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【全国百强校】江苏省盐城中学2014-2015学年高二数学暑假作业10:数列(教师版)

盐城中学高二数学暑假作业(十)
-----数列(1)
班级 一、填空题: 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ( n ? N* ) ,则其前 8 项的和 S8 = 2.设 Sn 是等差数列 ?an ? (n ? N* ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1,a 4 ? 7 ,则 S9 = 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? ?2,2an?1 ? 2an ? 3 ( n ? N* ) ,则 an ﹦ .255 .81 学号 姓名

值范围为___________. [6,12]

. an ? n ?

3 2

7 2
6 .

4. 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 a4 ? a3a6 ? a4 a5 ? a5 a7 ? 36 ,则 a3 ? a6 ? 5.已知 ?an ? 的前 n 项之和 Sn ? n2 ? 4n ? 1, 则 a1 ? a2 ? … ? a10 ﹦ . 67

6.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1, a8 ? a6 ? 2a2 ,则 a6 的值是

.4

? 1 ? *? ?2an , ? 0 ? an ? 2 , n ? N ? 3 ? ? ? 7. 数列 ?an ? 满足 a1 ? ,an ?1 ? ? , 则 a2009 ? 5 ?2a ? 1, ? 1 ? a ? 1, n ? N* ? n n ? ? ? ?2 ? ?

.a2009 ? a1 ?

3 5

8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n( n ? N* ) ,第 k 项满足 4 ? ak ? 7 ,则 k ﹦

.7

9.在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2 S 4 ? 3 , a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的公比 q 为 ______.3 10. 数列 ?a n ? 的首项为 3, 若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? a n?1 ? a n (n ? N ) .
?

16.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a 2 ? 1,a32 ? 9a 2a 6 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a 2 ? ??? ? log3 a n ,求数列 {

则 a8 ?

.3

11.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? 2 n ,则 a10 ? ____________. 1023

1 } 的前 n 项和. bn
2 4 所以

k * 12.已知数列 {an } 的通项公式为 a n ? n ? ,若对任意的 n ? N ,都有 a n ? a3 ,则实数 k 的取 n

解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由

a ? 9a2 a6 得 a ? 9a
2 3 3 3

q2 ?

1 9.

q?
由条件可知 c>0,故

1 1 a1 ? 3 .由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 3.

即 ? 4km ? k ? 1? ? ? 2km ? k ? 1??8km ? k ? 1? ,
2

整理得: mk ? k ? 1? ? 0 对任意的 m ? N* 都成立, ∴ k ? 0 或k ?1. 18.设无穷数列 ?an ? 满足: ?n ? Ν ? , an ? an?1 , an ? N? .记 bn ? aan, cn ? aan ?1 (n ? N* ) . (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值; (2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论. 解: (1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾, 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 ≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . ………………………………4 分 于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 . ………………………………7 分 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: ………………………………………9 分
an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .
(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) b n(n ? 1) n n ?1 故 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,……………………………………………13 分
≥an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 , 即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1

所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列.……………………………16 分

17. 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n, n ? N* ,其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m ? N* , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值. 解: (1)当 n ? 1 , a1 ? S1 ? k ? 1, 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? kn ? n ? ?k ? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 2kn ? k ? 1 ? ?
2 2

19.已知等差数列 ?an ? 满足 a 2 ? 0 , a 6 ? a8 ? ?10 .

? a ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ?

又当 n ? 1 时 a1 ? k ? 1 合上式,∴ an ? 2kn ? k ? 1( n ? N* ) . (2)∵ am , a2 m , a4 m 成等比数列,∴ a2m2 ? am a4m , 解: (I)设等差数列

{an } 的公差为 d,由已知条件可得

?a1 ? d ? 0, ? ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得

?a1 ? 1, ? ?d ? ?1.
{an } 的通项公式为 an ? 2 ? n.
{
………………5 分

式;(3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .
解: (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1.

故数列

因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2.

an a }的前n项和为Sn Sn ? a1 ? 2 ? n ?1 2 (II)设数列 2 ,即 Sn a1 a2 ? ? ? 2 2 4 ? an . 2n

?

an , 故S1 ? 1 2n ?1 ,

两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以

an ?1 1 = ( n∈ N ? ). an 2
n ?1

所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n
所以

1 ?1? 所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?
?1? (2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2?
b2 ? b1 =1, b3 ? b2 =
n ?1

( n∈ N ? ).

.从而有

1 ?1? ?1? , b4 ? b3 = ? ? ,, bn ? bn ?1 = ? ? 2 ?2? ?2?
n ?1

2

n?2

( n=2,3,).

将这 n-1 个等式相加,得

Sn ?

n 2 n ?1

.

?1? 2 n?2 1 ? ? ? 1 ?1? 1 2 ? ? bn - b1 =1+ + ? ? ++ ? ? = ? ? 1 2 ?2? ?2? 1? 2
?1? 又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ? ?2?
n ?1

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n ?1

.

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {

………………12 分

( n=1,2,3,).
n ?1

20.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;(2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的通项公

?1? (3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ? ? ?2?

,

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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