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江苏省如皋高级中学2010——2011学年高三11月月考数学试卷(理科)


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江苏省如皋高级中学 2011 届高三数学(理科)月考试卷 2010.11 江苏省如皋高级中学 高三数学(理科) 高级 数学
一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 填空题( 1.若复数 z1 = 1 ? i , z2 = 2 + 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 z1 z2 的虚部是 2.已知集合 A = (?∞, 0] , B = {1,3, a} ,若 A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是 2 3.若函数 f ( x) = x + m 为奇函数,则实数 m = . 2 +1 . 4.函数 y = x ? 2sin x 在(0, 2π )内的单调增区间为
5.二次函数 f ( x ) = ax + 2 x + c ( x ∈ R ) 的值域为[0,+ ∞ ),
2

.

开始

.

S ← 0, n ← 1

a +1 c +1 则 + 的最小值为 c a

n ≤12
Y S ←S+n

N 输出 S 结束

.

6.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S = . 7.已知直线 l1 : ax + 3 y + 1 = 0 , l2 : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0 ,

若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是


.

n←n+2
(第 6 题图)

向量 m = (a + c, b ? a ) , n = ( a ? c, b) ,若 m ⊥ n ,则∠ C 等于 π 3 π . 9. 已知 cos(θ ? ) = , θ ∈ ( , π) ,则 cos θ = 4 5 2 10.已知函数 y = f ( x) 及其导函数 y = f ′( x) 的图象如图所示, 则曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线方程是

8.若 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c ,

y

y = f ( x) y = f ′( x)

1 O .
P (2, 0)

x

uuur uuur uuuu r 11. 在△ABC 中,点 M 满足 MA + MB + MC = 0 , uuu uuur r uuuu r 若 AB + AC + m AM = 0 ,则实数 m 的值为
2
2 2

(第 10 题图) .
2 2

12. 已知方程 f ( x ) = x + ax + 2b 的两个根分别在(0,1)(1,2)内,则 a + (b ? 4) 的取值范围为 , 13. 若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) ≤ ax 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围是





14. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , b1 = 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l ,

当 i + j = k + l 时,都有 ai + b j = ak + bl ,则 二、15.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

1 2010 ∑ (ai + bi ) 的值是 2010 i =1



x2 y 2 + =1(a > b > 0 ) ,其左、右焦点分别为 F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0) , a 2 b2

且 a,b,c 成等比数列. (1)求椭圆的离心率 e 的值; (2)若椭圆 C 的上顶点、右顶点分别为 A、B,求证: ∠F1 AB = 90° .
16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ⊥ 平面ABCD , AD = CD ,DB 平分 ∠ADC , E 为 PC 的中点. P (Ⅰ)证明: PA // 平面BDE ; (Ⅱ)证明: AC ⊥ 平面PBD . E

A D C

B

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17.(本小题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角△ABC 内接于圆 x 2 + y 2 = 1. 已知 BC 平行于 x 轴, AB 所在直线方程为 y = kx + m( k > 0) ,记角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c。 (1)若 3k =

(2)若 k = 2, 记∠xOA = α (0 < α <

3π ), 求 sin(α + β ) 的值。 2 2 1 1 3 2 18.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的前五项依次是 0, ? , ? , ? , ? . 3 2 5 3 1 n 正数数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = (bn + ) . 2 bn (1)写出符合条件的数列 {an } 的一个通项公式; 、 ), ∠xOB = β (π < β <
(2)求 Sn 的表达式;

2ac A+C , 求 cos 2 + sin 2 B 的值; 2 2 2 a +c ?b
2

π

(3)在(1)(2)的条件下, c1 = 2 ,当 n≥2 时,设 cn = ? 、 且 Tn > log m (1 ? 2m) 恒成立,求实数 m 的取值范围

1 , Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和, an S n 2

19.(本小题满分 16 分)已知圆 C 过点 P (1,1) ,且与圆 M : ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = r 2 ( r > 0) 关于直线 x + y + 2 = 0 对称. (Ⅰ)求圆 C 的方程;

(Ⅱ)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 20.(本小题满分 16 分)设函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 是奇函数,且当 x = ? 3 时,f (x)取得极小值 ? 2 3 . 3 9 (1)求函数 f (x)的解析式; (2)若函数 g ( x) = mf ( x) + f ′( x) 在 x ∈ [0,2] 上的最大值为 1,求实数 m 的取值范围;
(3)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) 为 f (x)图像上的两点,且 ?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ,点 C (1,0) , 试问 ∠ACB = 90°是否成立?证明你的结论.
1.曲线 x + 4 xy + 2 y = 1 在二阶矩阵 M = ?
2 2 2 2

uuu uuuu r r

?1 a ? 2 2 的作用下变换为曲线 x ? 2 y = 1 ,求实数 a, b 的值; b 1? ? ?

