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2004年下学期湖南邵东一中语数英竞赛高一数学试题


2004 年下学期湖南邵东一中语数英竞赛

高一数学试题
一、选择题(每小题只有一个答案正确,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={ y y ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? R },集合 N={ y y ? 2 ? 3 },则 M ? N ? ( (A){ y y ? ? 4 } (C){ y ? 4 ? y ? ? 1 } (B){ y ? 1 ? y ? 5 } (D) ? )。

2.如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的三个子集,则阴影部 分所表示的集合是( ) (A) ? P ) ? S (M (C) ? P) ? (CUS) (M (B) ? P ) ? S (M (D) ? P) ? (CUS) (M
1 2
x

3.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],y=f(log (A)[ ,1] (C)[
2 1 16 , 1 4 1

)的定义域是(



(B)[4,16] (D)[2,4] ) x ? ( 0 , ?? )

]

4.下列函数中,值域是 R+的是( (A)y= x 2 ? 3 x ? 1 (C)y=x2+x+1

(B)y=2x+3 (D)y=
1 3
x

5. 命 题 “ 若 a=0, 则 ( ) (A)若 ab=0,则 a=0 (C)若 ab≠0,则 a≠0

ab=0 ” 的 逆 否 命 题 是 非 曲 直 (B)若 a≠0,则 ab≠0 (C)若 ab=0,则 a≠0

6. 设偶函数 f(x)的定义域为 R, x ? [ 0 , ?? ] 时 f(x)是增函数, f(-2),f( ? ),f(-3) 当 则 的大小关系是( ) (A)f( ? )>f(-3)>f(-2) (B)f( ? )>f(-2)>f(-3) (C)f( ? )<f(-3)<f(-2) (D)f( ? )<f(-2)<f(-3) 0.9 7.a=log0.70.8,b=log1.10.9,C=1.1 ,那么( ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)C<a<b 1

8. 下列各组函数中,图象相同的是 (A)y=x 和 y= x 2 (C)y=1 和 y=(x-1)0 (B)y=│x-1│和 y= x 2 ? 2 x ? 1 (D)y=
x
2

x

和 y=x

9.如果 f(a+b)=f(a)·f(b),且 f(1)=2,则 ( ) A.2000 B.2002 C.2003 D.2004

等于

10.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 米降低 0.7℃,已知山顶气温是 14.1℃, 山脚的气温是 26℃,那么此山相对于山脚的高度是( ) A.1500 米 B.1600 米 C.1700 米 ) (B)y=(x-a)2+a (D)y=(x-a)2+a (x ? a) (x ? a ) D.1800 米

11.函数 y=a- x ? a ( x ? a ) 的反函数是( (A)y=(x-a)2-a (C)y=(x-a)2-a (x ? a) (x ? a )

12.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m2)与时间 t(月)的关系:y=at, 有以下叙述: ①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m2; ③浮萍从 4m2 蔓延到 12m2 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到 2m2、3m2、6m2 所经过的时间分别为 t1、t2、t3, 则 t1+t2=t3. 其中正确的是( ) A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ 2 D.①②⑤

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.求和 1 ? ? 3 ? +5 ?
3 9 1 1 1 27

+?+(2n-1) ?

1 3
n

=



14.函数 y=ax+b(a>0 且 a ? 1 )的图象经过点(1,7) ,其反函数的图象经过点(4, b 0) ,则 a = 15.函数 y=log
1 2

(log
2 2

1 3

x

)的定义域为

16.已知 f(x)=

x

1? x

,则 f(2)+f(3)+f(4)+?+f(10)+f(

1 2

)+f( )+?+
3

1

f(

1 10

)=

三、解答题(本大题共 70 分) 17. (本题满分 10 分)求函数 y= 数为 y=lnx, x ? ( 0 , ?? )
e e
x x

?1 ?1

x ? ( 0 , ?? ) 的反函数。 (注: y=ex 的反函

18. (本题满分 10 分)研究函数 f(x)= 间上的增减性,并给出证明。

x?3 x?2

的单调区间以及它在每一个单调区

19. (本小题满分 12 分)某地今年年初有居民住房面积 am2,其中需要拆除的旧房 面积占了一半,当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建 设新住房,同时每年拆除 xm2 的旧住房,又知该地区人口年增长率为 4.9?. (1) 如果 10 年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房 面积是多少? (2)依照(1)的拆房速度,共需多少年能拆除所有需要拆除的旧 住房? 下列数据供计算时参考: 1.19=2.38, 10=2.60, 11=2.85, 1.1 1.1 1.00499=1.04, 1.004910=1.05,1.004911=1.06. 3

20 . 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 (
y= [k x
2

y=

2x x +1
2

?3

的值域为集合 A,函数

+?2 k (

4 ) x 2+的定义域为集合 ? k 4 ]

?

