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10.8线面角与线线角


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10.8 线面角与线线角
【知识网络】 1,异面直线所成的角: (1)范围: θ ∈ (0,

π
2

(2)求法; ];

2,直线和平面所成的角: (1)定义: (2)范围: [0 , 90 ] ; (3)求法; 3,一些常见模型中的角之间的关系. 【典型例题】 例 1: (1)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A,AC1 ⊥ AD B,D1C1 ⊥ AB 1 C,AC1 与 DC 成 45 角 ( )

D, A1C1 与 B1C 成 60 角

答案: 解析: 1C1 与 AD 成 45°, 1C1 与 AB 平行, 1 与 DC 所成角的正切为 D. A D AC

2 . 2

(2)在正方体 AC1 中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与 A1B 成 300 角的平面的 个数为 ( )

A,2 个 B,4 个 C,6 个 D,8 个 答案:B.解析:平面 A1ACC1,平面 BB1D1D,平面 ABC1D1,平面 A1D1CC1. (3)正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 底面边长是 1,侧棱长是 2 ,则这个棱柱的侧 面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是 A.90 B.60 C.45 D.30 ( )

答案:B.解析将 BC1 平移到 E1F 即可. (4)在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,BC⊥DA,那么对角线 AC 与 BD 的位置关系 是 . 答案:AC⊥BD.解析:过 A 作 AH⊥平面 BCD,垂足为 H,因为 CD⊥AB,BC⊥AD, 所以 CD⊥BH,BC⊥DH,故 H 为△BCD 的垂心,从而 BD⊥CH,可得 BD⊥AC. (5)点 AB 到平面 α 距离距离分别为 12,20,若斜线 AB 与 α 成 300 的角,则 AB 的 长等于__ ___. 答案:16 或 64.解析:分 A,B 在平面α的同侧和异侧进行讨论. 例 2: .如图:已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,AB=AC,F 为棱 BB1 上一点,BF:FB1 =2:1,BF=BC=2a. (I)若 D 为 BC 的中点,E 为 AD 上不同于 A,D 的任意一点,证明 EF⊥FC1; (II)试问:若 AB=2a,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60°角,为什么?证明你的结论.
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答案: (I)连结 DF,DC

∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,

∴CC1⊥平面 ABC,∴平面 BB1C1C⊥平面 ABC ∵AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC,AD⊥平面 BB1C1C ∴DF 为 EF 在平面 BB1C1C 上的射影, 在△DFC1 中,∵DF2=BF2+BD2=5a2, DC12 = CC12 +DC2=10a2,

FC1 =B1F2+ B1C12 =5a2, ∴ DC12 =DF2+ FC12 ,∴DF⊥FC1 FC1⊥EF
(II)∵AD⊥平面 BB1C1C,∴∠DFE 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角 在△EDF 中,若∠EFD=60°,则 ED=DFtg60°= 3 5a = 15a , ∴ 15a > 3a ,∴E 在 DA 的延长线上,而不在线段 AD 上 故线段 AD 上的 E 点不能使 EF 与平面 BB1C1C 成 60°角. 例 3: 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC A = 2 的矩形, 侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD. D (Ⅰ)证明:BC⊥侧面 PAB; B (Ⅱ)证明: 侧面 PAD⊥侧面 PAB; (Ⅲ)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小; C 答案: (Ⅰ)证: ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD, 且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, 在 矩形 ABCD 中, BC⊥AB,.∴BC⊥侧面 PAB. (Ⅱ)证: 在矩形 ABCD 中, AD‖BC, BC⊥侧面 PAB, ∴AD⊥侧面 PAB. 又 AD 平面 PAD, ∴侧面 PAD⊥侧面 PAB. (Ⅲ)解: 在侧面 PAB 内, 过点 P 做 PE⊥AB, 垂足为 E, 连结 EC, ∵侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面 ABCD. 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得 PE= 3 , EC= 3 .在 Rt△PEC 中, ∠PCE=45°. 例 4:设 △ABC 内 接于⊙O ,其中 AB 为 ⊙O 的 直径,PA⊥ 平面 ABC. 如图 P

