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山东滨州市07年高三第一次质检——数学(理)

山东省滨州市 2007年高三第一次复习质量检测

数学(理)试题
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂 写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改运,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.

m ? 1 ? ni , 其中 m, n都是实数 , i是虚数单位 , 则m ? ni ? ( 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i 3? x 2 ? 0}, 则M ? (CU N ) 等于( 2.设全集 U ? R, 集合 M ? {x | x ? 4}, N ? {x | x ?1
1.已知 A. {x | x ? ?2} C. {x | x ? 3} B. {x | x ? ?2或x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? 3}





3.条件 P: “直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍” ;条件 q: “直 l 的斜率为-2” , 则p是q的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( )

B.必要不充分条件 D.非充分也非必要条件
1

4. ( 2 x ?
3

1 x

) 7 的展开式中常数项是
B.-14 C.42 D.-42 ( C. (2,3) )





A.14 5.方程 2
x ?1

? x ? 5的解所在区间是
B. (1,2)

A. (0,1) 6.已知 F1、F2 的椭圆

D. (3,4)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 x 轴, a2 b2
( )

且 ?F 1MF2 ? 60?, 则椭圆的离心率为

A.

3 3

B.

3 2

C.

1 2

D.

2 2

7.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,

∠ABC=90°。点 E、F 分别是棱 AB、
BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成 的角是 A.45° B.60° C.90° D.120° 8.甲、乙两人相约 10 天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人,经过 3 天以后方可 离开,若他们在限期内到达目的的地的时间是随机的,则甲、乙两人能会面的概率为 ( ) A. ( )

3 10

B.

7 10

C.

49 100
x y

D.

51 100
( )

9.已知点 P( x, y)到A(0,4)和B(?2,0) 的距离相等,则 2 ? 4 的最小值为
2

A.2

B.4

C. 8 2
0 0 7

D. 4 2

10.将写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片分别放入标有 1,2,3,4,5 的 5 个盒子内,每个盒 子里放且只放 1 张卡片,那么 2 号卡片不在 2 号盒内且 4 号卡片不在 4 号盒内放法数等
0

于 A.42 B.72 C.78
2

1

( D.120



2

6

11.若函数 f ( x) ? ?

2a 1 ln( x ? 1)的图像在 x ? 1 处的切线 l 过点( 0, ? ) ,且 l 与圆 b b
( D.不能确定 ( B.是增函数,且 f ( x) ? 0 D.是减函数,且 f ( x) ? 0 )
2

C : x 2 ? y 2 ? 1 相离,则点(a,b)与圆 C 的位置关系是
A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上



12.设 f (x) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1)时, f ( x) ? log 1 (1 ? x) ,则

f (x) 在(1,2)上 A.是增函数,且 f ( x) ? 0 C.是减函数,且 f ( x) ? 0

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13.

?

2

0

(x2 ?

2 x)dx ? 3

.

14.一个几何的三视图如图所示:其中,正视图中△ABC 的边长是 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,那么该几何体几的体积为 .

15.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按 图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两 两垂直的三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示截面面积,那么 你类比得到的结论是 .

2

0

0

7

0

1

3
2 6

16.给出下列四个命题: ①存在 ? ? R, 使函数f ( x) ? cos(x ? ? ) 是奇函数; ②要得到函数 y ? sin( 2 x ? 位; ③函数 f ( x) ? sin 3 x ? | sin 3 x | 的最小正周期为

?
3

) 的图象, 只要将函数 y ? sin 2 x的图象向左平移
2? ; 3

?
3

个单

④函数 y ? tan x 的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形. 其中,真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共计 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中 ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x) , m

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x),其中? ? 0, 若f ( x) 相邻两对称轴间的距离小于
(Ⅰ)求 ? 的取值范围;

? . 2

(Ⅱ)在 ?ABC中 a, b, c分别是角 , B, C的对边, a ? 3, b ? c ? 3, 当?最大时, , A

f ( A) ? 1, 求?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)已知二次函数 y ? f (x) 的图像经过坐标原点,其导函数为

f ' ( x) ? 6x ? 2, 数列 an }的前n项和为S n ,点(n, S n )(n ? N*)均在函数y ? f ( x) 的图象 {
上. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 m , Tn 是数列 bn }的前n项和, 求使得Tn ? { , 对所有n ? N * 都成 an an?1 20

立的最小正整数 m.

