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L02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江西卷.理)

2005 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(江西理科卷)试题精析详解

一、选择题(5 分? 12=60 分)

1.设集合 I ? {x || x |? 3, x ? Z}, A ? {1, 2}, B ? {?2, ?1, 2} ,则 A (CI B) ?

()

A.{1}

B.{1,2}

C.{2}

D.{0,1,2}

【思路点拨】本题考察集合的逻辑运算,可直接求得.

【正确解答】 I ? {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}, CI B ? {0} , A (CI B) ? {0,1, 2} .选 D.

【解后反思】集合主要有三种逻辑运算:交集,并集,补集,运算时要留意集合元素的性质,元

素确定性,互异性,无序性,要注意补集的运算是离不开全集的,在化简集合时,经常用到两

种工具:数轴和韦恩图.

2.设复数: z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i(x ? R), 若z1z2 为实数,则 x= ( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

【思路点拨】本题考察复数的乘法运算,可直接计算得到答案.

【正确解答】 z1z2 ? (1? i)(x ? 2i) ? (x ? 2) ? (x ? 2)i 为实数,故 x ? 2 ? 0,即 x ? ?2 .选

A. 【解后反思】复数有两个部分:实部和虚部.而且复数的几种代数运算,其基本算法也是尽可
能将其化成复数的代数形式.

3. “a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2相切 ”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

【思路点拨】本题主要考查直线和圆相切的条件以及充要条件,直线与圆相切的充要条件是 圆心到直线的距离等于半径.

【正确解答】直线 y ? x ? 2与圆(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2相切 ,则 | a ? b ? 2 | ? 2 ,得 2

a?b ? 0或a?b?4?0,

因此“a=b”是“直线 y ? x ? 2 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2 ”相切的充分不必要条件.

选A 【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)

代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解, A ? B,那
么称 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件,但是实际问题中,我们往往是说 B 成立的的充分 条件是 A,千万不要搞错顺序.

4. ( x ? 3 x )12 的展开式中,含 x 的正整数次幂的项共有

()

1

A.4 项

B.3 项

C.2 项

D.1 项

【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.

【正确解答】 (

x ? 3 x )12 的展开式为 C1t2 (

x )t ( 3

x )12?t

?

C1t2

x

t 2

?12?t 3

?

C1t2

4?
x

t 6

,因此含 x

的正整数次幂的项共有 3 项.选 B

【解后反思】在二项式展开式中,要注意二项式定理的变形,要掌握二项展开式中的系数与二

项式系数的区别.

5.设函数 f (x) ? sin 3x? | sin 3x |, 则f (x) 为

()

A.周期函数,最小正周期为 ? 3

B.周期函数,最小正周期为 2? 3

C.周期函数,数小正周期为 2?

D.非周期函数

【思路点拨】本题考查三角函数的周期,首先应将 f(x)化简,尽可能地化成形如

y ? Asin(? x ??)(? ? 0) 然后再判断.

【正确解答】

f

(x)

?

???2sin 3x ?

???0

2 k? ? x ? ? ? 2 k?

3

33

(k ? Z) ,

? ? 2 k? ? x ? 2? ? 2 k?

33

33

因此 f (x) 为周期函数,且最小正周期为 2? .选 B. 3
【解后反思】本题也可根据三角函数周期定义进行检验,将 A、 B 、C 、D 中的周期都代入,
验证后,可得答案 B,另外记住一些常用结论是必要的,例如 y ? Asin(? x ??)(? ? 0)

的最小正周期T ? 2? , y ? A tan(? x ??)(? ? 0) 最小正周期T ? ? .

|? |

|? |

6.已知向量 a ? (1,2),b(?2,?4),| c |? 5,若(a ? b) ? c ? 5 ,则a与c的夹角为 2

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

【思路点拨】本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.

【正确解答】设 c ? (x, y) ,则 (a ? b) ? c ? (?1, ?2) ? (x, y) ? ?x ? 2 y ? 5 ,又 2

| c |? 5 ,所以 a ?c ? x ? 2y ?| a | ? | c | ?cos? ,得 cos? ? ? 1 ,? ?120?, 2

选 C.

()

2

【解后反思】设 a, b 的夹角为?

,则 cos?

?

|

a b ,? a || b |

? ??0,?

? ,(1)当?