2

cos ∠ABC =
答案:

5 , PA : PB = 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小. 6

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设PA = 4 x, AB = 3 x, 则PB = 5 x, BC = 3 x cos ∠ABC = ∵ AB是ΘO的直径 ∴ ∠ACB = 90 ,即BC ⊥ AC 又 ∵ PA ⊥ 面ABC ,∴ PA ⊥ BC ∴ BC ⊥ 面PAC ∴ ∠BPC是PB和面PAC所成的角 5x 1 在RtBPC中, sin ∠BPC = 2 = ,∴ ∠BPC = 30 5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为30

5 x 2

【课内练习】 1.若平面 α 外的直线 a 与平面 α 所成的角为 θ ,则 θ 的取值范围是 (A) ( 0 ,

(

)

π

2

)

(B) [ 0 ,

π

2

)

(C) ( 0 ,

π

2

]

(D) [ 0 ,

π
2

]

答案:D.解析:a 和α平行,a 和α斜交. 2.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 ,O 是底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 DD 1 ,D 1 C 1 的中点,则直线 OM A 是 AC 和 MN 的公垂线 B 垂直于 AC 但不垂直于 MN C 垂直于 MN,但不垂直于 AC D 与 AC,MN 都不垂直 答案:A .解析:易证 OM⊥AC,OM⊥MN. ( )

3.设正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面 直线 BE 与 SC 所成的角是 A.30° B.45° C.60° 答案:C .解析:连 AC,BD 交于 O,连 OE,则 OE//SC. ( D.90° )

1 3 2 2 = 1 ,∴ ∠BEO = 60° 2 2 2 2 2 4.异面直线 a , b 所成的角为 60° ,过空间一定点 P,作直线 L,使 L 与 a ,b 所成的角 均为 60° ,这样的直线 L 有 条. 答案:三条.解析:如换成 50°,70°呢. 5.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,D 是底面三角形内一点,且 ∠DPA=450,∠DPB=600,则∠DPC=__________. 答案:600 .解析:以 PD 为对角线构造长方体 6.正方体 AC1 中,过点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角都相 等,试写出满足条件的一个截面____________ 答案: AD1C. 面 解析: 可得 12 条棱分成三类: 平行, 相交, 异面, 考虑正三棱锥 D-AD1C, 7.如图,四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M C 为 AB 的中点,求: (1)BC 与平面 SAB 所成的角; (2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值. 3 2 ∵ BE 2 = 2, OB 2 = , OE = ,∴ cos ∠BEO = 2 2 2+

H S
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B
M

A

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解析: (1)∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面 SAB. 于是 SB 就是直线 BC 与平面 SAB 所成的角,为 60°. (2)联结 SM, CM,∵在 Rt△SAB 中,∠SBA=45°,∴SM⊥AB, ∴AB⊥平面 SCM. 作 SH⊥CM 于 H,则 AB⊥SH,故 SH⊥平面 ABC,所以∠SCH 为 SC 与平面 ABC 所 成的角. 设 SA=a,则 SB=a,SC= 3a ,SM= 在 Rt△CSM 中, CM =

2 a. 2

1 SC 2 + SM 2 = 3a 2 + a 2 , 2 2 a SM 2 = 7. sin ∠SCH = sin ∠SCM = = CM 7 7 a 2 7 即 SC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . 7

8.如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB= 2,侧棱 BB1 的长为 4, 过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F, ⑴求证:A1C⊥平面 BDE; ⑵求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.

