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2008年高考(广东卷)数学(文)

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(广东 广东卷

(新课标) 数学( 数学(文)
本试卷共 21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高。 3

如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ).

第I卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥运会比赛的运动 员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的 是( ) B. B ? C C. A ∩ B = C D. B ∪ C = A A、 A ? B 2.已知 0 < a < 2 ,复数 z = a + i ( i 是虚数单位),则 | z | 的取值范围是( A. (1, 3 ) B. (1, 5 ) C. (1,3) D. (1,5) ) )

3.已知平面向量, a = (1, 2) , b = ( ?2, m ) ,且 a // b ,则 2a + 3b =( A. ( ?2, ?4) B. ( ?3, ?6) C. ( ?4, ?8) D. ( ?5, ?10)

4.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S 2 = 4, S 4 = 20 ,则该数列的公差 d 等于( A.7 B.6 C.3 D.2



5.已知函数 f ( x ) = (1 + cos 2 x )sin 2 x, x ∈ R ,则 f ( x ) 是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为



π

B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为

2

的奇函数

π

2

的偶函数

6.经过圆 x 2 + 2 x + y 2 = 0 的圆心 C,且与直线 x + y = 0 垂直的直线方程是( A. x ? y + 1 = 0 B. x ? y ? 1 = 0 C. x + y ? 1 = 0



D. x + y + 1 = 0

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7.将正三棱柱截去三个角(如图①所示 A,B,C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何体如图②,则该几何体 按图②所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

8.命题“若函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数,则 log a 2 < 0 ”的逆否命题是( A.若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 B.若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内不是减函数 C.若 log a 2 < 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数 D.若 log a 2 ≥ 0 ,则函数 f ( x) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 在其定义域内是减函数
x 9.设 a ∈ R ,若函数 y = e + ax , x ∈ R ,有大于零的极值点,则(





A. a < ?1

B. a > ?1

C. a > ?

1 e

D. a < ?

1 e

2 2

10、设 a , b ∈ R ,若 a ? | b |> 0 ,则下列不等式中正确的是( A. b ? a > 0 B. a + b < 0
3 3

C. b + a > 0

D. a ? b < 0

第 II 卷 二、填空题:本大题共 5 分,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分 组区间为 [45, 55) ,[55, 65) , [65, 75) ,[75,85) ,[85,95) ,由此得到频率分布直方图如图所示,则这 20 名工 人中一天生产该产品数量在 [55, 75) 的人数是 。

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?2 x + y ≤ 40 ? 12.若变量 x, y 满足 ? x + 2 y ≤ 50 ,则 z = 3 x + 2 y 的最大值是 ?x ≥ 0 ?
13.阅读程序框图,若输入 m = 4, n = 3, 则输出 a = 可以写成“ ← ”或“:=” ) ,i =



。 (注:框图中的赋值符号“=”也

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 曲 线 C1 , C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为

2 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA = 2 , AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于 B 点, PB = 1 ,则圆 O 的半径 R = 。
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.已知函数 f ( x ) = A sin( x + ? )( a > 0,0 < ? < π ), x ∈ R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式;

π ρ cos θ = 3, ρ = 4 cos θ ( ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < ) ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为



π 1

, )。 3 2

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(2)已知 α , β ∈ (0,

π

3 12 ) ,且 f (α ) = , f ( β ) = , 求 f (α ? β ) 的值。 2 5 13

17.(本小题满分 12 分)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x ( x ≥ 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x (单位:元) , 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

18.(本小题满分 14 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中

BD 是圆的直径, ∠ABD = 60 , ∠BDC = 45 , ?ADP ∽ ?BAD 。
(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。

19.(本小题满分 13 分)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ≥ 245, z ≥ 245 ,求初三年级中女生比男生多的概率。 20. (本小题满分 14 分)设 b > 0 ,椭圆方程为

x2 y 2 + = 1 ,抛物线方程为 x 2 = 8( y ? b), 如图所示,过点 2b 2 b 2

F (0, b + 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 。
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
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(2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得 ?ABP 为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

21 . 设 数 列 {an } 满 足 a1 = 1 , a2 = 2 , an =

1 (an ?1 + 2an ? 2 ) 3

(n = 3, 4,?) 。 数 列 {bn } 满 足

b1 = 1, bn (n = 2,3,?) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k ,都有 ?1 ≤ bm + bm +1 + ? + bm + k ≤ 1 。
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn = nan bn ( n = 1, 2,?) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 。

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 A 10 C

二、填空题: 题号 答案 11 13 12 70 13 12 3 14 15

(2 3, ) 6

π

3

三、解答题: 16.解: (1)∵ f ( x ) = A sin( x + ? )( A > 0, 0 < ? < π ) 的最大值是 1,∴ A = 1 。 ∵ f ( x ) 的图象经过过点 M ( ∴ sin(

π 1

π

, ), 3 2

1 +?) = . 3 2
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∵ 0<? <π , ∴ ? = ∴ f ( x ) = sin ? x +

π
2



? ?

