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广东省东莞市2012届高三理科数学小综合专题练习--概率统计


2012 届高三理科数学小综合专题练习——概率统计
东莞中学吴强老师提供 一、选择题 1. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8g 的概率为 0.3 ,质量不小于 4.85g 的 概率为 0.32 ,那么质量在 [4.8,4.85) (单位:g)范围内的概率是 A. 0.68 B. 0.62 C. 0.38 D. 0.02

2.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3)(12.5,4)(13,5) , , , , ; 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)(11.3,4)(11.8,3)(12.5,2)(13, , , , , 1) r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数, , 则 A. r2 = r1 B. 0 < r2 < r1 C. r2 < r1 < 0 D. r2 < 0 < r1

3. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M ,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的 面积介于 36cm 2 与 81cm 2 之间的概率为

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 6

4.右图是 2010 年“唱响九江”电视歌手大奖赛中,七位专家评委为 甲 甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m, n 为数字 0 ~ 9 中 的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分 的平均数分别为 a1 , a2 ,则一定有 A. a1 > a2 C. a2 > a1 B. a1 , a2 的大小与 m 的值有关 D. a1 , a2 的大小与 m, n 的值都有 乙

079 5 4 5 m 18 4 4 6 4 7 9 9n

5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套有 3 只,白色手套 1 只.现从中随机 地抽取两只手套,如果两只是同色手套则甲获胜,两只手套颜色不同则乙获胜.试问:甲 乙获胜的机会是 A.一样多 二、填空题 6.在 200 件产品中, 192 有件一级品, 8 件二级品,则下列事件: B.甲多 C.乙多 D.不确定

①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是一级品; ④在这 200 件产品中任意选出 9 件,至少一件是一级品, 其中 是必然事件; 是不可能事件; 是随机事

件 (只须填事件代号,如果没有请填“无” ) 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查 显示年收 入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程

? y = 0.254 x + 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元, 年饮食支出平均增
加____________万元. 8. 已知随机变量 服从正态分布 N ( 2, σ 2 ) , (ξ ≤ 4) = 0.84 , P (ξ ≤ 0) = 则 P 9.已知随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ = n) = 则 P( 1 < ξ < 5 ) 的值为 .

a (n = 1,2,3,4) ,其中 a 是常数, n(n + 1)

2

2



那么在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发 10. 如果在一次试验中, 某事件 A 发生的概率为 p , 生偶数次的概率为 三、解答题 11.某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建了 一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做 实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二次做 试验的同学得到的试验数据为 69, 70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明 理由. .

12.某班同学利用春节进行社会实践,对 [25, 55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的调查, 若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族” 否则称为 , “非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (2)从年龄段在 [40, 50) 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验 活动, 其中选取 2 人作为领队, 求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率.

13.为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将这 200 只家兔随机地分成两组.每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果.(疱疹面积单位: mm 2 )

(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(2)完成下面 2 × 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹 面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

附: K 2 =

n(ad ? bc)2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

14.某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如下数据: 月 份 1 2 73 78 2 3 72 74 3 4 71 70 4 3 73 72 5 4 69 66 6 5 68 60

产量 x 千件 甲单位成本 y 元/件 乙单位成本 y 元/件

(1)试比较甲乙哪个单位的成本比较稳定. (2)求甲单位成本 y 与月产量 x 之间的线性回归方程. (其中已计算得: x1 y1 + x 2 y 2 + L + x 6 y 6 = 1481 ,结果 保留两位小数) (3)当月产量为 12 千件时,单位成本是多少?

15.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 相互

2 3 和 假设两人射击是否击中目标, 3 4

之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ... ⑵假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击 4 次后,被中止射击 ... 的概率是多少? ⑶设甲连续射击 3 次,用 ξ 表示甲击中目标的次数,求 ξ 的数学期望 Eξ 与方差 Dξ . (结果可以用分数表示)

2012 届高三理科数学小综合专题练习——概率统计 参考答案
题号 选项 1 C 2 D 3 A 4 C 5 一、选择题 A

二、填空题 6. ④ , ② , ①③ ; 7. 0.254 ; 8. 三、解答题 ; 9.

5 , 10. 6

1? n 1 + (1 ? 2 p ) ? ? 2?

P=
11. 11.解:(1)

n 4 1 = = m 60 15

1 ∴ 某同学被抽到的概率为 15

45 x = 设有 x 名男同学, 60 4 , ∴ x = 3 则
(2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为

∴ 男、 女同学的人数分别为 3,1
,则选取两名同学的基本事件有

a1 , a2 , a3 , b

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b), (a2 , a1 ), (a2 , a3 ), (a2 , b), (a3 , a1 ), (a3 , a2 ), (a3 , b), (b, a1 ), (b, a2 ), (b, a3 )
共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

P=

6 1 = 12 2

x1 =
(3)
2 1

68 + 70 + 71 + 72 + 74 69 + 70 + 70 + 72 + 74 = 71 x2 = = 71 5 5 ,

(68 ? 71) 2 + L (74 ? 71) 2 (69 ? 71)2 + L (74 ? 71) 2 2 s = = 4 s2 = = 3.2 5 5 ,
第二同学的实验更稳定.