为锐角,有 a

b

0且

a b ? 1(2) 当? 为钝角,有 a b 0 且 a b ? ?1(3)当? ? 0, a, b 共线且方向相同.(4)当

? ? ? 时, a b ? 0 . 2
7.已知函数 y ? xf ?(x)的图象如右图所示 (其中f ?(x)
是函数f (x)的导函数) ,下面四个图象中

y ? f (x) 的图象大致是

()

【思路点拨】本题考查导函数的图象及其性质,由图象得 f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,从而导出

x ? ?1 是函数 f(x)极值点是解本题的关健. 【正确解答】由图象知, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,所以 x ? ?1 是函数 f (x) 的极值点,又因为

在 (?1, 0) 上, f ?(x) ? 0 ,在 (0,1) 上, f ?(x) ? 0 ,因此在 (?1,1) 上, f (x) 单调递

减,故选 C.
【解后反思】要注意,若 p(x0 , y0 ) 是函数 y=f(x)的极值点,则有 f ?(x) ? 0 ,但是若 f ?(x0 ) ? 0 ,则是 p(x0 , y0 ) 不一定是函数 y=f(x)极值点,所以要判断一个点是否为极值点,还 要检验点 P 的两侧的单调性是否不同.

8. 若lim f (x ?1) ? 1,则lim x ?1 ?

x?1 x ? 1

x?1 f (2 ? 2x)

()

A.-1

B.1

C.- 1 2

D. 1 2

【思路点拨】本题主要是考查函数极限法则的运用,涉及函数在某一点的极限的有关知识.

【正确解答】令 t ? x ?1,则 lim f (t) ? 1,令 s ? 2 ? 2x ,则 t?0 t

lim

x ?1

?s ? lim 2

? ? 1 lim

s

? ? 1 .选 C.

x?1 f (2 ? 2x) s?0 f (s) 2 s?0 f (s) 2

3

【解后反思】本题首先利用整体代换的方法,简化极限运算中式子,然后使用配凑法,将最值

式子进行简化,再将简化后的条件代入因式,得出解.在做这一类题目时,先适当的将条件

化简是解决的关健.

9.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,

则四面体 ABCD 的外接球的体积为

()

A. 125? 12

B. 125? 9

C. 125? 6

D. 125? 3

【思路点拨】本题主要考查图形的翻折问题,利用球心到球面的距离均相等,找出球心是解本

题的关健.

【正确解答】连接矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,则 AO=BO=CO=DO,则 O 为

四面体 ABCD 的外接球的圆心,因此四面体 ABCD 的外接球的半径为 5 ,体积为 2

4 ? (5)3 ? 125 ? .选 C. 32 6
【解后反思】对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体, 三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方 体或内接长方体问题.

10.已知实数 a, b 满足等式 (1 )a ? (1)b , 下列五个关系式 23

①0<b<a

②a<b<0

③0<a<b

其中不.可.能.成立的关系式有

A.1 个

B.2 个

C.3 个

【思路点拨】本题涉及指数函数的若干知识.

④b<a<0 D.4 个

⑤a=b ()

【正确解答】 a, b 均大于零时,要满足等式,必有 a ? b ; a, b 均小于零时,要满足等式,

必有 a ? b ; a ? b ? 0 时,显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④,选 B
【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解.

11.在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos? ), B(sin? ,1),? ? (0, ? ],则△OAB 的面积达 2

到最大值时,? ?

()

A. ? 6

B. ? 4

C. ? 3

D. ? 2

【思路点拨】运用图形,根据图形表示 ?ABC 的面积,将实际问题转化成数学问题.

【正确解答】

S?ABC

?1?

1 sin? 2

?

1 2

cos?

?

1 2

(1? cos? )(1? sin? )

4

? 1 ? 1 sin? cos? ? 1 ? 1 sin 2?

22

24

当 2? ? ? 即? ? ? 时,面积最大. 2

【解后反思】运用三角函数解决相应的实际问题,首先应根据题目的要求将面积的表达式

写出来,然后在表达式中,根据自变量的取值范围,最终求出答案,所要注意的是,解决

此类问题时不能仅凭函数的表达式,应考虑实际情况,例如,在函数的自变量中,可以取

负数,而如果在实际题目中,自变量表示的是天数,那么这相自变量必须为正数,且为整

数等等. 12.将 1,2,…,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为
()

A. 1 56

B. 1 70

C. 1 336

【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.