π?

? = cos x. 2?

(2)∵ f ( x ) = cos x , ∴ f (α ) = cos α = ∵ α , β ∈ ? 0,

3 12 , f ( β ) = cos β = . 5 13

? π? ?, ? 2?

∴ sin α = 1 ? ? ? =

? 3? ? 5?

2

4 5 ? 12 ? , sin β = 1 ? ? ? = . 5 13 ? 13 ? 3 12 4 5 56 × + × = . 5 13 5 13 65

2

∴ f (α ? β ) = cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β =

π π 1 π π 4π f ( ) = sin( + φ) = ,又 < + φ < ; 3 3 2 3 3 3 π 5π π ∴ +φ= 即φ = 3 6 2 π 因此 f ( x ) = sin( x + ) = cos x ; 2

17.解:设楼房建为 x 层,则每平方米的平均综合购地费用为

2160 × 104 10800 = . 2000x x

∵ 每平方米的平均综合费用 y = 560 + 48 x +

10800 225 ? ? = 560 + 48 ? x + ?. x x ? ?

225 取最小时, y 有最小值。 x ∵ x > 0,
当x+ ∴ x+

225 225 ≥ 2 x? = 30 , x x
225 ,即 x = 15 时,上式等号成立。 x

当且仅当 x =

所以当 x = 15 时, y 有最小值 2000 元。 答:该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小。 18.解: (1)由 BD 是圆的直径知∠BAD=90?, BD = 2 R , ∵ ∠ABD = 60 ,
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∴ AD = BD sin 60 =

3R , AB = R 。

由△ADR∽△BAD 知△ADP 是直角三角形,且 ∠PAD = 60 . ∴ PD = AD tan 60 = 3R. (2)由 BD 是圆的直径, ∠BDC = 45 ,知△BCD 为等腰直角三角形。 ∴ BC = DC =

2R 。
2 2 2 2 2 2

∵ 在△PDC 中有 PD + CD = 9 R + 2 R = 11R = PC , ∴ PD ⊥ CD. 由(1)知 PD ⊥ AD ,∴ PD 是三棱锥 P ? ABC 在底面 ABC 的高。根据三角形面积 公式有

S ?ABC =

1 2 2 AB ? BC ? sin ∠ABC = R sin105 。 2 2 6+ 2 . 4

而 sin105 = sin(60 + 45 ) = sin 60 cos 45 + cos 60 sin 45 =

于是 S ? ABC =

3 +1 2 R . 4 1 3 +1 3 S?ABC ? PD = R. 3 4

故三棱锥 P ? ABC 的体积 V =

19.解:(1) x = 2000 × 0.19 = 380 (名)。 (2)由题设和(1)可知,初一、初二年级各有学生 750 名,初三年级学生为 2000-750-750=500(名)。 故采用分层抽样方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取

500 × 48 = 12 (名)。 2000

(3)当 y ≥ 245 , z ≥ 245 时,初三年级中男、女生人数的所有可能组合为 女生 男生 245 255 246 254 247 253 248 252 249 251 250 250 251 249 252 248 253 247 254 246 255 245

所以可能组合有 11 种,其中女生比男生多的组合有 5 咱,故初三年级中女生比男生多的概率为

5 。 11

20.解: (1)解法 1:设椭圆的右焦点 F1 的坐标为 ( c,0) , 则c =

2b2 ? b2 = b.

已知点 F 的坐标为 (0, b + 2) 。

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则点 G 的坐标为 (4, b + 2) 。 于是抛物线 x 2 = 8( y ? b) 在点 G 的切线 l 的斜率 k = 切线 l 的方程 y = x + b ? 2. ∵ 切线 l 经过椭圆的右焦点 F1 (b, 0) , ∴ 由 0 = b + b ? 2 解得 b = 1.

x |x =4 = 1 , 4

x2 故满足条件的椭圆方程为 + y 2 = 1 ,抛物线方程为 x 2 = 8( y ? 1). 2
解法 2:设椭圆的右焦点 F1 的坐标为 ( c,0) ,则 c =

2b2 ? b2 = b.

已知点 F 的坐标为 (0, b + 2) ,则点 G 的坐标为 (4, b + 2) 。 因为抛物线 x 2 = 8( y ? b) 在点 G 的切 l 的斜率 k = 于是过点 F1 和点 G 的直线的斜率 k = 所以 b = 1 。 故满足条件的椭圆方程为

b+2 =1, 4?b

x |x =4 = 1 , 4

x2 + y 2 = 1 ,抛物线方程为 x 2 = 8( y ? 1). 2

(2)抛物线上存在点 P,使得△ABP 为直角三角形,这样的点共有四个。 ①分别过 A,B 作 x 轴的垂线,与抛物线分别交于两点 P ? ? 2, ? 和 P2 ? 2, ? 。 1 则 ?ABP 和 ?ABP2 都是直角三角形。 1 ②以原点为中心,

? ?