22.已知点 P ( x, y ) 是圆 x + y = 2 y 上的动点. (1)求 2 x + y 的取值范围; (2)若 x + y + a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 1 1 1 + + + L + 2 > 1( n ∈ N?且n > 1) . n n +1 n + 2 n 24.一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这 3 个展览馆,又该游客参观甲、乙、丙这 3 个展览馆的概率分别 是 0.4,0.5,0.6,且是否参观哪个展览馆互不影响. 设 ξ 表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参 观的展览馆数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ξ 的概率分布及数学期望;
23.用数学归纳法证明不等式: (Ⅱ)记“函数 f ( x ) = x ? 3ξ x + 1 在区间 [ 2, +∞ ) 上单调递增”为事件 A ,求事件 A 的概率.
2

一 1. 2,

2. a ≤ 0 ,

3. ?1 , 11. ?3

4. ? , ? ?3 3 ? 12.

? π 5π ? ? 81 ? ? ,20 ? ?5 ?

5.

4

6. 36

7. ?3 , 14. 2012.

8.

π
3

,

9. ?

2 , 10

10. x ? y ? 2 = 0 ,

13. [ 9 , 25 ) ,
4 9

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二、解答题: 解答题: 15.解: (1)由题设 b 2 = ac 及 b 2 = a 2 ? c 2 ,……( 2′ )

c 5 ?1 = .……( 6′ ) a 2 (2)由题设 A(0, b) , B (a,0) ,又 F1 (?c,0) ,……( 8′ ) uuur uuu r 得 AF1 = (?c, ?b) , AB = (a, ?b) ,……( 10′ ) uuur uuu r 于是 AF1 ? AB = ? ac + b 2 = 0 ,……( 13′ ) 故 ∠F1 AB = 90° .……( 15′ ) 16. 证明:略
得 17.解: (1) 变式得: 3

sin B 2ac 1 = 2 , 解得 sin B = , ………………4 分 2 2 cos B a + c ? b 3 1 ? cos B 9+2 2 2 B + sin 2 B = + 2 sin B cos B = 原式 = sin ; …………3 分 2 2 18

(2)解 1Q∠AOB=β—α,作 OD⊥AB 于 D,

∴ ∠xOD = α +

β ?α
2

= 2

α+β
2

,∴ tan

α+β
2

= k OD = ?

sin(α + β ) =

4 = ? .LLL 3分 α+β 5 1 + tan 2 2 2 2 ?x + y = 1 2 ,5 x + 4mx + m 2 ? 1 = 0 解2 ? ? y = 2x + m

2 tan

α+β

1 1 = ? , LL 4分 k 2

设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 + x 2 = ?

4m m2 ?1 , x1 x 2 = . 5 5 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = y1 x 2 + x1 y 2 = (2 x1 + m) x 2 + x1 (2 x 2 + m)

4 = 4 x1 x 2 + m( x1 + x 2 ) = ? LLLL 5分 5 1? n (n ∈ N? ) . 18.解: (1) an = 1+ n 1 n 1 1 (2) 因为 S n = (bn + ) , n > 0 , b 所以 b1 = (b1 + ) , 解得 b1 = 1 , S1 = 1 .当 n≥2 时, n = S n ? S n ?1 , 即 b 2 bn 2 b1 n n 2 2 所以 2 S n = S n ? S n ?1 + . S n + S n ?1 = ,即 S n ? S n ?1 = n . S n ? S n ?1 S n ? S n ?1
所以, S n ?1 ? S n ? 2 = n ? 1 , S n ? 2 ? S n ?3 = n ? 2 ,…, S 2 ? S1 = 2 ,
2 2 2 2 2 2

累加,得 S n ? S1 = 2 + 3 + 4 + L + n .
2 2

n(n + 1) n(n + 1) ,即 S n = . 2 2 1 2 1 1 = = 2( ? ). (3)在(2)(1)的条件下, c1 = 2 .当 n≥2 时, cn = ? 、 2 an S n n(n ? 1) n ?1 n
所以, S n = 1 + 2 + 3 + L + n =
2

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当 n = 1 时, T1 = c1 = 2 ; 当 n≥2 时, Tn = c1 + c2 + c3 + L + cn = 2[1 + ( ? ) + ( ? ) + L ( 显然, Tn 的最小值在 n = 1 时取得,且最小值为 2.

1 1 1 1 1 1 1 ? )] = 2(2 ? ) . 1 2 2 3 n ?1 n n 因为 Tn > log m (1 ? 2m) 恒成立,即 log m (1 ? 2m) 恒小于 Tn 的最小值.

