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江西省高安中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题(重点班)


江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期中考试

高一年级重点班数学试题
一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. ) 1. cos(

2015? ) 的值等于( 3
B.?



A.

1 2

1 2

C.

3 2
)

D. ?

3 2

2.扇形的半径是 6 cm,圆心角为 15°,则扇形面积是( A.

?
2

cm 2

B. 3? cm2 )

C. ? cm 2

D.

3? cm 2 2

3.函数 y ? 1 ? 2sin x 的值域是( A. ? ?2,1? B. ? ?1,3?

C. ?0,1?

D. ? ?2,3? 等腰三角形 )

??? ? ??? ? 4.在△ABC 中,若 CA ? CB ? 0 ,则△ABC 是( ) A 锐角三角形; B 钝角三角形; C 直角三角形;

D

5.已知点 M (5, ?6) 和向量 a ? (1, ?2) ,若 MN ? ?3a ,则点 N 的坐标为( A. (?3, 6) B. (6, 2) C. (2, 0)

?

???? ?

?

D. (?2,0)

6. 如图,在 ?ABC 中, AB ? c, AC ? b 若 点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

? ? ???

?

??? ?

????

????



2? 1? b? c 3 3

B. c ?

5? 3

2? b 3

C.

2? 1? c? b 3 3

D.

2? 2? b? c 3 3

7. 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③ ? a ? 0 (λ 为实数),则 λ 必为零. ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为( )

?

?

A.1 B.2 C.3 D.4 8. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 π ,且当

5? ? ?? x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为( 3 ? 2?



A. ?

1 2

B.

3 2

C. ?

9.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

3 2

D.

1 2

) 图像的一部分.为了得到这

个函数的图像,只要将 y=sin x(x∈R)的图像上所有的点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变. 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变. 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变. 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变. 6 10.已知向量 a ,b 的夹角为 向上的投影是( A. 2 ) B. 3 C. 4 2 D. 1

?
4

,且 a ? 4 ,( a ? b) ? (2a ? 3b) ? 12 ,则向量 b 在向量 a 方

1 2

11. 已 知 函 数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x , 如 果 存 在 实 数 x1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2015) 成立,则 ? 的最小正值为(
A.

) D.

y

1 2015

B.

1 4030

C.

?
2015

?
4030
O

C D F A M B E x

12.如图,已知圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,

E、 F 分别为边 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是

???? ??? ?



) A. ? ?6 2, 6 2 ?

?

?

B. ? ?6,6?

C. ? ?3 2,3 2 ?

?

?

D. ? ?4, 4?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13. 已知角 ? 的终边经过点 P(3,4) ,则 cos ? 的值为 14.若向量 BA ? ? 2,3? ,CA ? ? 4,7 ? , 则BC = . .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 2 ???? 1 ??? ? AC 15. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,且满足 OC ? OA ? OB, 则 ??? ? = 3 3 AB
16. 有 以 下 四 个 命 题 : ① 函 数 f(x)=sin(

.

? ?? ? ? - 2x) 的 一 个 增 区 间 是 ? , ? ; ② 若 函 数 3 ?4 3?
? ),若 3

f(x)=sin( ? x+ ? ) , (? ? 0). 为奇函数,则 ? 为 ? 的整数倍;③对于函数 f(x)=tan (2x+ f(x1)=f(x2),则 x1-x2 必是 ? 的整数倍;④函数 y=2sin(2x+

? k? ? , 0) 对称。 )的图像关于点 ( ? 3 3 2

其中正确的命题是 (填上正确命题的序号) 三.解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 0 ? ? ?

? 4 , sin ? ? . 2 5

(1)求 cos ? 的值; (2)求 tan(? ?

?
4

) 的值;

(3)求

sin(? ? ? ) cos( ?? ) tan( cos(? ? ? )

?
2

??)

的值.

18.已知 a, b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) . (1)若 c ? 2 5 ,且 c / / a ,求向量 c ;

? ???
?

?

?

?

?

(2)若 b ?

?

? ? ? ? ? ? 3 5 ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 2

19. (12 分)已知点 A(1,0), B(0,1), C (2sin ? ,cos ? ).

sin ? ? 2 cos ? 的值. sin ? ? cos ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 (OA ? 2OB) ? OC ? 1, 其中 O 为坐标原点,求 sin ? ? cos ? 的值.
(1)若 AC ? BC , 求

????

??? ?

20.(12 分) 函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 1,当 x ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时 y 取最大值

7? 时, y 取最小值 ? 1 . 12

(1)求函数的解析式 y ? f ( x). (2)求方程 f ( x) ? a (0 ? a ? 1), 在 [0,2? ] 内的所有实数根之和. 21.(12 分) 已知 a >0,函数 f ( x) ? ?2a sin(2 x ? 域为 ? ?5,1? . (1)求常数 a,b 的值;(2)设 g ( x) ? f ( x ? 求 g ( x) 的单调区间. 22.(12 分) 某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD,AB=50 米,BC=25 3 米,为了便于居民平时 休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE,EF 和 OF,考虑到小区整 体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示.

?

? ?? ) ? 2a ? b , x ? ?0, ? 时, f ( x) 的值 6 ? 2?

