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历年高考数学三角函数经典试题

基础公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 平方关系:

考题归类
1.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=

1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ?

2

)

3 , 求f(a)。 5

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

求 f( x )的最大值及最小正周期; (2) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1)

4 ? 的值. 5

2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 2 y

?π ? ( 2 )已知点 A ? , 0 ? ,点 P ?2 ?
y0 ?

3
是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是

P

PA 的中点,当

O

A

x

3 ?π ? , x0 ? ,π ? 时,求 x0 的值. ? 2 ?2 ?

【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

π? π? ?x ? ? , ( I) 求函数 f ( x ) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ?
π 2
,求函数

的值域; (II)(文)若函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

y ? f ( x) 的单调增区间.

(理)若对任意的 a ? R ,函数 必证明),并求函数

y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不

y ? f ( x),x ? R 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.
1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

1.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=

【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ?

2

)

3 , 求f(a)。 5

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) =

求 f( x )的最大值及最小正周期; (2) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1)

求 tan

4 ? 的值. 5
f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .

4.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数

(Ⅰ)求函数

? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ? π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

【相关高考 1】(湖南文)已知函数

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ?

(I)设 x ?

x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

5.三角与平面向量 例 5(湖北理)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0≤ AB ?

AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? .(I)求 ? 的取值范围;

(II)求函数

?π ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

【相关高考 1】(陕西)设函数 其中向量 a

f ?x ? ? a ? b ,
?
?4 ?

? ? (m, cos2x),b ? (1 ? sin 2x,1), x ? R ,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ? ,2 ? ,

(Ⅰ)求实数 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (文)(1)若 AB ?

AC ? 0 ,求 c 的值;(理)若∠A 为钝角,求 c 的取值范围;(2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值.

6 三角函数中的实际应用 例 6(山东理)如图,甲船以每小时 30

2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于

甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10

2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
AB
时,可以选与塔底

【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高

B

在同一水平面内的两个侧点

C



D

.现测得

?BCD? ?,? BDC ? ?, CD ?

C 测得塔顶 ,并在点 s

A 的仰角为 ?

,求塔高

AB .



120 A 2

B2

B1


105 A 1


7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式

?π π? f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

8.三角函数与极值 例 8(安徽文)设函数 其中 t ≤1,将

x x f ?x ? ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4, x ? R 2 2

f ?x ? 的最小值记为 g(t).

(Ⅰ)求 g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论 g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

易错题解析
例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(



D、等边三角形

例题 3

已知方程 x 且? 、 ?

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,
的值是_________________.

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 例题 8 例题 9

函数

f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

函数 f(x)= 若 2sin2α

? sin 2 ? ? 3sin ? , 则sin 2 ? ? sin 2 ?

的取值范围是

已知 ?? ? ? 求函数 求函数

? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。
2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

f ( x) ?

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?

4

? x) ? 3 的值域

例题 10

已知函数

上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。

3 ? f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2
2011 三角函数集及三角形高考题

]

1.(2011 年北京高考 9)在

ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

(D) 1

3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 重合,则 ? 的最小值等于

f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3

?

个单位长度后,所得的图像与原图像

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 则 y=_______.

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,

6. (2011 年安徽高考 9)已知函数 则

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

f ( x) ? f ( ) 6

?

对 x ? R 恒成立,且

f ( ) ? f (? ) 2 ,

?

f ( x) 的单调递增区间是

? ?? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 3 6? (A) ?

?? ? k? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 2? (B) ?
? ? ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?
2 2 2

? 2? ? ? k? ? , k ? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? (C) ?

7.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] 6 (A)

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] 3 (C)

?

[ ,? ) (D) 3

?

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.(2011 年北京高考 17)已知函数

?
6

) ? 1.

(Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求

? ? ?? ? , f ( x) 在区间 ? ? 6 4? ? 上的最大值和最小值。
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b ,

3. (2011 年山东高考 17)

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 在 ?ABC 中,内角

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。
5.(2011 年全国卷高考 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若

2a sin C ? b sin B .

A ? 750 , b ? 2, 求a,c .
ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

6.(2011 年湖南高考 17)在

(I)求角 C 的大小;(II)求

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R .

?

7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f ( x) ? sin( x ? 7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 2 5, 5, 2 .求证: [ f (? )] ? 2 ? 0 .

8.(2011 年广东高考 18)已知函数

f ( x) 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知 (Ⅰ)求

cos(? ? ? ) ?

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为

a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.
b 2 a。(I)求 a

10.(2011 高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 求 B。

;(II)若 c2=b2+

3 a2,

11.