4

19. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求点 A 到平面 PBD 的距离; (Ⅲ)求二面角 A—PB—D 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子 在一定条件下发芽成功的概率为

1 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. 3

(Ⅰ)第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子) ,求他们的实 验至少有 3 次发芽成功的概率; (Ⅱ)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子) ,如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但实验 的次数最多不超过 5 次,求第二小组所做种子发芽试验的次数 ? 的概率分布列和 数学期望.

5

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx2 ? c(a, b, c ? R, a ? 0)的图象

过点P(?1,2) ,且在点 P 处的切线与直线 x ? 3 y ? 0垂直.
(Ⅰ)若 c ? 0 ,试求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0, b ? 0且(??, m), (n,??)是f ( x) 的单调递增区间,试求 n ? m 的范围.

22. (本不题满分 14 分)已知定点 F(1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 做 PM 交 x 轴于 点 M,并延长 MP 到点 N,且 PM ? PF ? 0, | PM |?| PN | . (Ⅰ)求点 N 的轨迹方程; (Ⅱ) 直线 l 与点 N 的轨迹交于 A、 不同两点, OA ? OB ? ?4 , 4 6 ?| AB |? 4 30 , B 若 且 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

6

参考答案
一、选择题(第小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C 12 A 13 D

二、填空题(满分 74 分)

4 3 3 14. 2
13.
2 2 2 15. S12 ? S 2 ? S3 ? S 4

16.①③ 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos?x ? sin ?x

? cos2?x ? 3 sin 2?x
? 2 sin( 2?x ?
?? ? 0

?
6

) ??????????????3 分 2? ? ? , ??????????4 分 2? ?

?函数 f ( x)的周期 T ?
由题意可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 2 2 2? 2

解得 0 ? ? ? 1,即?的取值范围是 ? | 0 ? ? ? 1} ????????5 分 { (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?

6

)

? f ( A) ? 1
? sin( 2 A ? 1 ??????????6 分 6 2 ? ? 13 ? 而 ? 2a ? ? 6 6 6 )?
7

?

?2A ? ?A?

?

?

5 ? ? 6 6
????????????????8 分

3

b2 ? c2 ? a2 由余弦定理知 cos A ? 2bc

?b 2 ? c 2 ? bc ? 3
联立解得 ?

又b ? c ? 3 ??????????10

?b ? 2 ?b ? 1 ????????????????11 分 或? ?c ? 1 ?c ? 2
1 3 ????????????????????12 分 bc sin A ? 2 2

? S ?ABC ?

(或用配方法? (b ? c) 2 ? 3bc ? 3

b ? c ? 3, ?bc ? 2

? S ?ABC ?
18.解:

1 3 bc sin A ? .) 2 2

(Ⅰ)设二次函数为 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) ??????????1 分
2

f ?( x) ? 2ax ? b, ? f ' ( x) ? 6 x ? 2 ? a ? 3, b ? 2

? f ( x) ? 3x 2 ? 2x ??????????????????3 分
又?点(n, S n )(n ? N*)均在函数 ? f ( x) 的图象上. y

? S n ? 3n 2 ? 2n. ????????????4 分
当 n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 2n) ? [3(n ? 1) ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 ??5 分
2 2

当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2 ?1 ? 6 ?1 ? 5 ,满足上式 时
2

8

? an ? 6n ? 5(n ? N*) ????????????6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: bn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ) ???8 分 a n a n?1 (6n ? 5)(6n ? 1) 2 6n ? 5 6n ? 1
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 (1 ? ) ????????10 分 2 6n ? 1 1 1 m )? (n ? N *) 都成立 要使 (1 ? 2 6n ? 1 20 1 m 必须且只须 ? 2 20 ? m ? 10. ?

? 满足要求的最小正整数 为 . ??????????????12 分 m 10
19.解法一: (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 交于 O,连结 PO

? 底面ABCD是菱形 ? BD ? AC ? PA ? 底面ABCD, BD ? 平面ABCD ? PA ? BD, 又PA ? AC ? A
? BD ? 平面PAC ????????(3 分)
又? BD ? 平面PBD

? 平面PBD ? 平面PAC ????????(4 分)
(Ⅱ)作 AE ? PO于E,

? 平面PBD ? 平面PAC ? AE ? 平面PBD
所以 AE 为点 A 到平面 PBD 的距离.??????????????(6 分) 在 ?PAO中, PA ? 2, AO ? 2 ? cos30? ? 3, ?PAO ? 90?