答案:⑴由三垂线定理可得,A1C⊥BD,A1C⊥BE A1C⊥平面 BDE ⑵以 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立坐标系,则 A1 (2, 0, 4) , C (0, 2, 0)

B (2, 2, 0) ,∴ A1C = (2, 2, 4) , A1 B = (0, 2, 4)
∴ cos < A1C , A1 B >=

A1C A1 B A1C A1 B

=

30 6

设 A1C ∩ 平面 BDE=K,由⑴可知,∠A1BK 为 A1B 与平面 BDE 所成角,

30 6 9.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.
∴ sin ∠A1 BK = cos < A1C , A1 B >=
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七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 答案: (Ⅰ)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AC=AD=2,AB=3, ∴△ABC≌△ABD,BC=BD. 取 CD 的中点 M,连 AM,BM,则 CD⊥AM,CD⊥BM. ∴CD⊥平面 ABM,于是 AB⊥BD. (Ⅱ)由 CD⊥平面 ABM,则平面 ABM⊥平面 BCD,这样∠ABM 是 AB 与平面 BCD 所成的角. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,∴ BC

= AB 2 + AC 2 AB AC = 7 . 在△ACD 中,

AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD 是正三角形,AM=

3.
3

在 Rt△BCM 中,BC=

7 ,CM=1,

2 2 2 ∴ BM = 6 .∴ cos ∠ABM = AB + BM AM = 6 .

2 AB BM

10.已知等腰 ABC 中,AC = BC = 2, ∠ ACB = 120°,ABC 所在平面外的一点 P 到三 角形三顶点的距离都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角.

答案:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB,OC,则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影, ∴ ∠ PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角.∵ PA = PB = PC, ∴点 P 在底面的射影是 ABC 的外心, 注意到 ABC 为钝角三角形,∴点 O 在 ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是 ABC 的外心,∴OC⊥AB 在 OBC 中,OC = OB, ∠ OCB = 60°,∴OBC 为等边三角形,∴OC = 2 在 RtPOC 中, cos∠PCO = 【作业本】 A组 1.垂直于同一条直线的两条直线一定 A,平行 B,相交 C,异面 答案:D.解析:注意空间和平面中的位置关系的不同. 2. a 是平面α的斜线, b α , a 与 b 成 α所成角的大小为 答案: . ( ) D,以上都有可能

OC 1 = ∴ ∠ PCO = 60° . PC 2

π
3

角, b 与 a 在α内的射影成

π
4

角,则 a 与

π
4

.解析: cos

π
3

= cos

π
4

cos θ ,∴ cos θ =

2 π ,即θ= . 2 4

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3. PA,PB,PC 是两两成 60 0 角的三条射线,则 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) A.

1 2

B.

6 3

C.

3 3

D.

3 2

答案:C.解析:可放入正四面中考虑. 4.直线 l 与平面α成角为 300,l ∩ α = A, m α , A m 则 m 与 l 所成角的取值范围是 . 答案: [ 300 , 900].解析:斜线与平面内所有直线的所成角中,线面角最小角. 5.边长为 2 的正方形 ABCD 在平面α内的射影是 EFCD,如果 AB 与平面α的距离为

2 ,则 AC 与平面α所成角的大小是
答案: 30° .解析: sin θ =

.

2 1 = ,∴θ = 30 . 2 2 2

6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=5,AD=8,AA1=4,M 为 B1C1 上一点, 且 B1M=2,点 N 在线段 A1D 上,A1D⊥AN,求: (1) cos < A1 D, AM > ; (2) 直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切; (3) 平面 ANM 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余 弦值.

解析:(1) 以 A 为原点,AB,AD,AA1 所在直线 则 D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)

为 x 轴,y 轴,z 轴.

