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天津市河东区2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

河东区 2017 年高二模考试 数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z1 ? 2t ? i , z2 ? 1 ? 2i ,若 A. ?

z1 为实数,则实数 t 的值是( z2
D.1
x

)

1 4

B.-1
2

C.

1 4

2. 设集合 A ? {x x ?1 ? 0} , B ? {y y ? 2 , x ? A} ,则 A ? B ? ( A.(0,1) B.(-1,2) C. (?1,??) D. ( ,1)

)

1 2

3. 已知函数 f ( x ) ? ? A.

?a ? 2 x , x ? 0
?x ? 2 ,x ?0

( a ? R ).若 f [ f (?1)] ? 1,则 a ? (

)

1 4

B.

1 2

C.2

D. 1

4. 若 a , b ? R ,直线 l : y ? ax ? b ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 .命题 p :直线 l 与圆 C 相交;命题 q :

a ? b2 ?1 .则 p 是 q 的(
A.充分不必要条件 要条件

) B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必

5. 为丰富少儿文体活动,某学校从篮球,足球,排球,橄榄球中任选 2 种球给甲班学生使用,剩余 的 2 种球给乙班学生使用,则篮球和足球不在同一班的概率是( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

6. 已知抛物线 y ? 8x 的准线与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 相交于 A , B 两点,点 F 为抛物线的焦点, a 2 16
) D. 3

?ABF 为直角三角形,则双曲线的离心率为(
A.3 B. 2 ? 1 C.2

7. 若数列 {an } , {bn } 的通项公式分别为 an ? (?1)n?2016 ? a , bn ? 2 ?

(?1) n? 2017 ,且 an ? bn ,对 n

任意 n ? N 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [ ?1, )

?

) D. [ ? 2 , )

1 2

B.[-1,1)

C.[-2,1)

3 2

8. 已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是( A.[-1,1) )

x ? 2, x ? a ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 恰有三个不同的零点,则实数 a ? x ? 5x ? 2, x ? a ?
2

B.[-1,2)

C. [-2,2)

D.[0,2]

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间为 . .

10.执行如图所示的程序框图,若输入的 a , b 值分别为 0 和 9,则输出的 i 值为

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



12.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 2a ? b ? 4 ,则

1 的最小值是 ab



13.已知 ? ? 0 ,在函数 y ? sin ?x 与 y ? cos ?x 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为

3 ,则 ? 值为



14.如图,已知 ?ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上,且满足

AM MP ? ? 2 ,若 MC PB

AB ? 2 , AC ? 3 , ?BAC ? 120 ? ,则 AP ? BC 的值为



三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 80 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
15. 已知函数 f ( x ) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) . 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上单调性求出的值域. 12 2 1 与 P ,且乙投球 2 次均未 2

? ?

16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 命中的概率为

1 . 16

(Ⅰ)求乙投球的命中率 P ; (Ⅱ)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 17. 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? 4 ,BC ? 3 ,AA 点 D 在线段 AB 1 ? 4 ,AC ? BC , 上.

(Ⅰ)证明 AC ? B1C ; (Ⅱ)若 D 是 AB 中点,证明 AC1 // 平面 B1CD ;

(Ⅲ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

18. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n? 3n2 ? 8n , {bn } 是等差数列,且 an ? bn ?b n?1 . (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式;

(an ? 1) n?1 (Ⅱ)令 cn ? ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2) n
x2 y2 3 19. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 y ? x 被椭 a b 2
圆 C 截得的线段长为

4 10 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点( A , B 不是椭圆 C 的顶点) ,点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB .直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M ,N 两点.设直线 BD ,AM 的斜率分别为 k1 ,k2 , 证明存在常数 ? 使得 k1 ? ?k2 ,并求出 ? 的值. 20.选修 4-4:坐标系与参数方程 设函数 f ( x ) ? ln x ?

m ,m? R . x

(Ⅰ)当 m ? e 时,求函数 f ( x) 的极小值;

x 零点的个数; 3 f ( a ) ? f (b) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. (Ⅲ)若对任意的 b ? a ? 0 , b?a
(Ⅱ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ?

河东区 2017 年高考二模考试 数学试卷(理工类)参考答案 一、选择题
1-5:ADABC 6-8:ADB

二、填空题
9. (2,??) 14.-2 10.3 11.

5 3 3

12.

1 2

13.

?