D. 1 420

【正确解答】将

1,22-------9

平均分成三组的数目为

C93C63C33 A33

? 280 ,又每组的三个数成等差

数列,种数为了 4,所以答案为 B

【解后反思】这是一道概率题,属于等可能事件,在求的过程中,先求出不加条件限制的

所有可能性 a,然后再根据条件,求出满足题目要求的可能种数 b,最后要求的概率就

是b . a
二、填空题(4 分? 4=16 分)

13.若函数 f (x) ? log n (x ? x2 ? 2a2 ) 是奇函数,则 a=

.

【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,由函数的奇偶性的定义可求得.

【正确解答】

解法 1:由题意可知, f (x) ? ? f (?x) ,即 x ? x2 ? 2a2 ?

1



?x ? x2 ? 2a2

因此 2a2 ? 1, a ? ?

2
.

2

解法 2:函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以

log(n0? 0?2a2 ) ? 0 ,得

2a2 ?1即| a |?

2 推出答案 a ? ? 2

2 2

【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其

前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.

5

若函数 f(x)为奇函数 ? f (?x) ? ? f (x) ? y ? f (x) 的图象关于原点对称.

若函数 f(x)为偶函数 ? f (?x) ? f (x) ? y ? f (x) 的图象关于 y 轴对称.
14.设实数 x, y 满足

?x ? y ? 2 ? 0

??x ??2

? 2y y?3

? ?

4 0

?

0, 则

y x

的最大值是

.

y

【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条

AB

件画出可行域,然后求出目标函数的最值.

C

【正确解答】 z ? y ? y ? 0 表示两点(0,0),A(x,y)的斜率

O

x

x x?0

【解后反思】解题的关键是理解目标函数 z ? y ? y ? 0 x x?0

的几何意义,类似的你知道 z ? x2 ? y2 的几何意义吗?

15.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,

AB=BC= 2 ,BB1=2, ?ABC ? 90? ,

E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E

到 F 两点的最短路径的长度为

.

【思路点拨】本题主要考查空间距离转化为平面距离.

【正确解答】分别延 BB1、A1C1和A1B1将 E、F 展开到同一

平面内,则易得: EF ? 9 ?1 ? 22 , EF ? 5 ? 1 ? 3 2 ,或

2

2

22

? ?2

2? 2

16 ? 4 2

EF ? 2 ?

?

4

2

比较可得,最小值为 3 2 . 2
【解后反思】将平面图形空间化也是立体几何的另一种问题形式,在做立体几何中,许多问题

都是空间图形进行平面化,努力将一个个空间图形,通过所学的几何知识,转化成平面图

形,最后使用平面几何的若干知识解决,而本题却反其道而行之,所以在做法上就不能和

上述的方法相同,但在本质上有许多相通之处,在这类题目中,尽量找出两者图形过程中

的联系之处,哪些量变啦,哪些量没有变,然后解决起来,就会顺手多啦.

16.以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA| ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲
线;

6

②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 1 (OA ? OB), 则 2
动点 P 的轨迹为椭圆;
③方程 2x2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线 x 2 ? y 2 ? 1与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1有相同的焦点.

25 9

35

其中真命题的序号为

(写出所有真命题的序号)

【思路点拨】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由 a,b,c,e 的关系求得

【正确解答】双曲线的第一定义是:平面上的动点 P 到两定点是 A,B 之间的距离的差的绝对

值为常数 2a,且 2a ?| AB | ,那么 P 点的轨迹为双曲线,故①错,

由 OP ? 1 (OA ? OB) ,得 P 为弦 AB 的中点,故②错, 2



2x2

? 5x

?

2

?

0

的两根为

x1,

x2



x1

?

x2

?

5 2

,

x1x2

? 1 可知两根互与为倒数,且均为正,故

③对,

x2 ? y2 ? 1 的焦点坐标( ? 34, 0 ),而 x2 ? y2 ? 1 的焦点坐标( ? 34, 0 ),故④正确.

25 9

35

【解后反思】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清

圆锥曲线中 a,b,c,e 的相互关系.

三、解答题(共 74 分)

17.(本小题满分 12 分)

已知函数

f

(x)

?

x2 ax ?

b

(a,b

为常数)且方程

f(x)-x+12=0 有两个实根为

x1=3,

x2=4.

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f (x) ? (k ? 1)x ? k 2?x

【思路点拨】本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法.

【正确解答】(1)将 x1

?

3, x2

?

4分别代入方程

x2 ax ?

b

?

x

? 12

?