1

B,若 A ? B=B ,求实数 k 的取值范围。

21. (本题满分 12 分) 若当 a∈(0,1)时, x、 满足的关系式 logax+3logxa-logxy=3 由 y 确定的函数 y=f(x)的最大值为
2 4

,求 a 的值及 y 最大时相应的 x 的值。

22. (本题满分 14 分) 已知 f(x)=loga(x+1), P 是函数 y=f(x)图象上的任意一点, 点 点 P 关于原点的对称点 Q 形成函数 y=g(x)的图象。 (1)求 y=g(x)的解析式; (2)当 0<a<1 时,解不等式 2f(x)+g(x)≥0; (3)当 a>1,且 x∈[0,1)时,总有 2f(x)+g(x)≥m 恒成立,求 m 的取值范围。

4

2004 年下学期湖南邵东一中语数英竞赛

高一数学答卷
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 三、解答题 17.解: 14. 15. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

考号 18.解: 考室

班级

姓名

5

19.解:

座位号

20.解:

6

21.解:

22.解: 7

8

2004 年下学期湖南邵东一中语数英竞赛高一数学试题答案
题 号 答 案 13. 1 B
n

2 C

3 C 14.
?1 ?1

4 D 64
2 e
x

5 C 15.

6 A

7 C (0,1) 16.
2 y ?1

8 B 9

9 D

10 C

11 D

12 D

3 ? n ?1 3
n

17.解∵ y

?

e e

x x

?1?

?1

,

∴e x

?

?1

即e x

?

y ?1 y ?1

∴x=ln

y ?1 y ?1 e e
x x

∵x>0 , ∴e >1.

x

∴y=1+

2 e ?1
x

? 1 .(法二:∴

2 y ?1

? 1 ? 1.

y>1)∴y=

?1 ?1

,

x ? ( 0 , ?? ) 的反函数为 y=ln 18.解:f(x)=
1 x?2 x?3 x?2 x?3 x?2

x ?1 x ?1

.(x>1) f(x)=
x?3 x?2

的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)

=1+

∴ f(x)=

的图象是由 f(x)=

1 x

的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1

个单位得到的。 ∴ X 在区间(-∞, -2)上,f(x)= (x)=
x?3 x?2 x?3 x?2

是减函数;X 在区间(-2, +∞)上,f

也是减函数

证明:设 X1 < X2 < -2, f(x2)- f(x1)=(1+
1 x2 ? 2

)–(1+

1 x1 ? 2

) =

1 x2 ? 2

+

1 x1 ? 2

=

x1 ? x 2 ( x 2 ? 2 )( x 1 ? 2 )

∵ X1 < X2 < -2

X1 + 2 < 0,X2 + 2 < 0,X1-X2 < 0



x1 ? x 2 ( x 2 ? 2 )( x 1 ? 2 )

< 0 .

19.解: (1)设以今年初为第一年,第 n 年居民住房面积为 an(m2),则

9

设今年初有居民 p 人,则十年后该地区居民为 p(1+4.9?)10=1.05p. 2.6a-16x 2a a 依题意,有 = ,解得 x=32 . 1.05p p (2)由于旧住房的面积为 旧住房. 20.解:∵ y
? 2x x ?1
2

a a (m2),每年拆 (m2),故共需 16 年拆除所有的 2 32

? 3,? (y+ 3)x ? 2x+ y+ 3= 0

2

当 y≠-3 时,∵x∈R,∴4-4(y+3)2≥0 当 y=-3 时,x=0 ∴A=[-4,-2] 若 k=0 时, y= ( ? 4x ? 4) 则 成立。 若 k>0 时,由 kx2+(2k-4)x+k-4>0 时 A∪B=B 成立。
? 1 2

∴-4≤y<-3 或-3<y≤2

由-4x-4>0, 解得 B= (-∞, -1)

此时 A ? B ? B
4 k

解得: B

? ( ?? , ? 1) ? ( ? 1 ?

, ?? )



若 k<0 时,由 kx2+(2k-4)x+k-4>0 解得:B 即 ?1 ?
4 k ? ? 4, ? ? 4 3 ? k ? 0 .综合所述, k ? ? 4 3 3 2

? (?1 ?

4 k

, ? 1),? A ? B ? B, ? A ? B



为所求。
) +
2

21.解: (由所给关系式变形为: log a y= (log a x ? ∵y=f(x)有最大值
2 4

3 4
2 4
3 2 1 8

,且 0<a<1,∴logay 有最小值 lo g a
2 4 3 4
1 4

当 log a

x ?

3 2

时, lo g a

?

∴a

?

此时 lo g 1
4

x ?

    x ? ?

10

即a

?

1 4

,x ?

1 8

为所求

22.解: (1)设 Q(x,y) ,∵p、Q 两点关于原点对称,∴p 点的坐标为(-x,-y) , 又点 p(-x,-y)在函数 y=f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即 g(x)=-loga(1-x) (2)由 2f(x)+g(x)≥0 得 2loga(x+1)≥loga(1-x) ∵0<a<1
? x+1>0 ? ∴ ?1 ? x > 0     x ? ( ? 1, 0 ] ? ? 2 ? (x + 1 ) ? 1 ? x
( x ? 1) 1? x
2

(3)由题意知:a>1 且 x∈[0,1)时 lo g a
(x + 1 ) 1 -x
2

? m

恒成立。

设 u=

= (1 ? x )+

4 1? x

?4

,令 t=1-x,t∈(0,1],∴ u(t)= t+
4 t1t 2

4 t

? 4   t ? (0,1]

设0 ?

t1 ? t 2 ? 1

? u (t 1 ) ? u (t 2 )= (t 1 ? t 2 )(1 ?

)> 0

? u ( t ) 在 t ? (0,1]上 单 调 递 减

,

∴u(t)的最小值为 1 又∵a>1,? lo g a
( x ? 1) 1? x
2

的最小值为 0

∴m 的取值范围是 m≤0

11


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