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江苏省泰州中学2017届高三上学期第一次月考理数试题Word版含答案.doc


高三数学试卷(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上) 1.已知集合 A ? ??1,0,1 ? , B ? ?0,1,2? ,则 A ? B ? 2.命题“ ?x ? (0, . 命题. (填“真”或“假” ) .

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是

3.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 4.已知角 ? 的终边过点 P(?8m, ?6sin 30?) ,且 cos ? ? ? 5.函数 f ( x) ? log a ( x ?1) ? 1 ( a ? 1 且 a ? 1 )恒过定点

4 ,则 m 的值为 5




6.函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ?1, 4? 上为单调函数,则 a 的取值范围 是 .

7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? 2 x ? m ( m ? R , m 为 常数) ,则 f (2) ? 8.若 ? ? (0, .

) , cos( ? ? ) ? 2 2 cos 2? ,则 sin 2? ? . 2 4 1 3 2 9.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 2ax ? 1 ,若函数 f ( x) 在 (1, 2) 上有极值,则实数 a 的取值范 3
围为 .

?

?

? x ? ln x ? 5, (0 ? x ? 1) ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 的值域为 R ,则实数 m 的取值范围为 9 x ? ? m , ( x ? 1) ? x ?1 ?
11.设实数 a ? 1 , b ? 1 ,则“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ? a ? b ”的 不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中之一填空)
2 ? ? x ? x, x ? 0, 12.设函数 f ( x) ? ? 2 若 f ( f (a)) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 ? ?? x , x ? 0,



条件. (请用“充分



13.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,对于 ?x ? R , f '( x) ? f ( x) ,且 f ( x ? 1) 为偶函数,

f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为



14.设 a , b 均为大于 1 的自然数,函数 f ( x) ? a(b ? sin x) , g ( x) ? b ? cos x ,若存在实

数 m 使得 f (m) ? g (m) ,则 a ? b ?



二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设函数 y ? lg(? x2 ? 4x ? 3) 的定义域为 A ,函数 y ? (1)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 16.已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x) 的值域和最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1

2? ? 2 x) 的值. 3

17.已知二次函数 f ( x) ? mx2 ? 2 x ? 3 ,关于实数 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ?1, n? . (1)当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式: ax2 ? n ? 1 ? (m ? 1) x ? 2ax ; (2)是否存在实数 a ? (0,1) ,使得关于 x 的函数 y ? f (a x ) ? 3a x?1 ( x ??1, 2? )的最小值 为 ?5 ?若存在,求实数 a 的值;若不存在,说明理由. 18.为了制作广告牌,需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形,已知铁片由两部分组成, 半径为 1 的半圆 O 及等腰直角三角形 EFH ,其中 FE ⊥ FH .为裁剪出面积尽可能大的梯 形铁片 ABCD (不计损耗) ,将点 A , B 放在弧 EF 上,点 C 、 D 放在斜边 EH 上,且

AD / / BC / / HF ,设 ?AOE ? ? .
(1)求梯形铁片 ABCD 的面积 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试确定 ? 的值,使得梯形铁片 ABCD 的面积 S 最大,并求出最大值.

19.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ( x ? c) | x ? c | , a ? 0 , c ? 0 .

3 1 , c ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 4 a 1 (2)当 c ? ? 1 时,若 f ( x ) ? 对任意 x ? (c, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 4
(1)当 a ? ? (3)设函数 f ( x) 的图象在两点 P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , f ( x2 )) 处的切线分别为 l1 , l2 ,若

x1 ? ?

a , x2 ? c ,且 l1 ? l2 ,求实数 c 的最小值. 2
x

20.已知函数 f ( x) ? e (a ln x ?

2 ? b) ,其中 a , b ? R . e ? 2.71828 是自然对数的底数. x

(1)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? e( x ? 1) ,求实数 a , b 的值; (2)①若 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; ②若 a ? 2 , b ? ?2 ,若 f ( x) ? kc 对一切正实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围(用 b 表 示) .

江苏省泰州中学 2016-2017 年度第一学期第一次质量检测 高三数学试卷(理科)答案
一、填空题 1. ?0,1? 2.假 3. (0, 6] 4.

1 2

5. ? 2,1?

6. (??,0] ? [5, ??)

28 9 15 8. 16
7. ? 14.4 二、解答题

9. ( , 4) 10. m ? 1

3 2

11.充要

12. a ?

2

13. (0, ??)