0



?9

??3a ? b

? ?

16

??4a ? b

? ?

??98解得 ???ba

? ?

?1 ,

所以f

2

(x)

?

x2 2?x

(x

?

2).

(2)不等式即为 x2 ? (k ? 1)x ? k ,可化为 x2 ? (k ? 1)x ? k ? 0

2?x 2?x

2?x

7

即 (x ? 2)(x ?1)(x ? k) ? 0. ①当1 ? k ? 2,解集为x ? (1, k) ? (2,??). ②当 k ? 2时,不等式为(x ? 2)2 (x ?1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ③当k ? 2时,解集为x ? (1,2) ? (k,??) .

【解后反思】解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式

不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则

简单,快捷,另外

f (x) g(x)

?0?

f (x)g(x) ? 0 ,

f (x) g(x)

?

0

?

? ? ?

f (x)g(x) g(x) ? 0

?

0

18.(本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (2cos x , tan( x ? ? )),b ? ( 2 sin( x ? ? ),tan( x ? ? )),令f (x) ? a ? b .

2 24

24 24

是否存在实数 x ?[0,? ], 使f (x) ? f ?(x) ? 0(其中f ?(x)是f (x)的导函数)? 若存在,

则求出 x 的值;若不存在,则证明之.

【思路点拨】本题主要考查向量与三角,导数的综合题,正确化简 f(x)是解该题的关健.

【正确解答】 f (x) ? a ? b ? 2 2 cos x sin( x ? ? ) ? tan( x ? ? ) tan( x ? ? )

2 24

24 24

? 2 2 cos x (

2 sin x ?

2

cos x)

1? ?

tan

x 2

?

tan

x 2

?1

?

2 s in

x

cos x

?

2 cos2

x

?1

2 2 2 2 2 1? tan x 1 ? tan x

22

2

2

2

? sin x ? cosx.

令f (x) ? f ?(x) ? 0,即:

f (x) ? f ?(x) ? sin x ? cosx ? cosx ? sin x

? 2cosx ? 0.

可得x ? ? ,所以存在实数x ? ? ?[0,? ],使f (x) ? f ?(x) ? 0.

2

2

【解后反思】本题是一道简单三角函数题,不过我们仍然在本题的解决过程中,发现这样一个

问题,化简在解决数学过程中的重要地位,本题只要化简到位,那么在解决的过程会大大

缩短,一切都变的简单起来,所以在解三角函数问题或其他的数学问题,能化简的,要尽量

先化简.

19.(本小题满分 12 分)

8

A、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上 时 A 赢得 B 一张卡片,否则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时,或在此前某
人已赢得所有卡片时游戏终止.设? 表示游戏终止时掷硬币的次数. (1)求? 的取值范围; (2)求? 的数学期望 E? .
【思路点拨】本题考查涉及概率等若干知识,理解? 的含义是解决本题的关键.

?| m ? n |? 5 【正确解答】(1)设正面出现的次数为 m,反面出现的次数为 n,则 ??m ? n ? ? ,
??1 ? ? ? 9
可得:
当m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时,? ? 5;当m ? 6, n ? 1或m ? 1, n ? 6时,? ? 7; 当m ? 7, n ? 2或m ? 2, n ? 7时,? ? 9;所以?的所有可能取值为: 5,7,9.

(2) P(?

? 5)

?

2 ? (1)5 2

?

2 32

?

1 ; P(? 16

?

7)

?

2C51

(

1 2

)

7

?

5; 64

P(? ? 9) ? 1 ? 1 ? 5 ? 55 ; 16 64 64
E? ? 5 ? 1 ? 7 ? 5 ? 9 ? 55 ? 275. 16 64 64 32
【解后反思】要想做对此类问题,要具备两个条件,首先要理解题目所涉及的知识,本题有一

定的抽象性,如果你不理解题目,你就无从下手,第二要记牢这一类题目的做题步骤,做此类型

题目,有时候步骤很重要的,严格按照书中例题的步骤完成是得到正确答案的保证.

20.(本小题满分 12 分)

如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离;

(3)AE

等于何值时,二面角

D1—EC—D

的大小为

? 4

.

【思路点拨】本题涉及立体几何线面关系的有关知识,

【正确解答】解法(一)

(1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E

9

(2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 ,

S 故 ?AD1C

?

1? 2

2?

5?

1 2

?

3 2

,

而S

?ACE

?

1 ? AE ? BC 2

?

