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2017浙教版数学九上4.4《相似三角形的性质及其应用》word教案.doc


4.4 相似三角形的性质及其应用(1) 教学 目标: 1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比” “相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探 究过程. 2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比” “相似三角形的 周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比 的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题. 重点与难点: 1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两 个性质及对应线段的性质. 2、相似三角形的性质的证明,要用到相似三角形的判定及性质,过程比较复杂,是本节教 学的难点. 知识要点: 三角形相似的条件: 1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2、相似三角形对应高线、对应 中线、对应角平 分线之比等于相似比
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3、相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法: 1、相似三 角形的相似比等于面积比的算术平方根. 2、相似三角形中的相似比和面积比的关系,应注意相似三角形这个前提,否则不成立. 教学过程: 一、问题情境 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题, 马路旁边原有一个面积为 100 平方米, 周长 为 80 米的三角形绿化地 ,由于马路拓宽 绿地被削 去了一 个角,变成了一个梯形,原绿化 地一边 AB 的长由原来的 30 米缩短成 18 米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大?它的 周长是多少?

思考:你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗?

二、新课 1、如图,4 ×4 正方形网格 看一看: Δ ABC 与Δ A′B′C′有什么关系?为什么?(相似)
B′ A′ C′

算一算: Δ ABC 与Δ A′B′C′的相似比是多少?( 2 ) Δ ABC 与 Δ A′B′C′的周长比是多少? 面积比是多少?(2) ( 2 )

2
10 2

A′ 2 5 B′1 C′

想一想: 上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?

结论:相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方 验一验: 是不是任何相似三角形都有此关系呢? 你能加以验证吗?

已知:如图 4-24,△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 k. △ABC的周长 △ABC的面积 2 求 证: =k, =k △A′B′C′的周长 △A′B′C′的面积
A
A′

B

C
B′ C′

例题 已知:如图,△ABC∽ △A′B ′C′, △ABC 与 △A′B′C′的相似比是 k,AD、A′D′是 对 应高。

AD 求证: =k A′D′

A′

B′

D′

C′

证明: ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B= ∠B′ ∵AD、A′D′是对应高。 ∴∠ADB=∠A′D′B′=90O ∴ △ABD∽△A’B’D’

练一练: 1、已知两个三角形相似 ,请完成下列表格 相似比 周长比 面积比 2 1 3 10000

注:周长比等于相似比,已知相似比或周长比,求面积比要平方,而已知面积比,求相似比 或周长比则要开方。

2、如图,D、E 分别是 AC,AB 上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC 于点 G,AF⊥DE 于点 F.若 AD =3,AB=5,求: AG (1) ; AF (2)△ADE 与△ABC 的周长之比; (3)△ADE 与△ABC 的面积之比.
B G C E F D A

例 1 如图: 是某市部分街道图, 比例尺为 1∶10000; 请估计三条道路围成的三角形地块 ABC 的实际周长和面积.
A

B

D

C

问题解决: 如图, 已知 DE//BC,AB=30m,BD=18m, Δ ABC 的周长为 80m, 面积为 100m ,求Δ ADE 的周长和面积

2

拓展延伸 1.过 E 作 EF//AB 交 BC 于 F,其他 条件不变,则Δ EFC 的面积等于多少?BDEF 面积为多少? 2.若设 SΔ ABC=S, SΔ ADE=S1, SΔ EFC=S2.请猜想:S 与 S1、S2 之间存在怎样的关系?你能加以验证 吗? 证明:DE//BC △ADE∽△ABC S1 AE 2 =( ) S AC S2 AE 2 =( ) S AC S1 AE = AC S CE = AC S
A M D
S1 S2

FE//BA

△CFE∽△CBA

S2

S1 S 类比猜想



S2 S

=1

F E C

P B G
S3

如图,DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且 DE、FG、MN 交于点 P。

N

若记 SΔ DPM= S1, SΔ PEF= S2, SΔ GNP= S3,SΔ ABC= S、S 与 S1、 S2、S3 之间是否也有 类似结论?猜想并加以验证。

练一练: 练一练(分组练习) 证明:相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比等于相似比。

能力训练 1.若两个相似三角形的相似比是 2∶3,则它们的对应高线的比是 是 ,对应角平分线的比是 ,周长比是 ,对应中线的比 ,面积比是 。 ,周长比是

2. 两 个 等 边 三 角 形 的 面 积 比 是 3 ∶ 4 , 则 它 们 的 边 长 比 是 。

3.某城市规划图的比例尺为 1∶4000,图中一个氯化区的周长为 15cm,面积为 12cm ,则这 个氯化区的实际周长和面积分别为多少? 4、在△ABC 中,DE∥BC,E、D 分别在 AC、AB 上,EC=2AE,则 S△ADE∶S 四边形 DBCE 的比为______ 5、如图, △ABC 中,DE∥FG∥BC,AD=DF=FB,则 S△ADE:S 四边形 DFGE:S 四边形 FBCG=______
A

2

O
D F B E

A
G C

D E

B

F

C

6.已知:梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰 BA,CD 交于点 O,OF⊥BC,交 AD 于 E,EF=32cm,则 OF=_______. 7、Δ ABC 中,AE 是角平分线,D 是 AB 上的一点,CD 交 AE 于 G,∠ACD=∠B,且 AC=2AD.则
A

Δ ACD∽Δ ______.它们的相似比 K =_______.
D

B

E

C

探究活动: 1、书本 P115 已知△ABC,如图,如果要作与 BC 平行的直线把△ABC 划分成两部分,使 这两部分(三角形 与四边形) 的面积之比为 1∶1 该怎么作?如果要使划分成的两部分的面积之比为 1∶2 呢? 如果要使划分成的两部分的面积之比为 1∶n 呢?(平行线等分线段、平行线分线段成比例 定理)

2.阅读下面的短文,并解答下列问题: 我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同, 就把它们叫做相似体. 如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等 于相似比( a∶b).

S甲 a 2 =( ) S乙 b 练习

V甲 a 3 =( ) V乙 b

(1)下列几何体中,一定属于相似体的是( ) A.两个球体 B.两个锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体

(2)请归纳出相似体的三条主要性质: ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______; ②相似体表 面积的 比等于__ ③相似体体积比等于___ ____; .

(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿 园时身高为 1.1 米, 体重为 18 千克, 到了初三时,身高为 1.65 米, 问他的体重是多少?(不 考虑不同时期人体平均密度的变化) x 1.65 3 设他的体重为 x 千克,根据题意得 =( ) 18 1.1 解得 x=60.75(千克)

三、小结

四、作业: 见作业本


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