2 15.解: (1)由 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) ,

又函数 y ? 即B ?(

2 2 , 2) , 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1

2 , 2) , m ?1

16.解: (1)因为

f ( x) ?

? 1 3 1 ? cos 2 x 3 cos 2 x 1 sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 6 2 2 2 2 2 2
2? ? 3 1? ?? . , ? ,最小正周期为 T ? 2 ? 2 2?

所以 f ( x) 的值域为 ? ?

(2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? 所以 cos(

?
6

)?

1 ? 1 ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? , 2 6 2

2? ? ? ? 1 ?? ? 2 x) ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 3 6 ? 6 2 ?2
2 2

17.解: (1)由不等式 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 ? ?1, n? 知,关于 x 的方程 mx ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为 ?1 和 n ,且 m ? 0 ,

2 ? ?1 ? n ? , ? ? m ? 1, ? m 由根与系数关系,得 ? ∴? ?( ?1) ? n ? ? 3 , ? n ? 3. ? m ?
所以原不等式化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ?

2 a

2 2 ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a

②当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)2 ? 0 ,解得 x ? R 且 x ? 2 ; ③当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,且 2 ? 综上所述: 当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

2 a

2 2 ,解得 x ? 或 x ? 2 ; a a

? ?

2 ? 或x ? 2? ; a ? 2? ?. a?

当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x | x ? 2或x ? (2)假设存在满足条件的实数 a , 由(1)得: m ? 1 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,

? ?

y ? f (a x ) ? 3a x?1 ? a2 x ? (3a ? 2)a x ? 3 .
2 t a ? 令a ?t (a ?t ? a ) ,则 y ? t ? (3a ? 2)t ? 3 , (a ?
x 2 2

) ,

对称轴 t ?

3a ? 2 , 2
2

因为 a ? (0,1) ,所以 a ? a ? 1 , 1 ?

3a ? 2 5 ? , 2 2

2 2 所以函数 y ? t ? (3a ? 2)t ? 3 在 ? ?a , a ? ? 单调递减,

所以当 t ? a 时, y 的最小值为 y ? ?2a ? 2a ? 3 ? ?5 ,解得 a ?
2

5 ?1 . 2

18.解: (1)连接 OB ,根据对称性可得 ?AOE ? ?BOF ? ? 且 OA ? OB ? 1 , 所以 AD ? 1 ? cos ? ? sin ? , BC ? 1 ? cos ? ? sin ? , AB ? 2cos ? , 所以 S ?

( AD ? BC ) ? AB ? ? 2(1 ? sin ? ) cos ? ,其中 0 ? ? ? . 2 2

(2)记 f (? ) ? 2(1 ? sin ? )cos ? , 0 ? ? ?

?

2



f '(? ) ? 2(cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? ) ? ?2(2sin ? ?1)(sin ? ? 1) ( 0 ? ? ?
当0 ?? ?

?
2

) .

?
6

时, f '(? ) ? 0 ,当

?
6

?? ?

?
2

时, f '(? ) ? 0 ,

所以 f (? ) 在 (0,

?

) 上单调递增,在 ( , ) 上单调递减, 6 2 6

? ?

所以 f (? ) max ? f ( ) ?

?

6

? 3 3 3 3 ,即 ? ? 时, Smax ? . 6 2 2

? 2 x 2 ? 2cx ? a , x ? c, ? ?a ln x ? ( x ? c) 2 , x ? c, ? ? x 19.解: 函数 f ( x) ? ? 求导得 f '( x) ? ? 2 2 ? ?a ln x ? ( x ? c) , 0 ? x ? c, ? ?2 x ? 2cx ? a , 0 ? x ? c. ? x ? ? 8x2 ? 2 x ? 3 1 ,x ? , ? 3 1 ? 4x 4 (1)当 a ? ? , c ? 时, f '( x) ? ? 2 4 4 ? ?8 x ? 2 x ? 3 , 0 ? x ? 1 . ? 4x 4 ?
1 1 ?8 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减; ①若 0 ? x ? ,则 f '( x) ? 4 4 4x
②若 x ?

1 (2 x ? 1)(4 x ? 3) 3 1 ,则 f '( x) ? ,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? ? (舍去) , 4 4x 4 2



1 3 ?1 3? ? x ? ,则 f '( x) ? 0 , f ( x) 在 ? , ? 上单调递减; 4 4 ?4 4?