9

? PO ? PA2 ? AO 2 ? 7 ? AE ? PA ? AO 2 3 2 21 ? ? PO 7 7

所以 A 点到平面 PBD 的距离为 (Ⅲ)作 AF ? PB于F , 连结EF,

2 21 ??????????8 分 7

? AE ? 平面PBD, ? AE ? PB

? PB ? 平AEF

PB ? EF

? ?AFE为二面角A ? PB ? D的平面角??????10 分
在 Rt?AEF中, AE ?

2 21 , AF ? 2 , 7

? sin ?AFE ?

AE 42 ? AF 7

cos?AFE ? 1 ? (

42 2 7 ) ? 7 7

所以二面角 A—PB—D 的余弦值为 解法二: (Ⅰ)设 AC 与 BD 交于 O 点

7 ??????????????12 分 7

? 底面是菱形 ? AC ? BD.
以 OA、OB 所在直线分别 x 轴,y 轴. 以过 O 且垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立 如图的空间直角坐标系,则

A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), D(0,?1,0), P( 3,0,2)

? DB ? (0,2,0), AP ? (0,0,2) ??????????2 分
DB ? AP ? 0 ? DB ? AP 又AC ? DB
10

? DB ? 平面PAC, 又DB ? 平面PDB
? 平面PBD ? 平面PAC ????????(4 分)
(Ⅱ)设平面 PDB 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

DP ? ( 3,1,2)
由?

DB ? (0,2,0)

?n1 ? DP ? 0 ? 3x ? y ? 2 z ? 0 2 3 ? 1 1 1 得? 令z1 ? 1得n1 ? (? ,0,1) ????6 分 3 ?n1 ? DB ? 0 ?2 y1 ? 0 ?
点A到平面PDB的距离d ? | n1 ? DA | 2 21 = ????8 分 7 | n1 |

DA ? ( 3 ,1,0)

(Ⅲ)设平面 ABP 的法向量 n 2 ? ( x2 , y2 , z 2 )

AP ? (0,0,2), AB ? (? 3,1,0)
? 3 ? x2 ? 3 ? AP ? n 2 ? 0 ?2 x 2 ? 0 ? ? ? 由? 得? 令y 2 ? 1得? y 2 ? 1 ? AB ? n 2 ? 0 ?? 3x 2 ? y 2 ? 0 ?z ? 0 ? ? 2 ? ?
? n2 ? ( 3 ,1,0) ????????10 分 3
(

?2 3 3 ,0,1)( ,1,0) n ?n 3 3 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 3 4 | n1 || n2 | ? 7 3
所以二面角 A—PB—D 的余弦值为

?

7 ????11 分 7

7 ??????????????12 分 7

20.解(Ⅰ)至少有 3 次发芽成功,即有 3 次、4 次、5 次发牙成功 设 5 次试验中发芽成功的次数为随机变量 X,则 P(X=3)= C 5 ( ) ? ( ) ?
3 3 2

1 3

2 3

40 ????????????1 分 243
11

1 2 10 P( X ? 4) ? C 54 ( ) 4 ? ? ??????????????2 分 3 3 243 2 1 5 1 P( X ? 5) ? C 5 ( ) 5 ? ? ????????????3 分 3 3 243
所以至少有 3 次发芽成功的概率 P ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)

?

40 10 1 51 ? ? ? ????????????4 分 243 243 243 243

(Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 1,2,3,4,5

1 P (? ? 1) ? ??????????????5 分 3 2 1 2 P(? ? 2) ? ? ? ??????????????6 分 3 3 9 2 1 4 P (? ? 3) ? ( ) 2 ? ? ??????????????7 分 3 3 27 2 1 8 P(? ? 4) ? ( ) 3 ? ? ??????????????8 分 3 3 81 2 4 16 P(? ? 5) ? ( ) ? 1 ? ??????????????9 分 3 81
所以 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5

1 3

2 9

4 27

8 81

16 81
????10 分

1 2 4 8 16 211 ? 的数字期望 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ????12 分 3 9 27 81 81 81
21.解: (1)由 f ( x) ? ax ? bx ? c的图象过点 (?1,2)知 ? a ? b ? c ? 2 ①????1 分 P
3 2

又? f ' ( x) ? 3ax ? 2bx.
2

? f ( x)在点P(?1,2)处的切线与 ? 3 y ? 0相互垂直 x
? 3a ? 2b ? ?3
②????????3 分

又 c ? 0, ①、②联立得: a ? 1, b ? 3.