∴ A1 D = (0,8,4 )

AM = (5,2,4)

∵ A1 D AM = 0 ∴ cos ∠ A1 D, AM >= 0 (2) 由(1)知 A1D⊥AM,又由已知 A1D⊥AN,∴ A1 D ⊥ 平面 AMN,垂足为 N. 因此 AD 与平面 ANM 所成的角即是 ∠DAN . ∴ tan ∠DAN = tan ∠AA1 D = 2 (3) ∵ AA1 ⊥ 平面 ABCD,A1N ⊥ 平面 AMN, ∴ AA1和NA1 分别成为平面 ABCD 和平面 AMN 的法向量. 设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角(锐角)为 θ ,则

cos θ = cos < AA1 , NA1 >= cos ∠AA1 N = cos ∠AA1 D =
0

5 5

P

7.已知∠ACB=90 ,且在平面α内,PC 与 CA,CB 所成角 ∠PCA=∠PCB=600,求 PC 与平面α所成角. A
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C

α

B

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答案:解:如图过点 P 作 PH⊥平面 ABC 于 H, 过点 H 作 HD⊥AC 于 D,作 HE⊥BC 于 E,连 PD,PE,∴PD⊥AC,PE⊥BC, ∵∠PCA=∠PCB=600,∴ΔPCD≌ΔPCE,∴CD=CE,∴ΔHCD≌ΔHCE, ∴HD=HE,∴CH 平分∠ACB,设 PC=a∴ CE = ∴∠PCH=450,即 PC 与平面α所成角为 450. BC 的中点, G 是 AA1 上的点. (1)若 AC1 ⊥ EG ,试确定点 G 的位置; (2)在满足条件(1)的情况下,试求 cos< AC , GF >的值.

P

1 2 a, CH = a, 2 2

D C α E H B

A

8. 如图,正方形 ACC1A1 与等腰直角△ACB 互相垂直,∠ACB=90°,E,F 分别是 AB,

解析:(1)以 C 为原点, CB 为 x 轴正方向, CA 为 y 轴正方向, CC1 为 z 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系. 令 A(0,1, 0) ,则 B (1, 0, 0), E ( ,

z

C1 1 1 A1 , 0), C1 (0, 0,1) , 2 2 G 1 1 C 设 G (0,1, a ) ,则 AC1 = (0, 1,1), EG = ( , , a ) , A 2 2 F E 1 由 AC1 ⊥ EG 得 a = ,∴G 为 AA1 的中点. 2 x B 1 1 1 6 . (2) GF = ( , 1, ), AC = (0, 1, 0) ,∴ cos < AC , GF >= = 2 2 3 3 2

y

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1.一条直线与一个平面所成的角等于 π ,另一直线与这个平面所成的角是 π . 则这两
3
6

B组

条直线的位置关系 A.必定相交 B.平行 C.必定异面 答案:D.解析:若平行则直线与平面的所成角必相等. 2.如图正四面体 D-ABC 中, P∈面 DBA, 则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60°角的直线共有 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 答案:C.解析:过 B 分别作 BD,AB 的平行线即可.

( D.不可能平行 D

)


P A C

B 3.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD 1 ,则动点 P 的轨迹 A,线段 B 1 C C,线段 BC 1 B,BB 1 的中点与 CC 1 中点连成的线段 D,CB 中点与 B 1 C 1 中点连成的线段 ( )

答案:A.解析:B1C⊥面 BD1C1,∴P 点轨迹为线段 B1C. 4.设 α MN β 为直二面角, A ∈ MN , AB α , AC β ,∠BAN= ∠CAN= 45, 则∠BAC= .

答案:60.解析: cos ∠BAC = cos 45 cos 45 =

1 ,∴∠BAC = 60 . 2

5.一个直角三角形的两条直角边长为 2 和 4,沿斜边高线折成直二面角,则两直角边所夹 角的余弦值为_____. 答案: 答案:

2 .解析:CD 为斜边上的高, 5

设 BD = x, AB =

22 + 42 = 2 5

x=

22 2 5

=

2 5

=

2 2 5 5 AD = 2 5 5 5= 5 5 8
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∵ CD ⊥ AB ,∴ BD ⊥ CD , AD ⊥ CD
∵ ∠ADB 为二面角的平面角,∴ ∠ADB =

π
2

∴ AB = (

2 8 5)2 + ( 5)2 = 5 5
22 + 42 (

20 + 320 2 85 = 25 5

∴ cos ∠ACB =

2 85 ) 2 2 5 = 2×2× 4 5

6.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB‖CD, PD = CD = AD = 1 AB , 2 ∠ADC= 120, ⑴求证:求异面直线 AD,PB 的所成角; ⑵若 AB 的中点为 E,求二面角 D-PC-E 的大小.