12 . 解 : 1 ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3 , 所 以 高 为 (

0.3 = 0.06 .频率直方图如下: 5

第一组的人数为

120 200 = 200 ,频率为 0.04 × 5 = 0.2 ,所以 n = = 1000 . 0.6 0.2

由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1000 × 0.3 = 300 ,所以

p=

195 = 0.65 . 300
第四组的频率为 0.03 × 5 = 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 × 0.15 = 150 , 所以 a = 150 × 0.4 = 60 . (2)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为

60 : 30 = 2 :1 ,
所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40, 45) 岁中有 4 人, [45,50) 岁中有 2 人. 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人 作为领队 的有 ( a, b) 、 ( a, c ) 、 (a, d ) 、 ( a, m) 、 ( a, n) 、 (b, c) 、 (b, d ) 、 (b, m) 、 (b, n) 、 (c, d ) 、

(c, m) 、 (c, n) 、 ( d , m) 、 (d , n) 、 ( m, n) ,共 15 种;其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁
的有 ( a, m) 、 ( a, n) 、 (b, m) 、 (b, n) 、 (c, m) 、 (c, n) 、 ( d , m) 、 (d , n) ,共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的概率为 P =

8 . 15

13.解:

(1)

图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 布直方图

图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数. (2)表 3 疱疹面积小于 70mm 2 注射药物 A 注射药物 B 合计
2

疱疹面积不小于 70mm 2

合计

a = 70 c = 35 105

b = 30 d = 65 95

100 100 n = 200

200 × (70 × 65 ? 35 × 30) 2 K = ≈ 24.56 100 × 100 × 105 × 95
由于 K 2 > 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.

14. 解: (1) y1 =

73 + 72 + 71 + 73 + 69 + 68 = 71 6 78 + 74 + 70 + 72 + 66 + 60 y2 = = 70 6
2 2 2 2 2 2 1? (73?71) + (72?71) + (71?71) + (73?71) + (69?71) + (68?71) ? ≈ 3.68 ? ? ? 6? 2 2 2 2 2 2 1? ? ≈ 33.3 + + + + + ?(78? 70) (74 ? 70) (70? 70) (72 ? 70) (66 ? 70) (60? 70) ? ? 6?

s12 =
2 s2 =

因为 y1 > y 2

2 s12 < s 2

所以甲产品的价格稳定

(2) x =

6 6 21 , y = 71, ∑ xi2 = 79, ∑ x i y i = 1481, 6 i =1 i =1

21 × 71 21 6 代入公式得: b = ≈ ?1.82, a = 71 ? (? 1.82 ) × ≈ 77.37 2 6 ? 21 ? 79 ? 6 × ? ? ? 6? 1481 ? 6 ×
故线性回归方程为: y = 77.37 ? 1.82 x . (3)y=56.5

15.解: (1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,射击 3 次, 相当于 3 次独立重复试验,故 P(A1)=1- P( A1 )=1- ( )3 = 答:甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率为

2 3

19 27

19 ; 27

(2) 记“乙恰好射击 4 次后,被中止射击”为事件 A2,由于各事件相互独立, 故 P(A2)=

1 1 3 1 1 1 3 3 3 × × × + × × × = , 4 4 4 4 4 4 4 4 64 3 答:乙恰好射击 4 次后,被中止射击的概率是 64 2 2 ? 2? 2 = 2 , Dξ = 3 × × ? 1 ? ? = 3 3 ? 3? 3 2 1 6 1 p (ξ = 1) = C3 ? ( ) ? ( ) 2 = 3 3 27 2 3 1 0 8 p (ξ = 3) = C33 ? ( ) ? ( ) = 3 3 27

(3)根据题意 ξ 服从二项分布, Eξ = 3 ×
0 另解: p (ξ = 0) = C3 ? ( )3 = 另解:

1 3

1 27

2 1 12 p (ξ = 2) = C32 ? ( ) 2 ? ( )1 = 3 3 27

ξ
p

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

Eξ = 0 ×

1 6 12 8 + 1× + 2 × + 3 × =2 , 27 27 27 27
2

Dξ = ( 0 ? 2 ) ×

1 6 12 8 2 2 2 2 + (1 ? 2 ) × + ( 2 ? 2 ) × + ( 3 ? 2 ) × = . 27 27 27 27 3


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