12

? f ( x) ? 3x 2 ? 6x. ??????4 分
令f ' ( x) ? 0得 : x1 ? 0, x2 ? ?2 ?当x ? 0或x ? ?2时, f ( x)的单调递增区间 ?2,0)是f ( x) 的 单 调 递 减 区 .(
间.????6 分 (2)令 f ' ( x) ? 3ax
2

? 2bx ? 0, 得x 1 ? 0, x 2 ? ?

2b 3a

.

又? a ? 0, b ? 0,

?当x ? 0或x ? ?
即 ( ?? ,?

2b 时, f ' ( x) ? 0. 3a

2b ), (0,?? )是f ( x) 单调递增区间. 3a 2b 2b ? n ? m ? 0 ? (? ) ? . ??????????8 分 3a 3a
由(1)知: ? a ? b ? c ? 2且3a ? 2b ? ?3,

? a ? 1 ? 2c ? 0, b ? 3 ? 3c ? 0
?c ? 1 ????????????10 分 2

?n ? m ?
由c ?

2b 2(3 ? 3c) 2(1 ? c) 1 ? ? ? 1? ????????11 分 3a 3(1 ? 2c) 1 ? 2c 1 ? 2c

1 知1 ? 2c ? 0, 2 1 1 ? ? 0,1 ? ?1 2 ? 2c 1 ? 2c ? n ? m ? 1 ??????????????12 分 另解:由 3a ? 2b ? ?3 得:

3a ? 3 2 ?b ? 0 ? a ? ?1 又a ? 0 b?
? a ? 0. ????????????10 分
13

?n ? m ?

2b 3a ? 3 1 ? ? 1 ? ? 1 ??????12 分 3a 3a a

注:若用 b 表示 a,酌情给分. 22.解: (Ⅰ)由于 | PM |?| PN |, 则 P 为 MN 的中心,????????????1 分 设 N(x,y) ,则 M(-x,0),P(0, 由 PM ? PF ? 0,

y ) ,????????2 分 2

y y ) ? (1,? ) ? 0, 2 2 y y ? (? x) ? 1 ? (? ) ? (? ) ? 0, 2 2
得 ( ? x,?

? y 2 ? 4 x,
所以点 N 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x, ??????????5 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程是 y ? kx ? m(k ? 0), 与 y ? 4x联立消去 得 : y
2

(kx ? m) 2 ? 4x整理得k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m 2 ? 0, ????????6 分
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则: x1 ? x 2 ? ?

2km ? 4 m2 , x1 x2 ? 2 , k2 k

? y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ,
? m2 ? km (2km ? 4) 4m ? m2 ? , ????????7 分 2 k k

由 OA ? OB ? ?4得x1 x2 ? y1 y2 ? ?4,

m 2 4m ? 2 ? ? ?4, k k
14

即(

m ? 2) 2 ? 0, k

? m ? ?2k , ??????????9 分
由于直线与 N 的轨迹交于不同的两点, 则 ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 0,即km ? 1, 把 m ? ?2k代入上式得? 2k 2 ? 1,

?当k ? R且k ? 0时直线l与N的轨迹恒有两个不同交 , ??????10 分 点
而 | AB |?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

? (1 ? k 2 )[

(2km ? 4) 2 4m 2 ? 2 ] k4 k

16 ? 16km ? (1 ? k 2 )( ) k4

16 ? 32k 2 ? (1 ? k 2 )( ) k4
? 4 k2 (1 ? k 2 )( 2k 2 ? 1) ??????????????11 分

又因为 4 6 ?| AB |? 4 30,

(1 ? k 2 )(2k 2 ? 1) ?6 ? ? 30, k4
解得 ? 1 ? k ? ? 或

1 2

1 ? k ? 1, 2 1 1 或 ? k ? 1} .????????14 分 2 2

综上可知 k 的取值范围是 {k | ?1 ? k ? ?

15


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