?0 < m < 1 ?m > 1 ? ? 故有 log m (1 ? 2m) < 2 . 所以 ?1 ? 2m > 0 ① 或 ?1 ? 2m > 0 ② ? ? 2 2 ?1 ? 2m > m ?1 ? 2m < m 解①得, 0 < m < 2 ? 1 ,不等式组②无解.故,实数 m的取值范围是 (0, 2 ? 1) .

?a ? 2 b ? 2 ? 2 + 2 +2=0 ? ? ?a = 0 b+2 ? =1 ? b = 0 …………… (3 分) ? a+2 19.设圆心 C (a, b) ,则 ? ,解得 ?
2 则圆 C 的方程为 x + y = r ,将点 P 的坐标代入得 r = 2 , 2 2 2 2 2 故圆 C 的方程为 x + y = 2 …………………… 2 2

uuu uuuu r r Q ( x, y ) ,则 x + y = 2 ,且 PQ ? MQ = ( x ? 1, y ? 1) ? ( x + 2, y + 2) … (7 分) (Ⅱ)设 uuu uuuu r r x 2 + y 2 + x + y ? 4 = x + y ? 2 ,所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)…(10 分) = (Ⅲ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 = k ( x ? 1) ,

(5 分)

? y ? 1 = k ( x ? 1) ? 2 2 PB : y ? 1 = ? k ( x ? 1) ,由 ? x + y = 2 ,得 (1 + k 2 ) x 2 + 2k (1 ? k ) x + (1 ? k ) 2 ? 2 = 0
k 2 ? 2k ? 1 xA = 1+ k 2 因为点 P 的横坐标 x = 1 一定是该方程的解,故可得 k 2 + 2k ? 1 xB = 1+ k 2 , 同理, y ? y A ? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB + x A ) k AB = B = = =1 kOP xB ? x A xB ? x A xB ? x A
=

所以

所以,直线 AB 和 OP 一定平行 20.解: (1) f ( x ) 为奇函数 ? f ( ? x ) = ? f ( x) 即 ? ax + bx ? cx + d = ? ax ? bx ? cx ? d 对于 x ∈ R 恒成立,
3 2 3 2

∴b = d = 0 ? 3 ? f ′(? ) = 0 ? a = ?1 ? 3 又Q ? ?? ? f ( x) = ? x3 + x ? c =1 ? f ( 3) = ? 2 3 ? 3 9 ?

(2)由题意得 g ( x ) = ? mx 3 ? 3 x 2 + mx + 1 ;Q g ( x ) max = 1

∴ ?x ∈ [0, 2] g ( x) ≤ 1 恒成立,即 m( x ? x3 ) ≤ 3 x 2 恒成立 ( x ∈ [0, 2]) 法一:当 x = 0或1 时, 0 ≤ 0 成立,所以 m ∈ R 3x 2 3 恒成立 ? m ≤ 恒成立, 当 x ∈ (0,1) 时, m ≤ 3 1 x?x ?x x
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1 3 ? x ∈ (0, +∞) ? 的值域为 (0, +∞ ) ,∴ m ≤ 0 1 x ?x x 3x 2 3 当 x ∈ (1, 2] 时, m ≥ 恒成立 ? m ≥ 恒成立, 3 1 x?x ?x x 1 3 3 x ∈ (1, 2] ? ? x ∈ [? , 0) ? 的值域为 [ ?2, +∞ ) ,∴ m ≥ ?2 1 x 2 ?x x 综上所述即 m ∈ [ ?2, 0] 法二:当 x = 0 时, 0 ≤ 0 成立,所以 m ∈ R 1 当 x ∈ (0, 2] 时 m( x ? x3 ) ≤ 3 x 2 恒成立 ? m( ? x) ≤ 3 恒成立, x m = 0 时, 0 ≤ 3 合题意; 3 1 3 1 1 3 m > 0 时, ≥ ( ? x) 恒成立, ≥ ( ? x) max ,Q ( ? x) ∈ [? , +∞) ,∴ m ∈? ; m x m x x 2 3 1 3 1 1 3 3 3 m < 0 时, ≤ ( ? x) 恒成立, ≤ ( ? x)min ,Q ( ? x) ∈ [? , +∞) ,∴ ≤ ? ∴?2 ≤ m < 0 m x m x x 2 m 2 综上所述即 m ∈ [ ?2, 0]
x ∈ (0,1) ?
(3) ∠ACB = 90 不成立
0 0

假设 ∠ACB = 90 成立 ? CA ? CB = 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + y1 y2 = 0 又Q y1 = ? x1 + x1 , y2 = ? x2 + x2 ,∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + ( ? x1 + x1 )( ? x2 + x2 ) = 0
3 3 3 3 2 ∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + x1 x2 ( x12 ? 1)( x2 ? 1) = 0

uuu uuu r r

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + x1 x2 ( x1 ? 1)( x1 + 1)( x2 ? 1)( x2 + 1) = 0

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1)[1 + x1 x2 ( x1 + 1)( x2 + 1)] = 0 ? ? ? 1 + x1 x2 ( x1 + 1)( x2 + 1) = 0 Q ?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ?
1 1 ? x1 x2 + x1 + x2 + 1 = ? x1 x2 x1 x2 1 ? x1 + x2 + 1 = ?( x1 x2 + ) (*) x1 x2

? ( x1 + 1)( x2 + 1) = ?