5? 4?

? ?

5? 4?

1 | AB |= 2 为半径作圆,由于圆周半径 2 大于椭圆的半短袖长 1,且椭圆与抛物线仅 2

交于一点,所以上述圆周必与抛物线相交于两点 P3 和 P4 。 则 ?ABP3 和 ?ABP4 都是直角三角形,

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因为 P A 与圆相切于点 A,而 P3 在圆周上, 1 所以 P3 与 P 不重合,同理 P4 和 P2 不重合, 1 故 P 、 P2 、 P3 和 P4 是两两互不相同的点。 1

21.解: (1)由 an =

1 ( an ?1 + 2an ?2 ) , 3 2 有 an ? an ?1 = ? ( an ?1 ? an ?2 )( n = 3, 4, ? ??). 3

可得 an ? an ?1 = ?
2

2 2? 2 ? (an ?1 ? an ?2 ) = ? ? ? (an ?2 ? an ?3 ) ? 3 3? 3 ?

? 2? = ? ? ? ( an ? 2 ? an ?3 ) ? 3? = ? ? ?? ? ? ? 2? = ?? ? ? 3?
n ?2 n ?2

? 2? ( a2 ? a1 ) = ? ? ? ? 3?

( n = 3, 4, ? ? ?).

于是有 an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + ? ??( a2 ? a1 ) + a1

? 2? = ?? ? ? 3?

n ?2

? 2? +?? ? ? 3?

n ?3

? 2? + ??? + ? ? ? +1 ? 3?

0

? ? 2 ? n ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? 3? ? ? ? + 1 = 1 ?8 ? 3 × ? ? 2 ? ? . = ? ? ? ? 5? ? 2? ? 3? ? ? ? 1? ?? ? ? 3?
由题设 bn ≠ 0 ,且对任意 m ∈ Z + ,有 ?1 ≤ bm ≤ 1 ? bm = 1 或 bm = ?1 ∵ b1 = 1 ,由题设有 ?1 ≤ b1 + b2 ≤ 1 ? ?2 ≤ b2 ≤ 0 , ∴ b2 = ?1 。 同理,由题设有 ?1 ≤ b2 + b3 ≤ 1 ? b3 ≤ 2 , ∴ b3 = 1 下面用反证法证明 bn = ( ?1)
n ?1



由题设可知 | bn |= 1 , ?1 ≤ bm + ? ? ? + bm + k ≤ 1 。

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? 10 ?

假设 {bn } 存在相邻两项 bm , bm +1 的符合相同, 则有 | bm + bm +1 |= 2 | bm |= 2 ,这与 ?1 ≤ bm + ? ? ? + bm + k ≤ 1 矛盾! 故 {bn } 的任意相邻两项 bm , bm +1 的符号都相反。 故 bn = ( ?1)
n ?1



(2)由 cn = nan bn ,则 cn = nan bn =

1? 2 ? 8n ( ?1)n ?1 ? 3n ( ) n ?1 ? 5? 3 ? ?

5 3 ?2? = ( ?1) n ?1 n ? n ? ? 8 5 ? 3?

n ?1

.
n ?1

8 8 n ?1 3 ?2? n ?1 设 d n = ( ?1) n = nq1 , en = n ? ? 5 5 5 ? 3?
对于数列 {nq
n ?1

3 = nq2 n ?1. 5

}( q ≠ 1) ,其前 n 项和 Tn = 1 + 2 q + 3q 2 + ? ?? + nq n ?1.

Tn ? qTn = 1 + q + ?? ? + q n ?1 ? nq =

1 ? qn ? nq n ? 1? q

Tn =

1 ? 1 ? qn n? ? 1 ? q ? nq ? . 1? q ? ?

8 1 ?1 ? ( ?1) n n? 所以 {d n } 前 n 项和为 Dn = ? ? 1 ? ( ?1) ? n( ?1) ? 5 1 ? ( ?1) ? ?
= 2 ?1 ? (2n + 1)( ?1)n ? . ? 5?

? ? 2 ?n ? n? ?1 ? ? ? 3 1 ? ? 3? ?2? {en } 前 n 项和为 En = ? n? ? ? 5 1? 2 ? 1? 2 ? 3? ? ? ? 3? 3 ?
n 9? ?2? ? = ?3 ? ( n + 3) ? ? ? , 5? ? 3? ? ? ? n 2 9? ?2? ? ?1 ? (2n + 1)( ?1)n ? ? ?3 ? ( n + 3) ? ? ? ? 5 5? ? 3? ? ? ? ?

故 {cn } 的前 n 项和 Sn =

n ? 1? ?2? = ?9(n + 3) ? ? + 2(2n + 1)( ?1) n +1 ? 25? . 5? ? 3? ? ? ?

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