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2012年全国高考理科数学试题-福建卷


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 理科数学
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列命题中,真命题是 A. B.

D. D(x)不是单调函数

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 8.已知双曲线 4 b
A.

5

B. 4 2

C.3

D.5

9.若函数 y=2x 图像上存在点(x,y)满足约束条件 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2
10.函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 [a,b]上具有性质 P。设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3];

,则实数 m 的最大值为

则称 f(x)在

a C.a+b=0 的充要条件是 =-1 b
D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 5.下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.(a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=_________。 12.阅读左图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于_____________________。 13.已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 14.数列{an}的通项公式 ,前 n 项和为 Sn,则 S2012=___________。

15.对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” : 设 f(x)=(2x-1)﹡(x-1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3, 则 x1x2x3 的取值范围是_________________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某 轿车制造厂生产甲、 乙两种品牌轿车, 保修期均为 2 年, 现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆, 统计书数据如下: 则下列结论错误的是

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

7.设函数 A.D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2, 分别求 X1,X2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效 益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。 17(本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17° (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15° (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12° (4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos248° (5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论。 18.(本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点。 (Ⅰ)求证: B1 E ? AD1 ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1 AE ?若存在, 求 AP 的行; 若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长。 19.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E: B 两点,且△ABF2 的周长为 8。 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 。过 F1 的直线交椭圆于 A、

20.(本小题满分 14 分) x 2 已知函数 f(x)=e +ax -ex,a∈R。 (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个 公共点 P。 21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按 所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号 填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

设曲线 2x +2xy+y =1 在矩阵

2

2

对应的变换作用下得到的曲线为 x +y =1。

2

2

(Ⅰ)求实数 a,b 的值。 2 (Ⅱ)求 A 的逆矩阵。 (2 ) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) 21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按 所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号 填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

设曲线 2x +2xy+y =1 在矩阵

2

2

对应的变换作用下得到的曲线为 x +y =1。

2

2

(Ⅰ)求实数 a,b 的值。 2 (Ⅱ)求 A 的逆矩阵。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , ,圆 C 的参数方程 (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 (3 ) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 。

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q。试探究:在坐标平 面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。


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