三、解答题
15.解: (Ⅰ) f ( x ) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x 2 2 1 3 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x 2 2
? sin( 2 x ? ) . 6 2? ?? . ∴周期 T ? 2
由 2x ?

?

?

k? ? ? (k ? Z ) . 2 3 ? ? ? ? 5? ]. (Ⅱ)∵ x ? [? , ] ,∴ 2 x ? ? [? , 12 2 6 3 6
∴函数图象的对称轴方程为 x ?

6

? k? ?

?

2

(k ? Z ) ,得 x ?

k? ? ? (k ? Z ) . 2 3

f ( x) ? sin( 2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 6 12 3 3 2
当x?

?

? ?

? ?

?

3

时, f ( x) 取最大值 1.

∵ f (?

?
12

)??

3 ? 1 ? f( )? . 2 2 2 3 . 2

∴x??

?
12

, f ( x) max ? ?

所以值域为 [?

3 ,1] . 2

16.解: (Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 A , “乙投球一次命中”为事件 B . 由题意得

(1 ? P ( B)) 2 ? (1 ? p ) 2 ?
解得 p ?

1 , 16

3 5 3 或 p ? (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 1 1 3 1 (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 P( A) ? , P( A) ? , P( B) ? , P( B) ? . 2 2 4 4

? 可能的取值为 0,1,2,3,故
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A)P ( B ? B ) ? ? ( ) 2 ? , 2 4 32
1 P(? ? 1) ? P( A)P(B ? B) ? C2 P(B)P(B)P( A)

?

1 1 2 3 1 1 7 ? ( ) ? 2? ? ? ? , 2 4 4 4 2 32 1 3 9 P(? ? 3) ? P( A) P( B ? B) ? ? ( ) 2 ? , 2 4 32 15 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 3) ? . 32

? 分布列为: ?
P
0 1 2 3

7 32 1 7 15 9 ?1? ? 2 ? ? 3? ? 2 . 所以 E? ? 0 ? 32 32 32 32

1 32

15 32

9 32

17. 解: (Ⅰ)证明:如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .则 B(3,0,0) , A(0,4,0) ,

A1 (0,4,4) , B1 (3,0,4) , C1 (0,0,4) .

AC ? (0,?4,0) , B1C ? (?3,0,?4) , AC ? B1C ? 0 ,所以 AC ? B1C .

(Ⅱ)解法一:

AC1 ? (0,?4,4)
设平面 B1CD 的法向量 m ? ( x, y, z) , 由 B1C ? m ? (?3,0,?4) ? ( x, y, z ) ? ?3x ? 4 y ? 0 , 且 CD ? m ? ( ,2,0) ? ( x, y, z ) ? 令 x ? 4 得 m ? (4,?3,?3) , 所以 AC1 ? m ? (0,?4,4) ? (4,?3,?3) ? 0 , 又 AC1 ? 平面 B1CD ,所以 AC1 // 平面 B1CD ; 解法二:证明:连接 BC1 ,交 BC1 于 E , DE . 因为直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , D 是 AB 中点, 所以侧面 BB1C1C 为矩形, DE 为 ?ABC1 的中位线. 所以 DE // AC1 ,

3 2

3 x ? 2y ? 0 , 2

因为 DE ? 平面 B1CD , AC1 ? 平面 B1CD , 所以 AC1 // 平面 B1CD . (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AC ? BC , 设 D(a, b,0)(a ? 0, b ? 0) ,

BD 1 1 ? ,即 BD ? BA . AB 3 3 4 4 所以 a ? 2 , b ? , BD ? ( ?1, ,0) . 3 3 4 所以 B1C ? (?3,0,?4) , CD ? ( 2, ,0) . 3
因为点 D 在线段 AB 上,且 平面 BCD 的法向量为 n1 ? (0,0,1) . 设平面 B1CD 的法向量为 n2 ? ( x, y,1) , 由 B1C ? n2 ? 0 , CD ? n2 ? 0 ,得 ? 所以 x ? ?

? ? 3x ?44 ? 0 , 2x ? y ? 0 ? 3 ?

4 4 , y ? 2 , n2 ? ( ? ,2,1) . 3 3

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , 所以 cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

3 . 61
3 61 . 61

所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

18. 解: (Ⅰ)由题知,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 11,符合上式. 所以 an ? 6n ? 5 .设数列 {bn } 的公差 d , 由? 所以 bn ? 3n ? 1 . (Ⅱ) cn ?