3 ∴ AB 答案: ⑴连 BD, ∵∠ADC=120, AB‖CD, ∴∠DAB=60, AD = 1 AB , BD = 又 2 2
∴AD⊥BD,又∵PD⊥面 ABCD,∴PD⊥AD,∴AD⊥平面 PDB,∴AD⊥PB, 即异面直线 AD,PB 的所成角为 90°. ⑵连 DE,由已知可得△DEC 为正三角形,取 DC 的中点 F,连 EF,则 EF⊥CD, ∵PD⊥面 ABCD,∴EF⊥PD,∴EF⊥面 PCD,过 F 作 FG⊥PC,连 EG, 则∠EGF 为二面角 D-PC-E 的平面角

1 CP PD 3 设 CD=a,则 EF = a ,在△PDC 中, PC = 2a ,则 FG = 2 = a 2 PC 2 2
∴ tan ∠EGF = EF = FG

6 ∴ ∠EGF = arctan 6 (注:本题用空间向量做也可)

7. 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a,A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上. (Ⅰ)求 AB 与侧面 AC1 所成的角; (Ⅱ)若 O 恰是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积.

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答案:(Ⅰ)在△ABC 中, AB= 2a , BC=AC=a,∴△ABC 是等腰直角三角形,BC⊥AC, ∠CAB=45°,又 BC⊥A1O,故 BC⊥侧面 AC1,AB 与侧面 AC1 所成角就是∠BAC=45°. (Ⅱ)由(Ⅰ)知四边形 B1BCC1 为矩形,∴ S B1BCC1 = a 2 . ∵ A1O ⊥ AC , O为AC 中点,
∴ A1O = 3 3 2 a, S A1 ACC1 = AC A1O = a .作OE ⊥ AB 于 E,连结 A1E,则 AB⊥A1E. 在 2 2

Rt△AOE

2 2 14 AO = a ,在 Rt△A1EO 中, A1 E = A1O 2 + OE 2 = a. 2 4 4 7 2 ∴ S ABB1 A1 = AB A1 E = a . ∴ S 侧 = ( 3 + 2 + 7 )a 2 . 2 8.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O,D 分别是 AC,PC 的中点, OP⊥底面 ABC. P
中, OE = (Ⅰ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; 2
A O B

D

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 答案: 答案:(Ⅰ) ∵O,D 分别为 AC,PC 中点,∴ OD‖PA
C

又PA 平面PAB , ∴ OD‖平面PAB
∵ AB ⊥ BC,OA = OC,
∴ OA = OB = OC,
又 ∵ OP ⊥ 平面ABC ,∴ PA = PB = PC. 取BC中点E,连结PE,则BC ⊥ 平面POE , 作OF ⊥ PE于F,连结DF,则OF ⊥ 平面PBC

∴ ∠ODF 是OD与平面PBC所成的角.
又 OD‖PA ,

∴ PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ∠ODF ,
OF 210 = , OD 30
新疆 王新敞
奎屯

在Rt ODF中, ∠ODF = sin

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OF ⊥ 平面PBC ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影 ∵D 是 PC 的中点,

若点 F 是 PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线,∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

∵ OB ⊥ PC ,∴ PC ⊥ BD,∴ PB = PC ,即 k = 1

新疆 王新敞 奎屯

反之,当 k = 1 时,三棱锥 O PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心
新疆 王新敞 奎屯

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