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南昌大学线性代数试卷含答案有原题

南昌大学 2006~2007 学年第一学期期末考试试卷解答 ~
试卷编号: 试卷编号: 课程编号: 课程编号: H55010001 适用班级: 适用班级: 理工类 学院: 学院:
题号 题分 得分 一 24 二 16

(A)卷 卷

课程名称: 课程名称: 线性代数 姓名: 姓名: 专业: 专业:
三 20 四 20

考试形式: 考试形式: 闭卷 学号: 学号: 班级: 班级: 考试日期: 考试日期:
五 10 六 10 总分 100 累分人 签名

生物工程

考生注意事项:1、本试卷共 5 页,请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、
得分

填空题(每空 3 分,共 24 分)
评阅人

1、设 A 为 4 阶方阵且 A = 2 ,则 A? =

8

。 0 。

2、设 A 是 4 阶方阵,其元素全为 1,则 A 的特征值之积为

3、二次型 f = x12 + 4 x2 2 + 4 x32 + 2tx1 x2 ? 2 x1 x3 + 4 x2 x3 正定的充要条件是 ?2 < t < 1 。 4、设 3 阶方阵 A 满足 E ? A = 0 , 2 E ? A = 0 , 3E ? A = 0 ,则 A?1 = 5、四元线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 的基础解系含有

1 。 6

3 个线性无关的解向量。

6、设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0,且 R ( A ) = n ? 1 ,则线性方程组 Ax = 0 的通解为

k (1,1,… ,1) , k为任意实数 。
T

7、向量组 α1 = (1, 2,3)T , α 2 = (2,3, 4)T , α 3 = (3, 4,5)T 的秩为 2
T T



8、两向量 α = (1,1, 2 ) 与 β = ( ?1, ?2, ?1) 的夹角为 arccos ? ? ? 或π ? arccos 。

? 5? ? 6?

5 6

第 1 页 共 5 页

二、计算 n 阶行列式的值 (16 分)
a x D= x x a x x x a ? x ? x ? x

? ? ? ? ? x x x ? a
得分 评阅人

解:

a + (n ? 1) x a + (n ? 1) x a + (n ? 1) x ? a + (n ? 1) x x a x ? x D= ???????????8分 x x a ? x ? x ? x ? x ? ? ? a

= ( a + (n ? 1) x )

1 x x

1 a x

1 x a

? 1 ? x ? x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

? ? ? ? ? x x x ? a

=

( a + (n ? 1) x )

1 0 0
? 0

1 1 a?x 0 0 a?x
? 0
n ?1

? 1 ? 0 ? 0 ? ? ? a?x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分

? 0


=

( a + (n ? 1) x ) ( a ? x )

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分

第 2 页 共 5 页

三、 设有线性方程组
? x1 + x2 + kx3 = 4, ? 2 ? ? x1 + kx2 + x3 = k , ? ? x1 ? x2 + 2 x3 = ?4,
问 k 取何值时,方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?并在有无穷多 解时求其通解。 (20 分)

?1 1 k 4? ? 解 B = [ A? b ] = ?1 k 1 k2 ? ? ? ? 1 ?1 2 ?4 ? ? ? 1 k 4 ? ?1 ?0 k + 1 k + 1 k 2 + 4 ? = ? ? ?0 ?2 2 ? k ?8? ? ? 1 k ?1 ?0 = 2 k ?2 ? ?0 k + 1 k + 1 ?
? ?1 =? ?0 ? ?0 ? ?
(1) 当 k

??????????????????3 分

? 8 ? ? k 2 + 4? ? 4

??????????????????5 分

1 2 0

k k?2

( k + 1 )( 4 ? k )
2

? ? 4 ? ??????????????????8 分 8 ? ? k ( k ? 4 )? ? ?

≠ ?1且k ≠ 4 时,方程组有唯一解

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

(2) 当 k = ? 1 时, R (3) 当 k

( A) = 2 ≠ R ( B ) = 3 ,方程组无解。

= 4 时, ? 1 1 4 4 ? ?1 0 3 0 ? B → ? 0 2 2 8 ? → ?0 1 1 4 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ?
由于 R

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分

( A) = 2 = R ( B ) < 3 ,故方程组有无穷多解

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分

同 解 方 程 组

? x1 = ?3 x3 令 x3 = k , 得 方 程 组 的 全 部 解 为 ? x2 = ? x3 + 4 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 分

? ?3k ? ? 0 ? ? ?3 ? ? 4 ? k ? = ? 4 ? + k ? ?1? , k 为任意实数。 x=? ? ? ? ? ? ? k ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?1?
第 3 页 共 5 页

? 0 2 ?2 ? 四、设 A = ? 2 4 4 ? , 求一可逆矩阵 P ,使 P ?1 AP 为对角矩阵。 分) (20 ? ? ? ?2 4 ?3 ? ? ? 解 A 的特征方程为 λ ?2 2 ??????????2 分 λ E ? A = ?2 λ ? 4 ?4 2 ?4

λ +3

= ( λ ? 1) λ 2 ? 36 , 特征值为 λ1 = 1, λ2 = 6, λ3 = ?6 。 对应于 λ1 = 1 ,有 ( λ1E ? A ) x = 0 ,

(

)

??????????7 分 ??????????8 分

? 1 ?2 2 ? ? 1 0 2 ? E ? A = ? ?2 ?3 ?4 ? → ? 0 1 0 ? , ? ? ? ? ? 2 ?4 4 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ?
特征向量 α1 = ( 2, 0, 类似求得 对应于 λ2 = 6 的特征向量 α 2 = (1, 5, 对应于 λ2 = ?6 的特征向量 α 3 = (1, 令 P = α1 ,α 2,α 3

?1) 。
T

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 分

2) ,
T T

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18 分

?1, 2 ) 。

(

)

?2 1 1? = ? 0 5 ?1? ? ? ? ?1 2 2 ? ? ?
则 P ?1 AP 为对角矩阵。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 分

第 4 页 共 5 页

五、求下面矩阵的逆矩阵(10 分)
?1 0 1? A=? 2 1 0 ? ? ? ? ?3 2 ?5 ? ? ?
得分 评阅人

解:

A = 2,
A11 = ?5, A12 = 10, A13 = 7 , A21 = 2, A22 = ?2, A23 = ?2 A31 = ?1, A32 = 2, A33 = 1

??????????3 分

??????????6 分

? A11 A?1 = A ? A12 ? ?A ? 13
?1

A21 A22 A23

A31 ? A32 ? ? ? A33 ?

??????????9 分

? 5 ?? 2 ? =? 5 ? 7 ? ? 2

1? ? ? 2 ? ?1 1 ? 1 ? ?1 ? 2 ? 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

六、已知 A 为 n 阶正交矩阵,问伴随矩阵 A? 是否为正交矩阵,为什么?(10 分)
解:

AAT = E ,

??????????1 分 ??????????3 分 ??????????5 分
T

两边取行列式得

A = 1,
2

A? = A A?1 ,

(A )
?

? T

A? = ( A A?1 ) A A?1 = A
=E ,

2

( AA )
T

?1

??????????8 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分因 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

此 A 是正交矩阵。

第 5 页 共 5 页


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