3 3 ,则 f '( x) ? 0 , f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增; 4 4 3 3 综上,函数 f ( x) 的单调减区间是 (0, ) ,单调增区间是 ( , ??) . 4 4 a ( x ? 1)(2 x ? a) a (2)当 x ? c , c ? ? 1 时, f '( x) ? ,而 c ? ? 1 ? 1 , 2 x 2
若x? 所以当 c ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (c,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增; 所以函数 f ( x) 在 (c, ??) 上的最小值为 f (1) ?

a2 , 4

所以

a2 1 ? 恒成立,解得 a ? ?1 或 a ? 1 (舍去) , 4 4

又由 c ?

a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?2 , 2

所以实数 a 的取值范围是 (?2, ?1] . (3)由 l1 ? l2 知, f '( ? ) f '(c) ? ?1 ,而 f '(c) ?

a 2

a a c ,则 f '( ? ) ? ? , c 2 a

a a 若 ? ? c ,则 f '( ? ) ? 2 2

a a 2(? ) ? 2c ? ? a 2 2 ? ?2c , a ? 2

所以 ?2c ? ?

c 1 ,解得 a ? ,不合题意, a 2

a a ?2(? ) ? 2c ? ? a a c a 2 2 ? ? ?8a ? 2c ? ? , 故 ? ? c ,则 f '( ? ) ? 2 a 2 a ? 2
整理得 c ?

a ?8a , 2a ? 1
1 t2 ,令 ?8a ? t ,则 a ? ? , t ? 2 , 2 8

由 c ? 0 ,得 a ? ?

t2 ?t t3 t3 2t 2 (t 2 ? 12) 8 所以 c ? ,设 g (t ) ? 2 ,则 g '(t ) ? , ? 2 2t ? 8 t2 2t ? 8 (2t 2 ? 8)2 ? ?1 4 ?
当 2 ? t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2, 2 3) 上单调递减; 当 t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2 3, ??) 上单调递增; 所以函数 g (t ) 的最小值为 g (2 3) ?

3 3 , 2

故实数 c 的最小值为

3 3 . 2

20.解: (1)由题意知曲线 y ? f ( x) 过点 (1, 0) ,且 f '(1) ? e ; 又因为 f '( x) ? e (a ln x ?
x

2 a?2 ? ? b) , x2 x

则有 ?

? f (1) ? e(2 ? b) ? 0, 解得 a ? 3 , b ? ?2 . ? f '(1) ? e(a ? b) ? e,
x

(2)①当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的导函数 f '( x) ? e (?2 ln x ? 若 f '( x) ? 0 时,得 b ? 2 ln x ? 设 g ( x ) ? 2 ln x ?

2 ? b) ? 0 , x2

2 , x2

2 (x ? 0) , x2

2 4 2 x2 ? 4 由 g '( x) ? ? 3 ? ,得 x ? 2 , g ( 2) ? 1 ? ln 2 . x x x3
当0 ? x ?

2 时, g '( x) ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在区间 (0, 2) 上为减函数,

g ( x) ? (1 ? ln 2, ??) ;
仅当 b ? 1 ? ln 2 时, b ? g ( x) 有两个不同的解,设为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) .

x
f '( x) f ( x)

(0, x1 )
?

x1
0
极大值

( x1 , x2 )

x2
0
极小值

( x2 , ??)
?

?

此时,函数 y ? f ( x) 既有极大值又有极小值. ②由题意 e (2 ln x ?
x

2 ? b) ? kx 对一切正实数 x 恒成立, x

取 x ? 1 得 k ? (2 ? b)e . 下证 e (2 ln x ?
x

2 ? b) ? (2 ? b)ex 对一切正实数 x 恒成立. x

x x 首先,证明 e ? ex ,设函数 u( x) ? e ? ex ,则 u '( x) ? e ? e ,
x

x 当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, u '( x) ? 0 ;得 e ? ex ? u(1) ? 0 ,即 e ? ex ,
x

当且仅当都在 x ? 1 处取到等号.

1 1 x ?1 ? 1 ,设 v( x) ? ln x ? ? 1 ,则 v '( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, v '( x) ? 0 ; x x x 1 当 x ? 1 时, v '( x) ? 0 ;得 v( x) ? v(1) ? 0 ,即 ln x ? ? 1 , x
再证 ln x ? 当且仅当都在 x ? 1 处取到等号.

由上可得 e (2 ln x ?
x

2 f ( x) ? b) ? (2 ? b)ex ,所以 ( ) min ? (2 ? b)e , x x

所以 k ? (2 ? b)e .


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