ? 2 ,? 点 (2, f (2)) 在直线 y ? 4 ? x 上,根据图像分析,曲线 y ? f ( x) 在直线 y ? 4 ? x 下方.…10 分
下面给出证明:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 4 ? x .

1 2

f ( x) ? (4 ? x) ?

2 9x 2 x3 ? 8 x 2 ? 10 x ? 4 ( 2 x ? 1) ( x ? 2) ? ? 4 ? x ? , 2 2 1 ? 2 x2 1? 2x 1? 2x

1 ? 当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? (4 ? x) ? 0 ,即 f ( x) ? 4 ? x .………………………12 分 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x1 ? x2 ?

? f ( x14 ) ? 4 ?14 ? ( x1 ? x2 ?

? x14 ) ,

? x14 ? 14 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

? f ( x14 ) ? 56 ?14 ? 42 .

? 要使不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
又 当 x1 ? x2 ?

? f ( x14 ) ? ? 恒成立,必须 ? ? 42 .……………13 分 ? x14 ? 14 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x14 ) ? 42 ,

? x14 ? 1 时,满足条件 x1 ? x2 ?

因此, ? 的最小值为 42 . …………………………………………………14 分 【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问 题,考查学生的分类讨论,计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.

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