?
2

)且 g(x)的定义域为不等式 lg [g(x)]>0 的解集,

(1)设∠BOE=α ,试将△OEF 的周长 l 表示成α 的函数关系式,并求出此函数的定义域. (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 400 元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出 最低总费用.

高一年级重点班数学期中试题答案
题号 选项 13.3/5 1 A 2 D 14.(-2,-4) 3 B 4 C 15. 1/3 5 C 6 A 16. ②④ …………2 分 7 C 8 B 9 A 10 D 11 C 12 B

17.解: (I)? 0 ? ? ?

? 4 3 , sin ? ? ,? cos ? ? ; 2 5 5

(II) tan ? ?

4 3

…………4 分

tan(? ?
(III)

?
4

) ? ?7

…………6 分

sin(? ? ? ) cos( ?? ) tan( cos(? ? ? )

?
2

??)

=

sin ? cos ? cot ? 3 = ? sin ? cot ? ? ? cos ? ? ? . ? cos ? 5

…………10 分

18. 解: (Ⅰ)? c / / a ,可设 c ? ? a , ∴ c ? ? a ,2 5 ? ∴ ? ? ?2

?

?

?

?

?

?

? 5,
?
……… 6 分

∴ c ? (2, 4) 或 c ? (?2, ?4) .

?

(Ⅱ)∵ a ? 2b 与 2a ? b 垂直,∴ a ? 2b ? 2a ? b ? 0 ,即 2a ? 2b ? 3a ? b ? 0 ∴ 10 ? 2 ? 分
2 2 2 2 19. (1) AC ? BC , 所以 (2sin? ? 1) ? cos ? ? (2sin?) ? (cos? ? 1) ,

?

?

? ?

?

?

?

??

? ?

?

?2

?2

? ?

? ? 5 5 45 3 5 o s ?? , ∴c 所以 a 与 b 的夹角的余弦值 ?3 5? cos ? ? 0 , 9 9 4 2
??? ?

…… 12

??? ?

简得 2sinθ=cosθ,所以 tanθ= 所以

1 ,…………4 分 2
…………6 分

(2) OA ? ?1,0 ? ,OB ? ? 0,1? ,OC =(2sinθ,cosθ),

????

??? ?

??? ?

OC =1, 所以 OA ? 2OB = (1,2),因为 OA ? 2OB ?
所以 2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ) = 1 ,…………10 分
2

????

??? ?

?

????

??? ? ??? ?

?

4
所以 sinθ·cosθ=- 3 .…………12 分

8 20. (1) 2? 7? ? ? ? 2?( ? ) ? 12 4 ?? ? 3
…………2 分 又因 sin( ? ? ? ) ? 1,?

3 4

3? ? ? ? ? ? ? 2k? ? , 又? ? ? ,? ? ? ? , 4 2 2 4

? 函数

f ( x) ? sin(3 x ?

? …………5 分
4 )

(2)? f ( x) ? sin(3 x ?

?

2 ) 的周期为 ? 4 3

? y ? sin(3 x ?

?
4

) 在 [0,2? ] 内恰有 3 个周期,

并且方程? sin(3 x ?

?
4

) ? a (0 ? a ? 1) 在 [0,2? ] 内有 6 个实根且 x1 ? x 2 ?

?
2

11 19 ? , x5 ? x 6 ? ? , 6 6 故所有实数之和为 ? 11? 19? 11? …………12 分 ? ? ? 2 6 6 2
同理, x3 ? x 4 ?

π 0, ?, 21.解:(1)∵x∈? 2 ? ? π π 7π? , . ∴2x+ ∈? 6 ?6 6 ? π 1 2x+ ?∈?- ,1?, ∴sin? 6? ? 2 ? ? π 2x+ ?∈[-2a,a]. ∴-2asin? 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1,

∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5………5 分 π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1,
π? 7π? ? g(x)=f? ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1

π? ? 2 x + =4sin? 6? ? ?-1,………6 分
又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π 2x+ ?-1>1, ∴4sin? 6? ? π 1 2x+ ?> , ∴sin? 6? 2 ?

π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z,………8 分
π π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 6 2 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 2 6 6 6 3

π π? ? ? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ………12 分 25 25 22.(1)在 Rt△BOE 中,OE= ,在 Rt△AOF 中,OF= . cos? sin? 25 ? 2 2 , 当点 F 在点 D 时,角α最小,α= , 在 Rt△OEF 中,EF= OE ? OF ? sin?cos? 6 ? 25(sin? ? cos? ? 1) , 当点 E 在点 C 时,角α最大,α= ,所以 l= 3 sin?cos? ? ? 定义域为[ , ].…………6 分 6 3
(2)设 t=sinα+cosα,α∈[

? ? 3 ?1 ? t ? 2, , ],所以 6 3 2

l?

25 ? t ? 1? 50 ? ? ? 50 t2 ?1 t ?1 ? 2

?

2 ? 1 ,50

? ?

3 ?1 ? , ?

?

所以当α=

? 时, lmin=50( 2 +1),总费用最低为 20 000( 2 +1)元. …………12 分 4

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