1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 (2011 年湖北高考 17)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

(I) 求 ?ABC 的周长;(II)求

cos(A?C) 的值。
cos 2C ? ? 1 4

12. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 2011 三角函数集及三角形高考题答案

1.(2011 年北京高考 9)在

ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

a 5 5 2 ? ,a ? a b ? 1 5 2 1 ? 3 ? b ? 5, ?B ? ,sin A ? sin 4 3 所以 3 4 【答案】 3 【解析】:由正弦定理得 sin A sin B 又

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

(D) 1

【答案】D【解析】∵ a cos ∴ sin

A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin 2 B ,

A cos A ? cos2 B ? sin 2 B ? cos2 B ? 1 .

3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 重合,则 ? 的最小值等于

? f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3

个单位长度后,所得的图像与原图像

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

? y ? f ( x) 的图像向右平移 3 【解析】由题意将
2?

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 3

是此函数周期的整数倍 , 得

?

?k ?

?
3

(k ? Z )

,解得 ?

? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ?min ? 6 .

4.(2011 全国卷),设函数

(A)y=



单调递增,其图像关于直线

对称(B)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

(C)y= f (x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 4

对称(D)y= f (x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 2

对称

解析:解法一:f(x)=

? 2 sin(2x+ 2 )= 2 cos2x.所以 f(x)

π 在(0, 2

)单调递减,其图像关于直线 x =

π 2

对称。故选 D。

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 则 y=_______.

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,

答 案 : — 8. 解 析 : 根 据 正 弦 值 为 负 数 , 判 断 角 在 第 三 、 四 象 限 , 再 加 上 横 坐 标 为 正 , 断 定 该

角为第四象限角。

sin ? ?

y 2 5 对边 ?? 2 5 ? y ? ?8 斜边 = 16 ? y
f ( x) ? f ( ) 6

?

6. (2011 年湖南高考 9) 【解析】 若

对 x ? R 恒成立, 则

? ? ? ? f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 ? ? ? k? ? , k ? Z 6 3 2 , 所以 3
sin ?( ? ? ?) s i?n?( ? 2,



? ? k? ?

?
6

,k ?Z
. 由

f ( ) ? f (? ) 2

?

, (

k?Z

) , 可 知



s) i ? n?

, 所 以

0

? ? (2k ? 1)? ?
?
6

?
6

,k ?Z
,代入

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,得

f ( x) ? ? sin(2 x ?

?
6

)
,由

2 k? ?

?
2

剟2 x ?

?
6

2 k? ?

3? 2



k? ?


剟x

k? ?

2? 3

,故选 C.

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2 2 2 2 2 2 2bc 2, 7.(2011 四川高考 8)解析:由 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C 得 a ? b ? c ? bc ,即
cos A ?


1 ? 0? A? 2 ,∵ 0 ? A ? ? ,故 3 ,选 C.

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
1.【解析】:(Ⅰ)因为

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2 [高考资源网 KS5U.COM]

? ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ? 6 ) f ( x) 的最小正周期为 ? 所以
?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

2x ?
于是,当

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6
时,

f ( x)

取得最大值 2;当

2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.
f ( x) ? A sin (

?

?
3

x ? ?)

2.(2011 年浙江高考 18)已知函数

, x? R,

A?0,

0 ?? ?

?

2 . y ? f ( x) 的部分图像,如图所示,

P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期及 ?

的值;(Ⅱ)若点 R 的坐标为

(1, 0) ,

?PRQ ?

2? 3

,求

A 的值.

T?
2.(Ⅰ)解:由题意得,

2?

?

?6

3

y ? A sin( x ? ? ) P(1, A) 在 3 因为 的图像上

?

sin( ? ? ) ? 1. 0 ? 3 所以 又因为

?

?
2 2? 3
,所以

??

?
6
(Ⅱ)解:设点 Q 的坐标为

?
(

x0 , A ). , 由 题 意 可 知 3

x0 ?

?
6

?

,得

x0 ? 4 , 所 以 Q( 4,? A ), 连 接

PQ, 在 △ PRQ 中 , ∠ PRQ=

2? 3

,由余弦定理得

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 cos ?PRQ ? ? ? 2RP.RP 2 ,解得 A2=3。 2 3. 9 ? A2
又 A>0,所以 A=

3。
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos B b , 在 ?ABC 中,内角

3. (2011 年山东高考 17)

sin C 1 cos B ? , b ? 2 4 (Ⅰ)求 sin A 的值;(Ⅱ)若 ,求 ?ABC 的面积 S。

cos A ? 2 cos C 2c ? a cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ? cos B b 及正弦定理可得, cos B sin B 解:(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 ,
即 sin 则 sin

A sin B ? 2 cos C sin B ? 2sin C cos B ? sin A cos B A sin B ? sin A cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B

sin( A ? B) ? 2sin(C ? B)
cos A? 2 c o Cs ? cos B

,而

A? B ? C ? ?