?2 < x1 < ?1 < x2 < 0 ? x1 + x2 + 1 > ?2 ,且 ?( x1 x2 +
0

1 1 ) ≤ ?2 x1 x2 = ?2 x1 x2 x1 x2

( * )式的左右两边不可能相等,所以 ∠ACB ≠ 90 ……( 16′ )

附加题
21.设 P ( x, y ) 为曲线 x ? 2 y = 1 上任意一点, P ' ( x ' , y ' ) 为曲线 x 2 + 4 xy + 2 y 2 = 1 上与 P 对应的点,
2 2

? x = x ' + ay ' ?1 a ? ? x ' ? ? x ? = ? ? ,即 ? ? ? '? ' ' ?b 1 ? ? y ? ? y ? ? y = bx + y 代入的 ( x ' + ay ' ) 2 ? 2(bx ' + y ' ) 2 = 1 得 (1 ? 2b2 ) x′2 + ( 2a ? 4b ) x′y ′ + ( a 2 ? 2 ) y ′2 = 1 ,
则?
?1 ? 2b 2 = 1 ? 及方程 x 2 + 4 xy + 2 y 2 = 1 ,从而 ? 2a ? 4b = 4 ,解得 a = 2, b = 0 , ? 2 ?a ? 2 = 2

( 22.解: 1)由 x + y = 2 y 可得 x + ( y ? 1) = 1
2 2
2 2

设 x = cos θ , y = 1 + sin θ , θ ∈ R ,则 2x + y = 2 cos θ + 1 + sin θ
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= 5 sin(θ + ? ) + 1 ∈ ?1 ? 5,1 + 5 ?

?

?
2

(2)由 x + y = 2 y 可得 x + ( y ? 1) = 1
2 2
2

设 x = cos θ , y = 1 + sin θ , θ ∈ R , x + y + a ≥ 0 恒成立 即 a ≥ ? ( x + y ) 恒成立,而 ? ( x + y ) = ? ( sin θ + cos θ + 1) ≤

2 ? 1 ,∴ a ≥ 2 ? 1 。

1 1 1 13 + + = >1 23.证明: (1)当 n = 2 时,左边= 2 3 4 12 ,∴ n = 2 时成立; 1 1 1 1 + + +L + 2 >1 n = k ( k ≥ 2) 时成立,即 k k + 1 k + 2 k (2)假设当 ,
那么当 n = k + 1 时,左边 1 1 k 2 ? k ?1 1 1 1 1 1 1 ? =1+ >1 = + +L+ 2 + ( 2 +L + ) ? > 1 + (2k + 1) ? 2 k k +1 k k +1 (k + 1) 2 k k +1 k k (k 2 + 1)

=

1 1 1 1 +L + 2 + ( 2 +L + ) k +1 k k +1 (k + 1)2



∴ n = k + 1 时也成立,
根据(1) (2)可得不等式对所有的 n > 1 都成立. 24.解:(I)分别记“客人参观甲展览馆”,“客人参观乙展览馆”,“客人参观丙展览馆”为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6. 客人参观的展览馆数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地, 客人没有参观的展览馆数的可能取值为 3,2,1,0,所以 ξ 的可能取值为 1,3. P( ξ =3)=P(A1·A2·A3)+ P( A1 ? A2 ? A3 )= P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24,P( ξ =1)=1-0.24=0.76, 所以 ξ 的概率分布表为 ∴ E ξ =1×0.76+3×0.24=1.48 (Ⅱ)因为 f ( x ) = ( x ?

ξ
P

1 0.76

3 0.24

3 3 2 9 ξ ) + 1 ? ξ 2 , 所以函数 f ( x) = x 2 ? 3ξ x + 1 在区间 [ ξ , +∞) 上单调递增, 2 4 2 3 4 要使 f ( x)在[2,+∞) 上单调递增,当且仅当 ξ ≤ 2, 即ξ ≤ . 2 3 4 从而 P ( A) = P (ξ ≤ ) = P (ξ = 1) = 0.76 3

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