1. 2

1

1

?VD1? AEC ? 3 S ?AEC ? DD1 ? 3 S ?AD1C ? h,

? 1 ?1 ? 3 ? h,? h ? 1 .

22

3

(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角.
设 AE=x,则 BE=2-x

在Rt?D1DH中,? ?DHD1

?

? 4

,? DH

? 1.

?在Rt?ADE中, DE ? 1? x2 ,?在Rt?DHE中, EH ? x,

在Rt?DHC中CH ? 3,在Rt?CBE中CE ? x2 ? 4x ? 5.

? x ? 3 ? x2 ? 4x ? 5 ? x ? 2 ? 3.

? AE ? 2 ?

3时, 二面角D1

?

EC

?

D的大小为? 4

.

解法(二):以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角

坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,

0)C(0,2,0)

(1)因为DA1, D1E ? (1,0,1),(1, x,?1) ? 0,所以DA1 ? D1E.

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0),从而 D1E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

AD1

?

(?1,0,1)

,设平面

ACD1 的法向量为

n

?

(a, b, c)

,则

??n ?

?

AC

?

0,

??n ? AD1 ? 0,

也即

?? ???

a a

? ?

2b ? 0 c?0

,得

?a ??a

? ?

2b ,从而 n
c

?

(2,1,2) ,所以点

E

到平面

AD1C

的距离



h ? | D1E ? n | ? 2 ?1 ? 2 ? 1 .

|n|

33

(3)设平面 D1EC 的法向量

n ? (a,b,c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),

10



??n ? ??n

? ?

D1C ? 0, CE ? 0,

?

?2b ? c ? 0 ??a ? b(x ? 2)

?

0.

令 b=1, ∴c=2,a=2-x,

∴ n ? (2 ? x,1,2).

依题意 cos ? ? | n ? DD1 | ? 2 ?

2

? 2.

4 | n | ? | DD1 | 2

(x ? 2)2 ? 5 2

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去), x2 ? 2 ? 3 .

∴AE= 2 ?

3

时,二面角

D1—EC—D

的大小为

? 4

.

【解后反思】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的

计算,这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要 将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一 种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来. 21.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}的各项都是正数 ,且满足 :

a0

? 1, an?1

?

1 2

an (4

?

an ), n ?

N.

(1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N;

(2)求数列{an } 的通项公式 an.

【思路点拨】本题考查数列的基础知识,考查运算能力和推理能力.第(1)问是证明递推

关系,联想到用数学归纳法,第(2)问是计算题,也必须通过递推关系进行分析求解.

【正确解答】(1)方法一 用数学归纳法证明:

1°当

n=1 时, a0

? 1, a1

?

1 2 a0 (4 ? a0 )

?

3, 2

∴ a0 ? a1 ? 2 ,命题正确.

2°假设 n=k 时有 ak?1 ? ak ? 2.

则n

?

k

? 1时, ak

? ak?1

?

1 2 ak?1 (4 ? ak?1 ) ?

1 2 ak (4 ? ak )

?

2(a k ?1

?

ak

)

?

1 2

(ak ?1

?

ak

)(a k ?1

?

ak

)

?

1 2

(ak ?1

?

ak )(4

?

ak ?1

?

ak ).

而 ak?1 ? ak ? 0.

4 ? ak?1 ? ak ? 0,

? ak ? ak?1 ? 0.

11

又 ak?1

?

1 2

ak (4 ? ak

)

?

1 2 [4 ? (ak

? 2)2 ] ?

2.

∴ n ? k ?1时命题正确.

由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 an ? an?1 ? 2.
方法二:用数学归纳法证明:

1°当

n=1 时, a0

? 1, a1

?

1 2

a0

(4

?

a0

)

?

3, 2

∴0

?

a0

?

a1

?

2;

2°假设 n=k 时有 ak?1 ? ak ? 2 成立,

令 f (x) ? 1 x(4 ? x) , f (x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2

有:

f (ak?1 ) ?

f (ak ) ?

f

(2),



1 2

ak

?1

(4

?

ak ?1

)

?

1 2

ak

(4

?

ak

)

?

1 ? 2 ? (4 ? 2), 2

也即当 n=k+1 时 ak ? ak?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak?1 ? 2

(2)下面来求数列的通项: an?1

?

1 2

an (4

?

an )

?

1 2

[?(an

?

2) 2

?