,则

sin C ? 2 sA i n, 即

sin C ?2 s i nA

。另解 1:在

?ABC

中,由

c ?2 a b 可得, b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B

由余弦定理可得

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? ? 2c a a 2c

,整理可得

c ? 2a

,由正弦定理可得

sin C c ? ?2 sin A a







2



























?ABC









a? c b o s? C
bc o ? A s

cc o ? B s
b ? 2 C c

b,

c ? c o A s a ?

cC o ? c s由

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? , a B c o A bc o s可 cos Bbs
s



o? b cos s A? a B cos 2 B ?a 2c cos B o ?B 2b s cos C ,则 c c ? 2a , o 即c

sin C c 1 ? ?2 cos B ? , b ? 2 4 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ? 4a2 ? a2 ? a2 ? 4a2 , a 4 由正弦定理可得 sin A 。 (Ⅱ)由 c ? 2a 及 可得

1 1 15 ? ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? 2 4 则 a ? 1 , c ? 2 ,S 2
4.(2011 年安徽高考 16)在 BC 上的高.

S?
,即

15 4 。
3 ,b= 2 , 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边

ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a=

解: ∵A+B+C=180° , 所以 B+C=A, 又

1 ?2c o s ( B? ) C 0?

, ∴

1 ?2c o s ( 1 8 0

) ?A 0?

os , 即 1 ?2c

A0 ?

cos A ?


1 2,

b sin A 2 sin 60 2 a b sin B ? ? ? ? a 2 3 又 0°<A<180°,所以 A=60°.,在△ABC 中,由正弦定理 sin A sin B 得
又∵ b



? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°,∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75 ? 2 sin(45 ? 30 )

? 2(sin 45 cos30 ? cos 45 sin30 )

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? 2 2 2 2 2 .

5.(2011 年全国卷高考 18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? (Ⅰ)求 B;(Ⅱ)若

2a sin C ? b sin B .

A ? 750 , b ? 2, 求a,c .
? c ? 2ac ? b
2

【解析】(I)由正弦定理得 a

2

2

…由余弦定理得 b

2

? a ? c ? 2ac cos B .故
2 2

cos B ?

2 2

,因此 B ? 45



II



sin A ? sin(30 ? 45 )

? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45

?

2? 6 4



a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1 ? 3 c ? b ? sin C ? 2 ? sin 60 ? 6 sin B 2 sin B sin 45 .……………………………
ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

6.(2011 年安徽高考 17)在

(I)求角 C 的大小;(II)求 解 析 : ( I )

3 sin A ? cos( B ? ) 4 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.
由 正 弦 定 理 得

?

sin C sin A ? sin A cos C.





0 ? A ??,
n





s

A i ? n 从而 0

.C ?
?

又 s C i n

所以 ? Cc o

s

? 3? 则 . ? C c o s ? C B 0? , ? A. t a 4 (II)由(I)知 4 于是

1 ,

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 ? 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 2 sin( A ? ) 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 ,

?

综上所述,

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12
1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R .

7.(2011 年广东高考 16)已知函数

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.
f( 5? 1 5? ? ? ? 1 ? ? 10 ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? 4 3 4 6 4 2 3 2 6 13 , (2)

16 .解:( 1 )

sin ? ?


? ?? 5 1 ? ? 6 3 ? , ? ? ?0, ? f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? cos ? ? ? 2?, 13 , 3 6 2 5 ,即 5 ,∵
cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 12 13 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?




4 5



cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

f ( x) ? sin( x ?
8.(2011 年广东高考 18)已知函数

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 7? 3?
4 ) ? cos( x ?

) 4 ,x ? R.

4 4 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 2 f ( x ) 5, 5, 2 .求证: [ f (? )] ? 2 ? 0 . (Ⅰ)求 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知 7? 7? 3? 3? ? f ( x) ? sin x cos ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin ? 2sin( x ? ) ? 2 sin x ? 2 cos x 4 ,∴ f ( x) 的最 4 4 4 4 (Ⅰ)解析:
f ( x)min ? ?2 .Ⅱ)证明:由已知得 小正周期 T ? 2? ,最小值
式相加得 ∴

cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

4 4 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5, 5 ,两

2cos ? cos ? ? 0

0 ?? ? ? ?
,∵ .

?
2 ,∴

cos ? ? 0

??
,则

?
2.

[ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2

?
4

?2?0

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为

a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值;(2)若 ,求 sin C 的值.

解析:(1)

sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ? 6 3

?

?

(2)

1 cos A ? , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3

2 2c c ? sin C 由正弦定理得: sin A

sin A ? 1 ? cos2 A ?
,而

1 2 2 , ? sin C ? 3 。(也可以先推出直角三角形) 3


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