? a1 ? b1 ? b2 , ? 11 ? 2b1 ? d , d ? 3, 即为 ? , 解得 b1 ? 4 , ?17 ? 2b1 ? 3d , ?a2 ? b2 ? b3 ,

(6n ? 6) n?1 ? 3(n ? 1)2n?1 , Tn ? c1 ? c2 ? ...? cn ,则 n (3n ? 3)

Tn ? 3 ? [2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n?1 ] , 2Tn ? 3?[2 ? 23 ? 3? 24 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n?2 ] ,

两式作差,得

? Tn ? 3?[2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ...? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?2 ]
? 3 ? [4 ? 4(1 ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 ] 1? 2

? ?3n ? 2n? 2 .
所以 Tn ? 3n ? 2n?2 .

c 3 c2 a 2 ? b2 3 3 ? ,∴ a 2 ? 4b 2 .① 19. 解: (Ⅰ)∵ e ? ,∴ ? , 2 ? 2 a a 4 a 2 2
设直线 y ? x 与椭圆 C 交于 P , Q 两点,不妨设点 P 为第一象限内的交点.∴ PQ ?

4 10 ,∴ 5

P(

5 2 5 2 5 , ) 代入椭圆方程可得 a 2 ? b 2 ? a 2b 2 .② 4 5 5
2 2

x2 ? y2 ? 1. 由①②知 a ? 4 , b ? 1 ,所以椭圆的方程为: 4
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 )(x1 y1 ? 0) D( x2 , y2 ) , 则 B(? x1 ,? y1 ) , 直线 AB 的斜率为 k AB ?

y1 , 又 AB ? AD , x1

故直线 AD 的斜率为 k ? ?

y1 .设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题知 x1

? y ? kx ? m ? 2 k ? 0 , m ? 0 联立 ? x 2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ?4
∴ x1 ? x2 ? ∴ k1 ?

8mk 2m , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ,由题意知 x1 ? x2 ? 0 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

y1 ? y2 1 y y ?? ? 1 ,直线 BD 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) . x1 ? x2 4k 4 x1 4 x1
1 1 y1 ,∴ k1 ? ? k 2 ,即 ? ? ? . 2 2 2 x1

令 y ? 0 ,得 x ? 3x1 ,即 M (3x1 ,0) ,可得 k2 ? ? 因此存在常数 ? ? ?

1 使得结论成立. 2 e ,易得函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , x

20. 解: (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ?

f ?( x) ?

1 e x?e ? 2 ? 2 .∴当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上单调递减; x x x

∴当 x ? (e,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (e,??) 上单调递增;所以当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值

e ? 2 ,所以 f ( x) 的极小值为 2. e x 1 m x 1 2 (2)函数 g ( x) ? f ?( x) ? ? ? 2 ? ( x ? 0) ,令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ? x ? x ( x ? 0) . 3 x x 3 3 1 2 设 ? ( x) ? ? x ? x( x ? 0) ,则 ? ?( x) ? ? x 2 ? 1 ? ? ( x ? 1)(x ? 1) . 3 f (e) ? ln e ?
∴当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在(0,1)上单调递增; ∴当 x ? (1,??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (1,??) 上单调递减; 所以 ? ( x) 的最大值为 ? (1) ? ? ①当 m ?

1 2 ? 1 ? ,又 ? (0) ? 0 ,可知: 3 3

2 时,函数 g ( x) 没有零点; 3 2 ②当 m ? 时,函数 g ( x) 有且仅有 1 个零点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有 2 个零点; 3
④当 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有 1 个零点. 综上所述: 当m ?

2 2 2 时, 函数 g ( x) 没有零点; 当 m ? 或 m ? 0 时, 函数 g ( x) 有且仅有 1 个零点; 当0 ? m ? 3 3 3

时,函数 g ( x) 有 2 个零点.

f (b) ? f ( a ) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立. (?) . b?a m 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0) ,∴ (?) 等价于 h( x) 在 (0,??) 上单调递减. x 1 m ∴ h?( x ) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立, x x 1 2 1 2 ∴ m ? ? x ? x ? ? ( x ? ) ? ( x ? 0) 恒成立, 2 4 1 1 1 ∴ m ? (对 m ? , h?( x) ? 0 仅在 x ? 时成立). 4 2 4 1 ∴ m 的取值范围是 [ ,?? ) . 4
(3)对任意 b ? a ? 0 ,


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