4], 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2)2

令bn

?

an

? 2,则bn

?

?

1 2

bn2?1

?

?

1 2

(?

1 2

bn2?2

)

2

?

?

1 2

?

(

1 2

)

2

b 22 n?1

???

?(

1 2

)1?

2???

2n

?1

b 2n n

,

又 bn=-1,所以 bn

?

?(

1 2

)

2n

?1

,即a

n

?

2 ? bn

?

2 ? ( 1 )2n ?1 . 2

【解后反思】数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,

了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出

数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的

最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用

数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法

的步骤.

22.(本小题满分 14 分)

如图,设抛物线 C : y ? x2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0上运动,过 P

作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.
【思路点拨】本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识.

【正确解答】(1)设切点 A、B 坐标分别为 (x, x02 )和(x1 , x12 )(( x1 ? x0 ) ,

∴切线 AP 的方程为: 2x0 x

?

y

?

x

2 0

?

0;

12

切线 BP 的方程为: 2x1x ? y ? x12 ? 0;

解得 P 点的坐标为: xP

?

x0

? 2

x1

, yP

?

x0 x1

所以△APB 的重心 G 的坐标为

xG

?

x0 ? x1 ? xP 3

? xP ,

yG

?

y0 ? y1 ? yP 3

?

x02 ? x12 ? x0 x1 3

? (x0 ? x1 )2 ? x0 x1 3

?

4xP2 ? yp 3

,

所以 y p ? ?3yG ? 4xG2 ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:

x ? (?3y ? 4x2 ) ? 2 ? 0,即y ? 1 (4x2 ? x ? 2). 3

(2)方法

1:因为

FA

?

(x0 ,

x0 2

?

1 ), FP 4

?

(

x0

? 2

x1

,

x0 x1

?

1 ), FB 4

?

( x1 ,

x12

?

1). 4

由于 P 点在抛物线外,则| FP |? 0.

∴ cos?AFP ?

FP? FA

?

x0

? x1 2

? x0

?

(

x0

x1

?

1 4

)(x0

2

? 1) 4

?

x0 x1 ?

1 4,

| FP|| FA|

| FP|

x0 2

?

( x0 2

?

1)2 4

| FP|

同理有 cos ?BFP ?

FP ? FB

?

x0

? x1 2

?

x1

?

(x0

x1

?

1 )( 4

x12

? 1) 4

?

x0

x1

?

1 4

,

| FP || FB |

| FP |

x12

?

( x1 2

?

1)2 4

| FP |

∴∠AFP=∠PFB.

方 法 2 : ① 当 x1x0 ? 0时,由于x1 ? x0 ,不妨设x0 ? 0,则y0 ? 0, 所 以 P 点 坐 标 为

( x1 ,0) ,则 P 点到直线 AF 的距离为: 2

d1

?

|

x1 2

| ;而直线BF的方程 :

y

?

1 4

?

x12 ? x1

1 4

x,

即 (x12

?

1)x 4

?

x1

y

?

1 4

x1

?

0.

所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2

?

|

( x12

?

1) 4

x1 2

?

x1 4

|

( x12

?

1)2 4

?

(x1 )2

?

( x12

?

1) 4

|

x1 2

|

x12

?

1 4

? | x1 | 2

所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

13

② 当 x1 x0 ? 0 时 , 直 线

AF

的方程:

y

?

1 4

?

x02 x0

?1 4
?0

(x

?

0),即( x02

?

1)x 4

?

x0 y

?

1 4

x0

?

0,

直线

BF 的方程:

y

?

1 4

?

x12 x1

? ?

1 4 0

(x

?

0), 即( x12

?

1)x 4

?

x1 y

?

1 4

x1

?

0,

所以 P 点到直线 AF 的距离为:

d1

?

|

( x02

?

1 )( 4

x0

? 2

x1

)

?

x0 2 x1

( x02

?

1)2 4

?

x0 2

?

1 4

x0

|

?

|

x0

? 2

x1 )( x0 2

x02

?

1 4

?

1) 4

?

|

x0

? 2

x1

|

,同理可

得到

P 点到直线 BF 的距离 d2

?

|

x1

? x0 2

| ,因此由

d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.

【解后反思】解析几何主要的是点和曲线的位置关系、对称性,标准方程当中系数对位置

的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题,常常涉及的内容是求 轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系、对称、最值、范围.做这类题目一定要认真细心,提 高自己的运算能力和思维能力.

14


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